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Devoir maison
Pour le 26/09/2016
Exercice 1 : Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses puis justifier :
ܽ, ܾ, ܿ et ݀ sont des entiers relatifs.
Affirmation 1 : Si ܽ divise ܾ, alors ܽ divise ܾ²
Affirmation 2 : Si ܽ divise ܾ², alors ܽ divise ܾ
Affirmation 3 : Si ܽ divise ܾ et ܿ divise ݀, alors ܽ + ܿ divise ܾ + ݀
Affirmation 4 : Si 3 divise le produit ܾܽ, alors 3 divise ܽ et 3 divise ܾ.
Exercice 2 : Les questions suivantes sont indépendantes
1) Enoncer le théorème de la division euclidienne.
2) Dans la division euclidienne de deux entiers naturels, le dividende est 63 et le reste est 17.
Donner toutes les valeurs possibles du quotient et du diviseur.
3) Déterminer tous les entiers naturels qui, dans la division euclidienne par 7, donnent un quotient
égal au triple du reste.
4) Dans une division par ܾ, où ܾ ∈ ℕ∗ , d’un entier positif ݉, le quotient est ‫ ݍ‬et le reste ‫ݎ‬. Si l’on
augmente ݉ de 5, le quotient augmente de 3 et le reste diminue de 1.
Quels sont les entiers ݉ possibles ?
5) ܽ et ܾ sont deux entiers naturels non nuls. Dans la division euclidienne de ܽ par ܾ, le reste ‫ ݎ‬est
supérieur ou égal au quotient ‫ݍ‬.
Prouver que si l’on divise ܽ par ܾ + 1, on obtient le même quotient. Quel est alors le reste ?
Exercice 3 :
Démontrer que pour tout entier naturel ݊ non nul, le reste de la division euclidienne de ݊² + 5݊ + 7
par ݊ + 3 est indépendant de ݊.
Exercice 4 :
1) On appelle diviseur strict d’un nombre entier naturel tout diviseur autre que le nombre lui-même.
Déterminer les nombres entiers naturels diviseurs stricts de 220.
2) On appelle nombres amiables deux nombres entiers naturels tels que chacun d’entre eux soit égal
à la somme des diviseurs stricts de l’autre. Vérifier que 220 et 284 sont amiables.
3) On appelle nombre parfait un nombre égal à la somme de ses diviseurs stricts (c’est-à-dire qu’il
est amiable avec lui-même).
On admet que les nombres parfaits sont pairs.
Déterminer un nombre parfait inférieur à 10 et un autre compris entre 20 et 30.
Exercice 5 :
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel ݊ ≥ 1, 22௡ + 6݊ − 1 est divisible par 9.