TD 6

Mathématiques
L3 MIAGE
TD 6
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Loi uniforme
Exercice 1 : Loi uniforme – Cours
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur le segment [0; 1].
a.
Calculer sa moyenne E[X] et sa variance Var(X).
b.
De façon générale, calculer E[X n ], moment d’ordre n de X.
c.
Soit a et b deux réels tels que a < b. Comment définiriez-vous la densité d’une variable
aléatoire X uniforme sur le segment [a; b] ? Donner alors E[X] et Var(X).
Exercice 2 : Tirages uniformes sur un segment
Soit X un point au hasard sur le segment [0; 1], c’est-à-dire que X ∼ U[0;1] .
a.
Quelle est la probabilité que X soit supérieur à 3/4 ?
b.
Quelle est la probabilité que X soit supérieur à 3/4, sachant qu’il est supérieur à 1/3 ?
c.
Le point X définit les deux segments [0; X] et [X; 1]. Quelle est la probabilité pour que le
rapport entre le plus grand et le plus petit des deux segments soit supérieur à 4 ?
Exercice 3 : Minimum d’uniformes
Soit n variables aléatoires U1 , . . . , Un indépendantes et de même loi uniforme sur [0; 1]. On
considère la variable X = min(U1 , . . . , Un ).
a.
Que vaut P(U > t) lorsque U ∼ U[0;1] et t ∈ [0, 1] ?
b.
Calculer la fonction de répartition F de la variable X.
c.
En déduire la densité et l’espérance de X.
Exercice 4 : Ambulance et accidents
Une station d’ambulances se situe au kilomètre 30 d’une route de 100 kms de long. Les accidents sont supposés arriver uniformément sur cette route. L’ambulance roule à 100 km/h pour
intervenir sur le lieu d’un accident. Notons T le temps écoulé (en minutes) entre l’appel à la
station et l’arrivée de l’ambulance sur le lieu de l’accident.
a.
Quelles valeurs peut prendre la variable aléatoire T ?
b.
Que vaut P(T > 30) ?
c.
Plus généralement, calculer P(T > t) en fonction de t.
d.
Déterminer la densité de T , sa moyenne et sa variance.
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L3 MIAGE
Loi exponentielle
Exercice 5 : Loi exponentielle – Cours
Soit λ > 0 fixé. On dit que X suit une loi exponentielle de paramètre λ si X admet pour densité
f (x) = λe−λx 1x≥0 . On note alors X ∼ E(λ).
a.
Représenter f . Vérifier que f est bien une densité.
b.
Calculer et représenter la fonction de répartition F .
c.
Calculer espérance et variance de X.
d.
La durée de vie T en années d’une télévision suit une loi de densité f (t) = 81 e−t/8 1t≥0 .
1.
Quelle est la durée de vie moyenne d’une telle télévision ? Et l’écart-type de cette
durée de vie ?
2.
Calculer la probabilité que votre télévision ait une durée de vie supérieure à 8 ans.
Exercice 6 : Minimum d’exponentielles
a.
On considère deux variables aléatoires indépendantes X1 et X2 exponentielles de paramètres
respectifs λ1 et λ2 . Soit Y = min(X1 , X2 ) le minimum de ces deux variables.
1.
Pour tout réel y, calculer P(X1 > y).
2.
En déduire P(Y > y), puis la fonction de répartition F de la variable Y .
3.
En déduire que Y suit une loi exponentielle de paramètre λ1 + λ2 .
b.
Deux guichets sont ouverts à une banque : le temps de service au premier (respectivement
second) guichet suit une loi exponentielle de moyenne 20 (respectivement 30) minutes.
Alice et Bob arrivent ensemble à la banque : Alice choisit le guichet 1, Bob le 2. En
moyenne, au bout de combien de temps sort le premier ?
c.
En moyenne, combien de temps faut-il pour que les deux soient sortis ? (Indication : le
max de deux nombres, c’est la somme moins le min.)
Exercice 7 : Lien entre lois exponentielle et géométrique
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle E(1), et Y = dXe la variable égale à
sa partie entière supérieure (c’est-à-dire que d2.8e = 3 et d4e = 4).
a.
Quelles valeurs peut prendre Y ? Avec quelles probabilités ? Quelle loi reconnaissez-vous
? En déduire E[Y ] et Var(Y ).
b.
Soit alors Z = Y − X. Dans quel intervalle Z prend-elle ses valeurs ? Déterminer sa
fonction de répartition F (elle fait intervenir une série).
c.
En déduire que sa densité vaut f (z) =
d.
Préciser E[Z].
ez
1 (z).
z − 1 [0;1]