ds1_spe_08_09

DEVOIR SURVEILLE N°1
EXERCICE 1 :
( 9 points)
Première partie : Question de cours
Prérequis : on suppose connu le théorème de Bézout.
1. Démontrer le résultat suivant :
« Si m et n sont deux entiers naturels non nuls dont le PGCD vaut d, alors il existe deux entiers relatifs u et v
tels que mu – nv = d. »
2. Dire, en justifiant la réponse, si la réciproque est vraie, c’est-à-dire si l’on a le résultat suivant :
« m et n étant des entiers naturels non nuls, s’il existe deux entiers relatifs u et v et un entier naturel d tels que
mu – nv = d, alors d est le PGCD de m et n .»
Deuxième partie :
On rappelle que pour tout entier naturel non nul k, et pour tout réel x :
xk – 1 = ( x – 1 ) ( 1 + x + x2 +… + x k -1 ).
1. a) Soient n un entier naturel non nul, et d un diviseur positif de n.
Montrer que ad – 1 est un diviseur de an – 1.
b) En déduire que 22004 – 1 est divisible par 7, par 63, puis par 9.
2. Soient m et n deux entiers naturels non nuls, et d leur PGCD.
Soient u et v des entiers relatifs tels que mu – nv = d. On suppose u et v strictement positifs.
a) Vérifier que (a m u – 1 ) – ( a n v – 1) ad = ad – 1 .
b) Montrer que ad – 1 est le PGCD de a m u – 1 et de a n v – 1 .
c) Calculer, en utilisant le résultat précédent, le PGCD de 263 – 1 et de 260 – 1 .
Exercice 2 ( 6 points)
1. Montrer que tout entier relatif n, les entiers 14n + 3 et 5n + 1 sont premiers entre eux.
2. On considère l’équation (E) : 87 x + 31 y = 2, où x et y sont des entiers relatifs.
a) Vérifier, en utilisant par exemple la question 1. que 87 et 31 sont premiers entre eux.
b) Déterminer un couple (u ; v) d’entiers relatifs tel que 87 u + 31v = 1, puis une solution de (E), et enfin
l’ensemble des solutions de (E) dans ℤ 2.
c) Application : déterminer les points de la droite d’équation 87x + 31y – 2 = 0, dont les coordonnées sont
des entiers naturels, et dont l’abscisse est comprise entre 0 et 100.
Exercice 3 ( 5 points)
Pour tout entier naturel n ≥ 1, on pose un = 1 ! + 2 ! + … + n ! .
On donne la décomposition en facteurs premiers des dix premiers termes de la suite (un) :
u1 = 1 ;
u7 = 34 × 73 ;
u2 = 3 ;
u3 = 32 ;
u8 = 32 × 11 × 467 ;
u4 = 3 × 11 ;
u5 = 32 × 17 ;
u9 = 32 × 131 × 347 ;
u6 = 32 × 97 ;
u10 = 32 × 11 × 40787.
1. Montrer que un n’est jamais divisible par 2, ni par 5, ni par 7.
2. Peut-on affirmer que un est divisible par 11 à partir d’un certain rang ?
3. Soient n et p deux entiers naturels non nuls tels que p divise un.
a) Donner une condition suffisante pour que p divise um pour tout m ≥ n .
b) Cette condition est-elle nécessaire ?
Sophie Touzet
TS 5/6 Spé