PCSI 1, 2016/2017 Mathématiques Lycée Berthollet Exercices chapitre 12 Entiers naturels, arithmétique Exercice 1. Travailler dans R ou dans N ? Résoudre dans N les équations suivantes : 1. x − 1 | x + 3 ; 2. x + 2 | x2 + 2. Exercice 2. Équations diophantiennes. Résoudre dans N2 les équations suivantes : 1. x y = 3x + 2y ; 2. 1 x + 1y = 1 5 ; 3. x2 − y2 − 4x − 2y = 5. Exercice 3. Des maths avec des lettres. Soient a ∈ N∗ et b ∈ N∗ , on note q le quotient de la division euclidienne de a − 1 par b. Déterminer pour tout n ∈ N, le quotient de la division euclidienne de (ab n − 1) par b n+1 . Exercice 4. Des maths avec des chiffres. Montrer que 11 | 2123 + 3121 . Exercice 5. Des chiffres et des lettres. Trouver les entiers n ∈ N tels que 10 | n2 + (n + 1)2 + (n + 3)2 . Exercice 6. Pour une fois, c’est tout droit. Montrer que si n est entier impair alors n2 ≡ 1 [8] . Exercice 7. Divisibilité par 9. Soient a, b et n trois nombres entiers non nuls, et r 1 et r 2 respectivement les restes de la division de a et b par n. 1. Montrer que le reste de la division euclidienne de a + b par n est le reste de la division euclidienne de r 1 + r 2 par n. 2. Montrer que le reste de la division euclidienne de ab par n est le reste de la division euclidienne de r 1 r 2 par n. 3. En déduire le critère de divisibilité par 9 : un nombre m est divisible par 9 si et seulement si la somme des chiffres qui le composent est un multiple de 9. 1 PCSI 1, 2016/2017 Mathématiques Lycée Berthollet Exercice 8. Algorithme d’Euclide. Déterminer le PGCD et les coefficients de l’égalité de Bézout des entiers a et b suivants : 1. a = 33 et b = 24 ; 2. a = 37 et b = 27 ; 3. a = 270 et b = 105. Exercice 9. Comment se débarrasser de n ? Montrer que le PGCD de 2n + 4 et 3n + 3 ne peut être que 1, 2, 3 ou 6. Exercice 10. Deux systèmes d’équations. Résoudre dans N2 les systèmes : ( 1. PGCD(x, y) = 5 PPCM(x, y) = 60 ( ; 2. x + y = 100 PGCD(x, y) = 10 Exercice 11. Somme ou produit ? Les deux. Soient a et b premiers entre eux. Montrer que a ∧ (a + b) = b ∧ (a + b) = 1 puis (a + b) ∧ ab = 1. Exercice 12. Comment se débarrasser de n, le retour. Montrer que pour tout n ∈ N∗ on a : (n2 + n) ∧ (2n + 1) = 1 et (3n2 + 2n) ∧ (n + 1) = 1. Exercice 13. 10 pas. Trouver la puissance de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de 1000!. Exercice 14. Nombres entiers et racines rationnelles de polynômes. Montrer que l’équation x3 + x2 + 2x + 1 = 0 n’a pas de racines dans Q. Exercice 15. Une application pertinente de l’identité de Bézout. Soient a, b ∈ N∗ . On suppose qu’il existe m, n premiers entre eux tels que a m = b n . Montrer qu’il existe c ∈ N∗ tel que a = c n et b = c m . Exercice 16. Comment factoriser ? Montrer que les nombres suivants sont composés : 1. 4n3 + 6n2 + 4n + 1 avec n ∈ N∗ ; 2. n4 − n2 + 16 avec n ∈ Z. Exercice 17. Le retour de la formule. Soient a et p deux entiers supérieurs à 2. Montrer que si a p − 1 est premier alors a = 2 et p est premier. 2 PCSI 1, 2016/2017 Mathématiques Lycée Berthollet Exercice 18. Petit théorème de Fermat. Soit p un nombre premier. 1. Montrer ∀ k ∈ {1, 2, . . . , p − 1} , p | Ã ! p k . 2. En déduire que ∀ n ∈ Z, n p ≡ n [p] . Ce dernier résultat est connu sous le nom de petit théorème de Fermat (1601-1665). 3