TD arithmétique

TRAVAUX DIRIGES
ARITHMETIQUE
EXERCICE 1
1. Un nombre s’écrit xy en base dix. On lui associe
le nombre yx. Montrer que A=xy+yx est divisible
par 11.
2. Soient x,y et z trois entiers naturels non tous
nuls. On pose B=xyz+yzx+zxy (en base dix).
Montrer que B est divisible par 11.
EXERCICE 2
N est un entier ayant au moins 3 chiffres en numérotation décimale. On pose N=xn xn−1 · · · x1 x0 .
1. Déterminer le reste de la division euclidienne de
N par 100.
2. Montrer alors que N est multiple de 4 si et
seulement si x1 x0 est multiple de 4.
EXERCICE 3
1. Soit x et y deux nombres entiers ; A et C les
nombres définis par : A=x + y et C=4x + 9y.
a) Montrer que tout diviseur de x et de y est aussi
diviseur de A et C.
b) Montrer que 5x = 9A − C et 5y = C − 4A
c) Montrer que si x et y sont premiers entre eux,
alors le pgcd(A,C) est soit 1 soit 5.
2. On considère pour tout entier naturel n, les
nombres An = 2n + 3n et Cn = 2n+2 + 3n+2 .
Montrer que pgcd(An , Cn ) est soit 1 soit 5.
3. a) Montrer que ∀k ∈ N, 22k+1 + 32k+1 est divisible
par 5.
b) En déduire que si n est impair, alors
pgcd(An , Cn ) = 5.
4. a) Montrer que pour tout entier naturel k,
22k + 32k n’est pas divisible par 5.
b) En déduire que pour tout n pair,
pgcd(An , Cn ) = 1.
EXERCICE 4
Déterminer un moyen de calculer cette expression et
justifier :
S = 1 + 4 + 12 + 32 + · · · + 100 × 299
EXERCICE 5
a et b sont deux entiers naturels non nuls, E désigne
l’ensemble des entiers relatifs z tels qu’il existe deux
entiers relatifs x et y vérifiant z = ax + by.
1. Montrer que E contient au moins un entier naturel
non nul.
2. On note d le plus petit entier naturel non nul de
E.
a) Montrer que tout multiple de d appartient
à E.
b) Montrer que tout élément z de E est un multiple
de d.(On pourra envisager la division euclidienne de
z par d)
c) En déduire que E est l’ensemble des multiples de
d.
3. Montrer que d est le pgcd(a, b).
4. Montrer que l’ensembles des entiers relatifs z de
la forme z = 980x + 1166y est égal à l’ensemble des
multiples de 2.
EXERCICE 6
1. On admet que 1999 est un nombre premier.
Déterminer l’ensemble des couples (a,b) d’entiers
naturels admettant pour somme 11994 et pour pgcd
1999.
2. On considère l’équation (E) d’inconnue n (n ∈ N)
définie par : (E) : n2 − Sn + 11994 = 0, où S est
un entier naturel. On s’interesse à des valeurs de S
telles que (E) admette deux solutions dans N.
a) Peut-on déterminer S pour que 3 soit solution de
(E) ? Si oui quelle est la deuxième solution ?
b) Peut-on déterminer S pour que 5 soit solution de
(E) ? Si oui quelle est la deuxième solution ?
c) Montrer que tout entier n solution de (E) est
un diviseur de 11994. En déduire toutes les valeurs
possibles de S telles que (E) admette 2 solutions
entières.
EXERCICE 7
1. Donner l’ensemble des diviseurs positifs de 97.
2. Soit p un entier naturel tel que 0<p<97.
p−1
p
a) Montrer que 97C96 =pC97 .
p
b) En déduire que C97 ≡0[97]
c) Déduire que pour tout couple (a, b) d’entiers
naturels, (a + b)97 ≡ a97 + b97 [97].
3. Montrer que par récurrence que pour tout entier
naturel n, n97 ≡ n[97].
4. Soit n et m deux entiers naturels tels que
nm ≡ 1[97].
Montrer que n96 ≡ 1[97] et m96 ≡ 1[97]
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