Feuille de TD No3 : Variables aléatoires à densité

Université Paris Diderot
Probabilités II
L3 MIASHS
2014-2015
Feuille de TD N
Exercice 1.
o
3
: Variables aléatoires à densité
Soit F la fonction dénie pour tout x ∈ R par
F (x) =
∞
X
1
11
(x).
2i [ i ,+∞[
i=1
Montrer qu'il s'agit d'une fonction de répartition d'une loi sur R. Trouver la probabilité des ensembles
suivants :
1. A = [1, +∞[
1
2. B = [ 10
, +∞[
3. C = {0}
4. D = [0, 21 [
5. E =] − ∞, 0[
6. G =]0, +∞[.
Exercice 2. Soit X une variable aléatoire réelle dont la fonction de répartition F est strictement
croissante et continue sur le support de X . Soit Y = F (x). Montrer que Y est distribué selon la loi
uniforme sur [0, 1].
La formule X = F −1 (Y ) montre alors comment construire X à partir d'une variable aléatoire
uniforme Y , ce qui est d'un grand intérêt pratique pour les simulations.
(Transformation de loi). Soit X une variable aléatoire réelle, FX sa fonction de répartition.
1. Soient a, b deux réels xés, avec a 6= 0, et Y := aX + b. Comment déduire FY de FX ? Dans
l'hypothèse où X admet une densité, à quelle condition sur a en est-il de même de Y ?
2. Trouver les fonctions de répartition des variables réelles suivantes :
Exercice 3
X 3 , log X, eX , X 2 − 4X + 2.
En supposant que F est dérivable en dehors d'un nombre ni de points, trouver la fonction
densité de ces variables aléatoires.
3. Supposons que X suive une loi uniforme sur [1, 5]. Donner la fonction de répartition et la densité
X
de la variable 5−X
.
Exercice 4.
(Temps d'attente et loi exponentielle)
1. On suppose que dans un café, le temps d'attente avant que le serveur vienne prendre la commande suit une loi exponentielle de paramètre 12 (en comptant le temps en heures). Quelle est la
probabilité que le temps d'attente excède 10 minutes. Si au bout de 10 minutes, le serveur n'est
toujours pas passé, quelle est la probabilité que le temps d'attente total dépasse 20 minutes.
2. Soit X une variable aléatoire exponentielle de paramètre λ. Montrer que pour x, y > 0,
P(X > x + y|X > x) = P(X > y).
Cette propriété est une spécicité de la loi exponentielle, on l'appelle la propriété d'absence de
mémoire. C'est en partie pour cela que cette loi est adaptée à la modélisation des temps d'attente.
3. Soit r > 0. Quelle est la loi de la variable Y = rX ?
Exercice 5 (Convergence de lois). Le but de cet exercice est d'illustrer la convergence de certaines
lois discrètes vers des lois continues.
1. Soit Un une variable aléatoire de loi uniforme sur {1, · · · , n}. On va montrer que Unn converge
vers une loi uniforme sur [0, 1].
(a) Soit x ∈ R. Donnez Fn (x) = P( Unn ≤ x) la fonction de répartition de Unn .
(b) Pour x ∈ R xé, montrez que limn→+∞ Fn (x) = F (x), où F (x) est la fonction de répartition
d'une loi uniforme sur [0, 1].
2. Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre λ
(a) On rappelle la propriété d'absence de mémoire démontrée dans l'exercice 4 :
P(X > x + y|X > x) = P(X > y).
Quelle loi discrète satisfait à cette propriété ? cf Exercice 12 de la Feuille de TD 1
(b) Soit Xn une variable aléatoire de loi Géométrique de paramètre pn . On suppose que pn → 0
et que npn → λ. Soit x ∈ R. Donnez Gn (x) = P(Xn /n ≤ x) la fonction de répartition de
Xn /n.
(c) Pour x ∈ R xé, montrez que limn→+∞ Gn (x) = G(x), où G(x) est la fonction de répartition
de la loi exponentielle de paramètre λ. On pourra commencer par supposer que pn = λ/n
pour calculer la limite.
(d) Plus généralement, supposons que pn → 0, an → 0 et apnn → λ. Montrer que la fonction de
répartition de an Xn tend vers la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre
λ.
Exercice 6.
Dans les cas suivants, trouver la valeur de C pour que f soit une densité de probabilité.
1. f (x) = √
C
,
x(1−x)
0 < x < 1.
2. f (x) = C exp(−x − exp(−x)), x ∈ R,
1
3. f (x) = C 1+x
2