Chapitre 8 - Exponentielles Manuel Sesamath

Manuel Sesamath Mathématiques 2e
Chapitre 8 - Exponentielles
Chapitre 8 - Exponentielles
image : http://pagesperso-orange.fr/j-m.courbois/elliott/lecons/lapins.gif
Problème
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149
1 [Activité] L'échiquier fou
L'invention du jeu d'échecs a été attribuée à plusieurs peuples et à plusieurs individus. Ceux qui
accordent aux Indiens l'honneur de sa découverte, et en fixent l'époque seulement au Ve siècle de
notre
ère,
adoptent
aussi
le
récit
suivant
de
l'auteur
arabe
Al-Sephadi
:
« Schéram, roi d'une partie de l'Inde que l'historien ne désigne pas, gouvernait ses peuples d'une
manière si folle qu'en quelques années il réduisit son royaume à l'état le plus malheureux. Les
Brahmines et les Rayas, lui ayant fait d'humbles remontrances, furent disgraciés en masse. Alors
Sessa, fils de Daher, de la caste des Brahmines, plus prudent que les autres, chercha un moyen de
donner au roi une leçon qui ne pût le fâcher ; il fut assez heureux pour imaginer l'ingénieux jeu des
échecs, où le roi, quoique la plus importante pièce, ne peut faire un pas sans le secours de ses
sujets, les pions.
Dans l'Orient, berceau de l'apologue, un conseil donné de cette manière devait plaire; le nouveau
jeu amusa le roi, qui promit à Sessa de réformer sa conduite et de changer son système de
gouvernement; bien plus, voulant rémunérer dignement l'homme qui avait su lui créer un plaisir de
plus, il permit au Brahmine philosophe de désigner la récompense qui lui conviendrait, le mieux.
Sessa demanda un grain de riz par chaque case de l'échiquier, en doublant toujours depuis 1
jusqu'à 64; cette demande, qui parut plus que modeste lui fut accordée, et le roi ordonna à ses
trésoriers de payer ».
Source : http://perso.orange.fr/alan.relaix/page49.html
1. Combien de grains de riz a-t-on ainsi sur la 64ème case de l’échiquier ?
2. Quelle est la somme globale de grains ainsi déposés sur les soixante quatre cases de
l’échiquier ?
3. En sachant que 2 10≃102 (en fait
précédent en une puissance de 10.
2 10=1024 ), convertir approximativement le résultat
4. A titre de valeur approximative on peut considérer que 100 grains de riz valent largement 1
gramme. Convertir le nombre de grains de riz en kilogramme, voir en tonne (=1000 kg). Trouver
sur internet la production annuelle mondiale de riz (en kg) et comparer ce chiffre au résultat que
vous avez trouvé.
5. Sachant que le rayon terrestre moyen est de 6370 km et que l’aire d’une sphère est donnée
par la formule A=4⋅π⋅r 2 , évaluer le nombre de grains de riz par cm 2. De manière plus parlante, si
l’on considère que les terres émergées occupent 29% de la surface complète de la planète,
combien de grains de riz compterait-on par cm 2 ?
2 [Activité] Nombre ou pas nombre ?
Les expressions suivantes correspondent-elles à un nombre réel ? Si oui, lequel ? Sinon pourquoi ?
2
1
2
;
4
0.1
;
0
3
;
0
3
;
0
0
;
()
1
3
−
2
3
;
1
(−1)n ; (−2 )2
3 [Souvenirs] Calculer avec des puissances d'exposants entiers
1. Classer par ordre croissant les expressions suivantes :
2
2
2 222 , 2( 22 ) , 22 22 et ( 2 22) .
2. Simplifier le plus possible et donner une réponse sans exposants négatifs ( x et
nombres réels non nuls) :
a.
150
70762⋅3598⋅70⋅2 60
599
634 692
21 ⋅(−5) ⋅2
Chapitre 8 - Exponentielles
b.
y sont des
( x3 )−6⋅( y⋅x 4 )3 −3
⋅y
( x 5⋅x −1 )−6⋅( x3 )6
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4 [Souvenirs] Manipuler des racines carrées « à la main »
1. Effectuer les calculs suivants en donnant les résultats sous forme la plus simplifiée possible :
a.
√
50
242
b.
√ 0.04
c.
√12
√75
2. Simplifier au maximum (en extrayant les facteurs carrés de la racine) :
a.
√ 24
b.
√ 147
c.
3 √ 5−4 √ 20+5 √ 45−3 √ 80
3. Rendre rationnel le dénominateur des nombres suivants et simplifier au maximum :
a.
1
√3
b.
4. Simplifier l'écriture :
15
√80
c.
3 √2 – √5
√ 10−1
d.
√75+ √6
2 √3 – √2
√ 10+√ 2+√ 10−√ 2 .
5. La conjecture suivante est-elle vrai ou fausse ? Justifier.
Conjecture:
√ 6 – √ 2=2 √ 2−√ 3
5 [Activité] Autres racines
1. Effectuer les calculs suivants en donnant les résultats sous forme la plus simplifiée possible :
a.
5
√−32
b.
√3 0.027
c.
√4 81
2. Simplifier au maximum :
a.
√3 3 √3 9
b.
√5 16 √5 2
3. Calculer la valeur exacte de
c.
√ √ 16
d.
√5 √ 1024
√√7
7
e.
7
√ 2 4+3 √3 39−4 √4 2 16−√5 4 10−2 √6 212 .
4. Simplifier au maximum l'écriture :
a.
√a √a
3
4
b.
√√
3
a⋅3
1
√a
3
6 [Activité] Puissances d'exposants rationnels
1. Écrire à l’aide de radicaux les nombres suivants :
a.
1
52
b.
1
1024 10
c.
3
36 2
d.
()
4
9
−
1
2
2. Écrire à l’aide de puissances d’exposants rationnels les nombres suivants :
a.
√ 73
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b.
√5 32
c.
√n a⋅√ a
d.
a
√ a ⋅√ a
3
2 4
Chapitre 8 - Exponentielles
151
3. Simplifier au maximum en utilisant les propriétés des puissances d'exposants rationnels :
a.
3
4
a 4⋅a 5
b.
2 3
5
( )( )
6a
b
b
⋅
8a
3
5
c.
1
1
(a 3 b3 ) 4⋅(a 11 b)12
7 [Aller plus loin] Démontrer des formules
On considère les conjectures suivantes :
n m
Conjecture 1: Si
*
a ∈ℝ et n , m∈ℕ , alors ( a
)
Conjecture 2: Si
a ∈ℝ et n , m∈ℕ * , alors a n +a m=a n+m .
Conjecture 3: Si
a ,b∈ℝ+ , alors
√ a+b= √ a+√ b .
Conjecture 4: Si
a ,b∈ℝ+ , alors
√ ab= √ a √ b .
=a
n⋅m
.
1. Expliciter ces notations.
2. Ces conjectures sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.
3. Comment appelle-t-on une conjecture démontrée ?
8 [Aller plus loin] Plus de démonstrations
Démontrer les propriétés suivantes :
√n a⋅b=√n a⋅√n b .
4. Si
a ,b∈ℝ+ et n ∈ℕ * , alors
5. Si
a ∈ℝ+ et m , n∈ℕ * , alors
6. Si
a ∈ℝ*+ et m , n∈ℚ , alors a m⋅a n =a m+ n .
7. Si
a ∈ℝ*+ et m , n∈ℚ , alors ( a
m n
√ √ a= √ a .
n m
)
m⋅n
=a
n⋅m
.
9 [Activité] Un problème de Nicolas Chuquet (1484)
Chaque jour on soutire d'un tonneau le dixième de son contenu. Au bout de combien de temps le
tonneau sera-t-il à moitié vide ?
10 [Activité] Fonctions avec GeoGebra
On considère les fonctions réelles définies ainsi :
f ( x)=3 x , g ( x )=0 ,8 x et h ( x)=(−2)x
152
Chapitre 8 - Exponentielles
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1. Utiliser GeoGebra (http://geogebra.org) pour tracer dans un repère orthonormé une
représentation graphique approximative de ces fonctions.
2. Étudier les différents types de représentations graphiques possibles pour la famille des
fonctions de la forme
f ( x)=a x en fonction du paramètre a.
11 [Activité] Équations exponentielles ... « gentilles »!
Résoudre les équations suivantes :
a.
7 3 x=7 2 x+5
b.
10−100 x =0.01 x −4
c.
2 x =4 √ 2
12 [Activité] Applications
1. Croissance bactérienne
On peut utiliser les fonctions exponentielles pour décrire la croissance de certaines populations.
Par exemple, supposons qu’on ait observé expérimentalement que le nombre de bactéries dans
une culture double chaque jour. S’il y a au départ 1000 bactéries, nous obtenons le tableau
suivant, où t est le temps en jours et f (t ) le nombre de bactéries au temps t :
t
0
1
2
3
4
f (t )
1000
2000
4000
8000
16000
a. Exprimer
f (t ) en fonction de t.
b. Représenter graphiquement la fonction f.
c. En déduire le nombre de bactéries à t = 1,5 jours.
d. En déduire le temps qu'il faut approximativement pour décupler le nombre de bactéries à
partir du temps t=0.
2. Décomposition radioactive
Certaines quantités physiques décroissent de manière exponentielle. Dans de tels cas, si a est la
base de la fonction exponentielle, alors 0 < a < 1. L’un des exemples les plus communs de
décroissance exponentielle est la décomposition d’une substance radioactive, ou isotope. La demivie d’un isotope est le temps nécessaire pour que la moitié d’un échantillon donné se désintègre.
La demi-vie est la principale caractéristique utilisée pour distinguer une substance radioactive
d’une autre. L’isotope 210Po du polonium a une demi-vie d’environ 140 jours, c’est-à-dire qu’étant
donné une certaine quantité de 210Po, la moitié se désintégrera en 140 jours.
a. S’il y a au départ 20 milligrammes de
jours ? 560 jours ?
b. Exprimer
210
Po, combien en restera-t-il après 140 jours ? 280
q (t) la quantité restante après t jours en fonction de t (en jours).
c. Représenter graphiquement la fonction q.
d. Combien de temps faut-il approximativement pour qu'il ne reste plus que 1 milligramme de
210
Po ?
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Chapitre 8 - Exponentielles
153
3. Intérêts composés
L’intérêt composé est une bonne illustration de la croissance exponentielle. Si une somme d’argent
C, le capital, est investie à un taux d’intérêt simple i, alors l’intérêt à la fin de la première période
d’intérêt est le produit C·i, où i est exprimé sous forme décimale.
a. Si le capital initial C 0 est de 1000 fr. et si le taux d’intérêt est 9% par an, quel est l’intérêt à
la fin d’une année ? Et quel est le nouveau capital ?
b. On réinvesti ce capital à la fin de la période d’intérêt, quel sera alors le nouveau capital à la
fin de la deuxième année ?
c. Si on continue à réinvestir, quel sera le capital après
d. Exprimer C (t) , le capital après
capital initial C 0 inconnus.
t années ?
t années, en fonction de t, d'un taux d'intérêt i et d'un
e. Si on souhaite disposer d'un capital de 1500.- après 10 ans et si le taux d’intérêt est 3% par
an, combien doit-on investir initialement ?
f. Si le capital initial C 0 est de 1000.- et si le taux d’intérêt est 5% par an, après combien
d'années approximativement aura-t-on 2000.- ?
13 [Aller plus loin] e comme Euler
1. Supposons que la somme de 1000 fr. soit investie à un taux d’intérêt composé de 9%. Calculer
le nouveau montant du capital après une année si l’intérêt a été capitalisé :
a. trimestriellement
d. par jour
b. mensuellement
e. chaque heure
c. par semaine
f. chaque minute
Que constate-t-on ?
2. Poser
C 0 = 1, i = 1 et t = 1 dans la formule de l’intérêt composé; qu'obtient-on pour C (t) ?
3. Calculer la valeur de cette expression pour n=1;10;100;...;1'000'000'000. Que constate-t-on ?
4. Par le calcul différentiel et intégral, on peut montrer que si
l’expression
( )
1+
1
n
n croît indéfiniment, la valeur de
n
tend (càd qu'elle se rapproche toujours plus) vers un nombre irrationnel,
noté e. Ce nombre se présente dans l’étude de nombreux phénomènes physiques. 2,718 est la
valeur approchée couramment utilisée pour approximer e.
5. La fonction exponentielle naturelle exp est définie par
x. Représenter graphiquement cette fonction.
exp( x )=e x , pour tout nombre réel
6. Si le nombre de périodes d'intérêt n par an croît indéfiniment, on dit que l'intérêt est composé
continu. La formule de l'intérêt composé continu est alors la suivante :
C (t)=C 0 e it
C 0 est le capital investi initialement, i le taux d’intérêt annuel exprimé sous forme décimale, t
le nombre d’années pendant lesquelles C 0 est investi et C (t) le montant après t années.
où
Appliquer la formule de l’intérêt composé continu avec
154
Chapitre 8 - Exponentielles
C 0 = 20’000, i = 0.08 et t = 5.
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14 [Aller plus loin] Formule de l'intérêt composé continu
1. On considère la formule de l’intérêt composé
n=ki et nt =kit et récrire la formule dans ce cas.
i nt
C (t)=C 0 (1+ ) . Poser
n
i 1
= , d'où
n k
2. Pour l’intérêt composé continu, on accepte l'idée que le nombre n de périodes d’intérêt par
an croît indéfiniment, ce qu'on note n →+∞ ; on a alors aussi k →+∞ . En utilisant le fait que
k
( )
1+
1
k
→ e lorsque k →+∞ , on obtient dans la formule de l'intérêt composé :
C0
k it
(( ) )
1
1+
k
→ C 0 (e)it =C 0 e it , quand k →+∞
Refaire le raisonnement en montrant toutes les étapes.
15 [Aller plus loin] La loi de croissance
La formule de l’intérêt composé continu est un cas particulier de la loi de croissance. Soit
q0
la
valeur d'une quantité q au temps t = 0 (c’est-à-dire que q 0 est la valeur initiale de q). Si q change
à chaque instant selon un taux proportionnel à sa valeur actuelle, alors on aura une quantité
q (t)=q0 e
Si
T⋅t
après un temps t où
T>0 est le taux de croissance.
T<0 on parle de le taux de régression de q.
La population d’une ville en 1970 était de 153’800 habitants. En admettant que la population
croisse constamment de 5% par an, calculer le nombre d’habitants actuel.
16 [Aller plus loin] En savoir plus sur e
1. e est ainsi nommé en honneur de Léonard Euler, l'un des plus grands mathématiciens de
l'histoire. Quand et où a-t-il vécu? De quelle nationalité était-il ? Pourquoi est-il célèbre ?
Voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler .
2. e est une des constantes les plus utilisée en mathématique. Grâce aux ordinateurs, on en
connaît de plus en plus de décimales ( 1011 en 2007!). On « retrouve » cette constante dans de
nombreux domaines des mathématiques apparemment tous différents. voir
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_N%C3%A9per .
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Chapitre 8 - Exponentielles
155
1 [Souvenirs] Calculer avec les puissances entières
Définition (puissance d'exposant entier positif)
*
Soit a ∈ℝ et n ∈ℕ .
La puissance n-ième de a, notée
a n , est défini par :
a n =a⋅a⋅a⋅...⋅a
n fois
a est appelé la base et n l’exposant de l’expression a n .
Remarques :
□ a 1 =a
□ a2
se lit «
a (au) carré », en référence à l’aire d’un carré de côté a .
□ a3
se lit «
a (au) cube », en référence au volume d’un cube d’arête a .
Théorème (propriétés des puissances d'exposants entiers positifs)
a ,b∈ℝ* et n , m∈ℕ * , alors :
1 a m⋅a n =a m+ n
Si
2
n
( a m ) =a m⋅n
am
m− n
n =a
a
m
4 ( a⋅b ) =a m⋅a m
3
Définition (puissance d'exposant nul)
Soit
a un nombre réel non nul ( a ∈ℝ* ). Alors on définit : a 0 =1
Remarque :
0 0 n'est pas défini.
Définition (puissance d'exposant entier négatif)
Soit
−n
a un nombre réel non nul ( a ∈ℝ* ) et n ∈ℕ * . Alors on définit : a =
Exemple 1 : Calculer
1
n
a
(−2)−3 .
On utilise les définitions des puissances et l'ordre des opérations :
−3
(−2) =
1
1
1
=−
3=
(−8)
8
(−2)
Exemple 2 : Comparer
2
( 53 ) ,
5( 3 ) , 52 et 57
2
3
On ramène tous les nombres à une même base ou à un même exposant pour pouvoir les
comparer facilement :
2
( 53) =53⋅2=5 6 ,
156
5( 3 )=59 , 52 =5(2 )=58 , donc
2
3
Chapitre 8 - Exponentielles
3
2
( 53 )
<
57 < 52 < 5( 3 ) .
3
2
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Théorème (somme des puissances successives)
Soit
a ∈ℝ∖ {1}
Alors on a
et
3
*
.
1+a+a 2+a3+...+a n =
Exemple : Calculer
2
n∈ℕ
a n+1−1
a−1
.
52 +53 +...+5 98 .
98
2
3
98
5 +5 +...+5 =(1+5+5 +5 +...+5 )−(1+5)=
5 99−1
5 99−1
599−25
−6=
−6=
5−1
4
4
2 [Souvenirs] Calculer avec des racines carrées
Définition
La racine carrée d'un nombre positif ou nul
a 2 =b .
a est le nombre positif ou nul b tel que
Notation
La racine carrée se note avec le symbole
 , par exemple 12
pour la racine carrée de 12.
Exemples :
√ 16=4 , car 4≥0 et 4 2 =16 [et il est faux d'écrire que √ 16=±4 !]
√−16 n'existe pas, car aucun nombre élevé au carré est égal à −16
Théorème (propriétés des racines carrées)
a et b deux nombres réels positifs ou nuls et n un entier naturel non nul :
√ a 2=a et ( √ a )2=a
√ ab= √ a √ b
n
√ a n =( √ a )
a √a
Si b>0 , alors
=
b √b
Soit
1
2
3
4
√
Attention : en général
√ a+b≠ √ a+√ b . Par exemple, 5= √ 9+16≠√ 9+√ 16=7 .
Simplifier une expression contenant une ou plusieurs racines carrées
1 Effectuer les multiplications et divisions à l'aide des propriétés.
2 Extraire les facteurs carrés de la racine.
3 Ne pas laisser de racine au dénominateur (rendre le dénominateur rationnel).
Exemple 1 : Calculer la valeur exacte de
√ 45 √5 .
On utilise les propriétés des racines pour ramener tout sous une même racine et on
factorise :
√ 45 √5=√ 45⋅5=√ 5⋅9⋅5=√ 5 2⋅32=√ (5⋅3)2=5⋅3=15
Exemple 2 : écrire le nombre √ 32 sous la forme
positifs, b étant le plus petit possible.
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a b , où a et b sont deux nombres entiers
Chapitre 8 - Exponentielles
157
√ 32 = √ 16⋅2
√ 4 2⋅2
2
= √ 4 ⋅√ 2
=
=
4⋅√ 2 = 4 √ 2
Exemple 3 : Réduire la différence
2 √ 72 − 7 √ 18
On fait apparaître le produit d'un carré parfait
(le plus grand possible) par un entier.
On décompose la racine carrée du produit puis on
applique la définition d'une racine carrée.
2 √ 72 − 7 √ 18 .
=
2 √ 36⋅2 − 7 √ 9⋅2
On décompose 72 et 18 pour faire apparaître le
produit d'un carré parfait (le plus grand
possible) par un même entier.
=
2 √ 36⋅√ 2 − 7 √ 9⋅√ 2
On décompose la racine carrée de chacun des
produits.
=
2⋅6 √ 2 − 7⋅3 √ 2
On applique la définition d'une racine carrée.
=
12 √ 2 − 21 √ 2
=
(12 − 21) √ 2
On factorise par
=
− 9√ 2
On réduit et on obtient la résultat sous forme de
valeur exacte.
√2
est un facteur commun aux deux termes.
√2 .
Définition
Le conjugué d'une expression du type x −y (respectivement x +y ) est l'expression
x +y (respectivement x −y ).
Multiplier par le conjugué est utilisé pour rendre rationnel un dénominateur qui ne l'est pas.
Exemple: Rendre rationnel le dénominateur de
√18+√ 3
√ 3+ √ 2
et simplifier au maximum.
On multiplie par le conjugué et on utilise les propriétés des racines :
( √ 18+√ 3 ) ( √ 18+√ 3 )⋅( √ 3−√ 2 ) √18 √ 3+√ 3 √ 3−√ 18 √ 2−√ 3 √ 2
=
=
3−2
(√ 3+√ 2 ) (√ 3+√ 2 )⋅(√ 3−√ 2 )
=√ 54+√ 9−√ 36−√ 6=√ 9⋅6+3−6−√ 6=3 √ 6−3− √6=2 √6−3
3 [A savoir] Racines n-ièmes
Définition
a ∈ℝ et n ∈ℕ , n>1.
n
1 Si n est pair, la racine n-ième de a, notée √
a est, si il existe, le nombre réel positif b
tel que la puissance n-ième de b donne a.
n
2 Si n est impair, la racine n-ième de a, notée √
a est le nombre réel b tel que la
puissance n-ième de b donne a.
Soit
Exemples :
□ √3 8=2 , car 2 3=8 .
□ √3 −8=−2 , car (−2 )3 =−8 .
158
Chapitre 8 - Exponentielles
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□ √4 81=3 , car 3 4=81 .
□ √4 −81 n'existe pas, car aucun nombre élevé à la puissance 4 est égal à -81.
Remarques :
Soit
a un nombre réel positif ou nul et n un entier naturel non nul.
□ √2 a
se note
□ √3 a
se lit « racine cubique de
□
√ a 2=∣a∣
□
2 n+ 1
√a
√a
et se lit « racine carrée de
a ».
a ».
pour tout nombre réel a.
est un nombre réel quelque soit la valeur de
a et pour tout entier naturel non nul n.
Théorème (propriétés des racines n-ièmes)
Soit
1
2
3
a et b deux nombres réels positifs ou nuls et m et n deux entiers naturels non nuls.
n
( √n a ) et √n a n=a
n
n
n
√ a⋅b=√ a⋅√ b
m
( √n a ) = n√ a m
n
n a
√a
Si b > 0 , alors
=n .
b √b
m n
m⋅n
√ √ a= √ a
√
4
5
√ a⋅√ a ⋅√ a
3
Exemple : Simplifier au maximum
3
4 3
6
,
où
a ∈ℝ .
On utilise les propriétés et définitions des racines :
√ a⋅√ a ⋅√ a =√ a⋅√ a ⋅a =√ a⋅√ a =√ a⋅a =√ a =a
3
3
4 3
3
6
3
4
2
3
3
6
3
2
3
3
4 [A savoir] Puissances rationnelles
Définition (puissance d'exposant du type 1/n)
Soit
1
a ∈ℝ+ et n ∈ℕ * . Alors on définit : a n =√n a .
Définition (puissance d'exposant rationnel)
Soit
m
a ∈ℝ+ , n ∈ℕ * et m∈ℤ . Alors on définit : a n =√n a m .
Exemple: Calculer
−1.5
()
1
9
et donner la réponse sous forme simplifiée au maximum et sans
exposants négatifs ou fractionnaires :
On utilise les propriétés des puissances et des racines :
−1.5
() ()
1
9
1
=
9
−
3
2
=
1
1
=
=
3
1 2 2 1 3
9
9
1
=
1
3
=
1
1
3
= =3 =27
3
1
1
33
3
( ) √( ) √( ) √( ) ( )
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1
9
3
1
9
Chapitre 8 - Exponentielles
159
Théorème (propriétés des puissances d'exposants rationnels)
a ,b∈ℝ*+ et n , m∈ℚ , alors, on a:
1 a m⋅a n =a m+ n
Si
2
n
( a m ) =a m⋅n
am
m− n
n =a
a
m
4 ( a⋅b ) =a m⋅b m
3
Remarques :
n
□
On a défini a pour tout n entier ; il est possible de démontrer le théorème ci-dessous
pour toutes les puissances rationnelles.
n
□
Il serait trop complexe de définir ici également a pour tout n irrationnel ; cependant,
ceci est possible. De même, il est possible de démontrer que le théorème ci-dessus est bien
vrai pour des nombres m et n irrationnels et donc pour des nombres m et n réels.
2 √3 2 √ 27 et donner la réponse sous forme simplifiée au maximum.
Exemple 1 : Calculer
On utilise une propriété des puissances appliquée à des puissances irrationnelles :
2 √3 2 √ 27=2 √3⋅27=2√ 81=2 9=512
1
Exemple 2 : Simplifier au maximum
1
(4 a 3 ) 5⋅(8 a 2 ) 5 .
On utilise les propriétés des puissances :
1
1
1
1
1
1
1
5⋅
(4 a 3 ) 5⋅(8 a 2 )5 =(4 a 3⋅8 a 2 ) 5 =(32 a 3+2 )5 =(32 a 5) 5 =((2 a )5 ) 5 =(2 a) 5 =2 a
√ a √3 a
Exemple 3 : Écrire
à l’aide de puissances d’exposants rationnels puis donner la
√4 a 3
réponse sous forme simplifiée au maximum et sans exposants négatifs ou fractionnaires.
On utilise les propriétés des puissances et des racines :
3
1
1
1
+
1
5
5
3
1
√ a √ a = a 2 a 3 = a 2 3 = a 6 =a 6− 4=a 12
4 3
3
3
3
√a
160
a4
a4
a4
Chapitre 8 - Exponentielles
Copyleft - Edition 2011
5 [A savoir] Fonctions exponentielles
Définition
Soit
a ∈ℝ∗+ ∖{1 } . On définit la fonction exponentielle de base a par :
exp a :ℝ
→
ℝ∗+
x → expa ( x )=a x
Remarques :
□
Dans la définition précédente, c'est l'exposant qui varie et la base qui est constante !
□
On exclut les cas a = 0,
phénomène exponentiel.
a = 1 et a < 0, car, alors, on n'est pas en présence d'un
Théorème ((dé)croissance d'une fonction exponentielle)
Si f est une fonction exponentielle de base a, alors :
1 Si a>1 : f est strictement croissante sur ℝ
2 Si 0<a<1 : f est strictement décroissante sur ℝ
Exemple : Représentations graphiques des fonctions
exp1/ 3 ( x ) .
exp 2 ( x ) , exp3 ( x) , exp 1/2 ( x ) et
exp1/3
exp3
exp2
exp1/2
Théorème (bijectivité d'une fonction exponentielle)
a est un nombre réel, strictement positif et différent de 1,
exp a :ℝ
→
ℝ∗+
alors la fonction
est bijective.
x → expa ( x )=a x
Si
Remarque : Le théorème précédent permet d'affirmer que si
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a x=a y alors x =y .
Chapitre 8 - Exponentielles
161
6 [A savoir] Équations exponentielles « simples »
Marche à suivre pour résoudre des équations exponentielles simples
Certaines équations exponentielles peuvent se résoudre assez simplement; il s'agit:
f (x)
g( x )
1 de transformer l'équation en une équation équivalente du type a =a
;
f
(
x)=g
( x) ;
2 d'utiliser la bijectivité des fonctions exponentielles pour en déduire que
3 de résoudre cette dernière équation à l'aide des méthodes connues.
3x
Exemple : Résoudre l'équation 49 =7
x+ 1
.
On transforme en une même base, on utilise les propriétés des puissances et on conclut
grâce à la remarque ci-dessus :
3x
49 =7
Donc
x+ 1
S=
2 3x
⇔ (7 ) =7
x +1
⇔ 7
2⋅3 x
=7
x+1
6x
⇔ 7 =7
x +1
⇔ 6 x =x+1 ⇔ 5 x =1⇔ x =
1
5
{}
1
.
5
Remarque : Toutes les équations exponentielles ne peuvent cependant être résolues ainsi,
3x
x +1
comme par exemple l'équation 13 =7
. Il faudra trouver une autre méthode.. La
solution sera apportée par les logarithmes (à suivre).
7 [A savoir] Croissance exponentielle
Théorème
Soit une quantité Q dont la valeur augmente d'un taux T (sous forme décimale) par
période (année, mois, jour, ...). Si Q 0 est la valeur initiale de cette quantité, alors la valeur
Q(t ) de cette quantité après t périodes est donnée par :
Q(t )=Q 0 (1+T )t
Exemple : La population du canton de Genève croît au taux de 2% par année. Elle est
actuellement de 466'918 habitants. Si ce taux se maintient, combien y aura-t-il d'habitants
dans le canton de Genève dans 5 ans ?
On a :
Q 0 =466'918 , T =0.02 , t=5 , d'où
Q(5)=466'918(1+0.02)5 ≃515'515 .
8 [A savoir] Décroissance exponentielle
Théorème
Soit une quantité Q dont la valeur diminue d'un taux T (sous forme décimale) par période
(année, mois, jour, ...). Si Q0 est la valeur initiale de cette quantité, alors la valeur Q(t )
de cette quantité après t périodes est donnée par :
Q(t)=Q 0 (1−T )t
Exemple : Une machine dont la valeur à neuf est de 100'000 perd chaque année 12% de sa
valeur résiduelle. Quelle est la valeur de cette machine 8 ans après l'avoir acheté ?
On a :
162
Q 0 =100'000 , T =0.12 , t=8 , d'où
Chapitre 8 - Exponentielles
Q(8)=100'000 (1−0.12 )8 ≃35'963 .
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9 [Aller plus loin] Intérêts composés
Théorème (intérêts composés)
C 0 est le capital investi initialement, i le taux d'intérêt annuel (sous forme décimale), n
le nombre de périodes d'intérêt par an, t le nombre d'années pendant lesquelles le capital
C 0 est investi et C (t) le montant après t années, alors on a :
i nt
C (t)=C 0 (1+ )
n
Si
Exemple: Si on veut disposer de 2000 fr. après 2 ans et 3 mois, investis au taux de 12% par
an capitalisé mensuellement, quel capital initial doit-on investir ?
C (t)=2000 , i=0.12 , n=12 , t=3.25 , d'où
0.12 12⋅3.25
2000
2000=C 0 (1+
)
⇔ C 0=
12⋅3.25 ≃1356.75 fr.
12
(1.01)
On a :
Remarque : Si l'intérêt est capitalisé annuellement, c'est-à-dire s'il n'y a qu'une période
d'intérêt par an (n=1), alors le théorème ci-dessus devient :
la loi de croissance exponentielle.)
C (t)=C 0 (1+i)t . (On retrouve
10 [Aller plus loin] e et la fonction exp
Définitions
1 e est le nombre irrationnel valant 2,71828 quand il est approximé à 5 décimales (
e≃2.71828 ). On peut le trouver ainsi : l'expression
n
( )
1+
1
n
tend vers
e , lorsque n
devient très grand (n tend vers l'infini).
2 La fonction exponentielle naturelle, exp, est définie par
exp( x )=e x ,∀ x ∈ℝ .
Remarques :
□
e est un nombre irrationnel. Pour utiliser une valeur précise (mais toujours approchée) du
nombre e, il faut utiliser judicieusement la calculatrice : touches 2nd-log-exp(1)
□
Euler est un célèbre mathématicien suisse (Bâle 1707- St-Pétersbourg 1783) considéré
comme l'un des plus grands et des plus prolifiques de tous les temps.
11 [Aller plus loin] Intérêt composé continu
Théorème
C 0 est le capital investi initialement, i le taux d'intérêt annuel exprimé sous forme
décimale, t le nombre d'années pendant lesquelles le capital C 0 est investi et C (t) le
montant après t années, alors on a :
C (t)=C 0 eit
Si
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Chapitre 8 - Exponentielles
163
Exemple : Quelle somme d'argent déposée sur un compte épargne à un taux de 1.25% par
an d'intérêt composé continu rapportera un montant de 10'000.- après 6 ans ?
On a :
i=0.0125 , t=6 , C (6)=10'000 , d'où
10'000=C 0⋅e
0.0125⋅6
⇔ C 0=
10'000
0.0125⋅6 ≃9'277
e
12 [Aller plus loin] Loi de croissance (continue)
Théorème
Soit q 0 la valeur d'une quantité q au temps t = 0 (c’est-à-dire que q 0 est la valeur initiale
de q). Si q change à chaque instant selon un taux proportionnel à sa valeur actuelle, alors,
après un temps t, on aura une quantité :
q (t)=q 0 e T⋅t
Si T >0 , on parle de taux de croissance de q.
Si T <0 , on parle de taux de régression de q.
Exemple: En 1982, la population des Etats-Unis était d'environ 227 millions habitants. La
population a continué de croître de manière régulière au taux de 0.7% par an. Calculer le
nombre d'habitants actuel (en 2012) si ce taux de croissance est resté constant.
On a :
q 0 =227'000'000 , T =0.007 , t=30 , d'où
q (30)=227'000'000⋅e0.007⋅30 ≃280'000'000
164
Chapitre 8 - Exponentielles
Copyleft - Edition 2011
8 Simplifier au maximum ( a ∈ℝ+ ) :
Puissances « à la main »
1 Comparer les valeurs des expressions
suivantes :
2 3
(2 )
,
( 22)
2
33 0.5
(2 )
,
et
4
(2 2 )
.
2 Effectuer les calculs suivants « à la
main » :
4
2 ⋅3
a.
b.
4
c.
(−a )4⋅(−2 b)3⋅c 4
2
5
4 ⋅2 ⋅8
√√√a
b.
√a √a √a
7
a.
3 Effectuer les calculs suivants en donnant
les résultats sous forme la plus simplifiée
possible :
5
a.
√0
e.
√ 32
b.
√ 625
f.
√ 729
c.
√ 0.0009
g.
√3 −0.027
d.
4
h.
√ 0.000008
6
b.
√ 12 √ 3
6
6
c.
6
√ 125 √ 25 √ 5
d.
√2
5 Simplifier au maximum :
√4 √ 256
b.
3
√ √ 27
e.
√3 √ 8
c.
√ √ 729
f.
√2 √3
3
3
6 Simplifier au maximum :
a.
√ 18
d.
√ 1000
b.
√ 243
e.
√ 54
c.
√ 50
f.
√ 80
3
1
5
e.
(0.0625) 4
f.
320.2
1
2
1
9
g.
1
−
2
1
2
a.
11
√ 56
g.
( √5 a 3 )⋅( √5 a )
b.
√4 4 2
h.
√n a 2n√ a
c.
√ a6
i.
d.
√n a 2 n
6
e.
( √3 a 2 )
f.
3
3
(√ a )
n
2
3n
( 2√n √n a )
j.
√3 a 5 √6 a
k.
√ a √ a 3 (10√ a )
a
3
5
4
Exponentielles
11 Tracer dans un même repère orthonormé
une représentation graphique approximative
des fonctions exponentielles suivantes :
a.
f ( x)=2 x
c.
f ( x)=0.1 x
b.
1 x
f ( x)=( )
2
d.
f ( x)=100 x
3
12 Résoudre les équations suivantes :
4
7 Simplifier au maximum :
a.
2 √ 40 – 2 √ 90+√ 4000−5 √10
b.
√ 54+2 √3 5 6−3 √4 58+4 √7 5 14−5 13√ 526
Copyleft - Edition 2011
3
10 Écrire à l’aide de puissances d’exposants
rationnels les expressions suivantes :
√ 47
d.
√a √a √a
250.5
()
14
√√4
d.
3
d.
c.
6
a.
4
√√√a
5
6
0
3
4 Simplifier au maximum :
a.
2
b.
Racines « à la main »
√ 625
3
c.
9 Écrire à l’aide de radicaux les expressions
suivantes :
2
1 1
d. 3 ⋅(−3) ⋅ 2 ⋅ 2
9 27
7
a.
a.
3 2 x+3 =3 x
2
d.
13x =1
b.
33 x +2 =9 x
2
e.
5 x+ 2⋅25− x =625
c.
2−100 x =0.5 x− 4
f.
4 x−3 =8 4− x
Chapitre 8 - Exponentielles
165
Problèmes « exponentiels »
13 Le nombre de bactéries dans une culture
croît de 600 à 1800 entre 7h et 9h du matin.
En supposant que la croissance soit
exponentielle, le nombre f (t ) de bactéries t
heures après 7h du matin est donné par
t
2
f (t )=600⋅3 .
a. Donner approximativement le nombre de
bactéries dans la culture à 8h, à 10h et à 11h
du matin.
b. Représenter le graphique de f pour 0≤t≤4.
14 L’isotope radioactif 210Bi du bismuth a
une demi-vie de 5 jours. S’il y a 100 mg de
210
Bi au temps t = 0, alors la quantité
résiduelle f (t ) après t jours est donnée par
f (t )=100⋅2
–
t
5
.
a. Quelle quantité de 210Bi reste-t-il après 5
jours ? 10 jours ? 12.5 jours ?
b. Représenter
0≤t≤30.
le
graphique
de
f pour
15 Quel capital obtient-on après 18 ans si
on investit un capital initial de 1200.- à un
taux de 2% par ans ?
16 Au cours d’une enquête sur la
population d’une commune, on a constaté une
diminution du nombre d’habitant d’environ
5% chaque année. Si, au début, le nombre
d’habitants N 0 de la commune était de
10'000 :
a. déterminer le nombre d’habitants,
à la fin de la première année ;
N (1) ,
b. déterminer le nombre d’habitants,
à la fin de la troisième année ;
N (3) ,
c. exprimer
taux
d’intérêt
par
an,
capitalisé
semestriellement, avait-il placé son argent ?
e, exp, croissances continues
19 Quelle somme investie à un taux de 11%
par an d’intérêt composé continu procurera un
montant de 100000 francs après 18 années ?
20 En 1985, on estimait la population de
l'Inde à 762 millions d'habitants ; la
population a continué de croître de manière
régulière au taux de 2.2% par an. En
supposant que ce taux de croissance élevé
reste constant, calculer le nombre d'habitants
actuel en Inde.
21 En science de la pêche, une cohorte est
l’ensemble des poissons nés une même
année. On suppose habituellement que le
nombre N (t) de poissons encore en vie t
années plus tard est donné par une fonction
exponentielle. Pour le flétan du Pacifique,
N (t)=N 0 e – 0.2t où N 0 est la taille initiale de
la cohorte. Donner approximativement le
pourcentage
du
nombre
de
poissons
d’origine encore en vie 10 ans plus tard.
22 En 1971, le salaire minimal aux EtatsUnis était de 6.40 fr. En admettant que le taux
d'inflation soit de 5% par an, calculer le
salaire minimal équivalent actuel.
f la fonction définie par
f ( x)=x (– 2 e– 2 x )+2 xe – 2 x . Déterminer les
zéros de f.
23 Soit
2
2
24 Résoudre l’équation e x =e 7 x – 12 .
EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
N (t) , le nombre d'habitants à la
N0
25 Effectuer les calculs suivants « à la
main » en donnant les résultats sous forme la
plus simplifiée possible :
fin de la t-ième année, en fonction de t et
a.
√
b.
g.
17 L’île de Manhattan a été vendue 24 fr.
en 1626. A combien se monterait cette
somme en 1996 si elle avait été investie à 6%
par an, capitalisé trimestriellement ?
√ 0.0016
729
c.
3
1000

h.
√4 0.0001
d.
√3 −343
i.
18 Pascal apporte à la banque, le 19 janvier
2004, la somme de 12'500 fr. Le 19 janvier
2012, l’intérêt s’élève à 3’077,25 fr. A quel
e.
√6 64
j.
d. déterminer le nombre d’habitants à la fin
de la dixième année.
166
Chapitre 8 - Exponentielles
25
36
f.
√
100
841
3
√3 0.064
√3 0.125
Copyleft - Edition 2011
26 Simplifier au maximum :
a.
b.
8
8
2187⋅3
5 2 10
c.
2 2
c.
3 8
2
3 a  ⋅3 a
g.
e.
4
h.
27 Simplifier au maximum (en extrayant les
facteurs carrés de la racine) :
f.
d.
16
d.
2n
a 4 
3 3
a ⋅a
4
√ 300
d.
√ 80
a.
7 x +6 =73 x −4
b.
54
e.
250
b.
3 2 x+3 =3 x
c.
125
f.
7000
c.
27 x−1 =9 2 x−3
28 Rendre rationnel le dénominateur des
nombres suivants et simplifier au maximum :
3
6
e.
b.
2
3 12
f.
c.
6 2
6− 2
g.
d.
2
3
2 7
5− 2
3 52
h.
53
5215−21
b.
74 3 7−4 3
3 52
2 5− 2
15−2 3
5−2
a. Conjecture :
62=2 3
b. Conjecture :
4 12 =13
( √ 2) ,
0
4 a 8
Copyleft - Edition 2011
b.
12
a 3
f.
1 6− x
( ) =2
2
2 x +1
=√ 5 √125
34 Un médicament est éliminé du corps par
l’urine. Supposons que pour une dose initiale
de 10 mg, la quantité A(t ) dans le corps
après
t
heures
est
donnée
par
t
.
A(t )=10⋅(0.8)
36 Si un fonds d’épargne rapporte un
intérêt
de
10%
annuel
capitalisé
semestriellement, quelle somme d’argent
investie produira la somme de 5000 fr. après 1
an ?
37 Si une certaine marque de voiture est
vendue V 0 francs, son prix après t années
a. 1 an
−2
()
1
3
,
32 Écrire à l’aide de puissances d’exposants
rationnels les expressions suivantes :
a.
5
t –1
,
(−6) ,
00
correspondent-elles à un nombre réel ? Si oui,
lequel ? Sinon pourquoi ?
(−4) ,
e.
35 Quelle somme d'argent investie à un
taux d'intérêt de 5% par an rapportera 25'000
fr. après 3 ans ?
0
−2
2 x −16⋅2 3x−2 =0
est donné par V (t)=0.78⋅V 0⋅(0.85) . Si le
prix à l’origine était de 10’000 fr., calculer au
franc près le prix après :
31 Les expressions (0.1)0 , 2−3 ,
−1
2
d.
b. Quel pourcentage du médicament encore
présent dans le corps est éliminé chaque
heure ?
30 Les conjectures suivantes sont-elles
vraies ou fausses ? Justifier sans utiliser la
calculatrice.
−3
128
8 4 2 
a. Donner approximativement la quantité de
médicament dans le corps 8h après la dose
initiale.
29 Simplifier l'écriture :
a.
n
a
33 Résoudre les équations suivantes:
a.
a.
3
a
b. 4 ans
c. 7 ans
38 Si 1'000 fr. sont déposés sur un compte
d'épargne à un taux de 8.25% par an d'intérêt
composé continu, calculer le montant à
disposition après 5 années.
39 Sous certaines conditions, la pression
atmosphérique p (en mmHg) à l’altitude de h
mètres est donnée par p=734 e – 0.000113 h .
Quelle est la pression à l’altitude de 12000
mètres ?
Chapitre 8 - Exponentielles
167
40 Le modèle de Jens est généralement
considéré comme la formule la plus précise
pour prévoir la taille des enfants d’âge
préscolaire. Si y est la taille (en centimètres)
et
x
l’âge
(en
années),
alors
3 ,261– 0.993 x
pour
y=79.041+6.39 x – e
1
≤ x ≤ 6 . D’après le calcul différentiel et
4
intégral, le taux de croissance R (en
cm/année)
est
donné
par
R=6.39+0.993e 3.261 –0.993 x . Calculer la taille
et le taux de croissance d’un enfant de 1 an.
REPONSES DES EXERCICES
SUPPLEMENTAIRES
e. 2
i. 0.4
b. 0.04
f. 10/29
j. 0.5
c. 10
g. 9
d. -7
h. 0.1
26
3
b. 2
c. 4
d.
√3
27
−2
()
1
1
;
=9 ;
(0.1) =1
8
3
1
−1
−3
√ 2 ; 0−2 n'est pas
; ( √ 2) =
(−4) =−
64
2
0
31
;
−3
2 =
un nombre réel car la division par 0 n'est pas
définie ; (−6)0 =1 ; 0 0 n'est pas un nombre
réel car pas défini.
a.
a2
b.
a 18
c.
a 4n
d.
a
a. S={5}
25
e.
a 12
f.
a6
1
1
g.
a2n
h.
22
d. S={-1}
b. S={-1;3}
a.
10 √ 3
d.
4 √5
b.
3√6
e.
5 √ 10
c.
5 √5
f.
10 √ 70
28
e. S={
c. S={3}
1
}
8
f. S={7}
34
a. 1.678 mg
b. 20%
35 21595.94 fr.
√6
2
√3
b.
b. Vrai car en calculant les carrés des deux
membres, on obtient le nombre 4+2 √3 des
deux côtés.
33
a.
a.
8+4 √ 3 et
32
25
a. 5/6
membres, on obtient les nombres
2+√ 3 qui ne sont pas égaux.
e.
−2+ √7
17 – 4 √10
f.
43
9
c.
√ 3+2
d.
√ 5− √3
g.
32+5 √10
18
h.
√3
36 4535.15 fr.
37
a. 7800 fr.
b. 4790 fr.
c. 2942 fr.
38 1510.59 fr.
39 189.14 mmHg
40 y = 75.77 cm ; R = 15.98 cm/année
29
a.
√ 14
b. 2
30
a. Faux car en calculant les carrés des deux
168
Chapitre 8 - Exponentielles
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1
Effectuer
main » :
a.
les
calculs
(−1)n⋅(−1)n+2
2
3
suivants
«à
b.
5+5 2 +...+510
c.
5⋅52⋅...⋅5 10
Simplifier au maximum

la
8104 10
.
4
11
8 4
t
f (t )=653(1.028) et
Puissances irrationnelles
Comment faire pour définir une puissance
irrationnelle, par exemple 2 √ 2 ?
4
nombre approximatif de nouveaux cas relevés
tous les 28 jours est donné dans le tableau cidessous. A cette époque, le « London Daily »
faisait la terrible prévision que le nombre de
nouveaux cas allait croître indéfiniment.
William Farr fit une prévision correcte du
moment où le nombre de nouveaux cas
atteindrait son maximum. Des deux fonctions:
l’une modélise la prévision du journal et
l’autre celle de William Farr ; t est en jours,
t=0 correspondant au 12 août 1840.
N-gones
a. Calculer la valeur exacte du côté d’un
octogone régulier inscrit dans un cercle de
rayon 1.
b. Même question pour un 16-gone régulier
inscrit dans un cercle de rayon 1.
5
Tartaglia
Le mathématicien Niccolo Tartaglia (15001557) savait résoudre les équations du
troisième degré du type x 3 = p x+q , où p et
q sont des nombres positifs. Sa méthode a été
généralisée sous la forme d’une formule par
un autre mathématicien de la Renaissance
italienne, Jerôme Cardan (1501-1576), formule
qui s’exprime dans notre langage algébrique :
x=
√ √ ( ) ( ) √ √( ) ( )
3
q
+
2
q
2
a. Appliquer
2
3
–
3 q
p
+ −
3
2
cette
formule
q
2
à
2
–
p
3
3
l’équation :
3
x =6 x+40 .
3
b. Calculer les valeurs de
(2±√ 2) et
exprimer la solution trouvée au point a. sous
une forme plus simple.
c. Cette
équation
solutions réelles ?
admet-elle
d’autres
g (t )=54700 e
−(t −200)2
7500
Date
Nouveaux cas
12.08
506
9.09
1289
7.1
3487
4.11
9597
2.12
18’817
30.12
33’835
27.01
47’191
a. Représenter chaque fonction avec les
données dans une fenêtre de [0 ; 400] sur [0 ;
60’000].
b. Déterminer quelle fonction modélise la
prévision de William Farr.
c. Déterminer la date où le nombre de
nouveaux cas a atteint son maximum.
8
La fonction logistique
y=
1
x avec k > 0, a > 0 et 0 < b < 1,est
k +ab
b. Qui était Fibonacci?
parfois utilisée pour décrire les ventes d’un
nouveau produit qui sont d’abord faibles, puis
qui tendent en croissant vers un niveau de
saturation maximal. Représenter, dans un
même
système
de
coordonnées,
les
graphiques de la droite y = 1/k et la fonction
logistique, avec k = k, a = Q et b = 5-8. Que
c. Quel rapport avec des lapins?
représente la valeur
6
Fibonacci
L'image de la première page du dossier faire
référence à la célèbre suite de Fibonacci.
a. Qu'est-ce que « la suite de Fibonacci »?
d. Peut-on parler dans ce cas de croissance
exponentielle?
9
Soit
f ( x)=2
1
?
k
la fonction réelle définie par
Représenter graphiquement f.
– x2
7
En 1840, l’Angleterre subit une épidémie
touchant le bétail appelée épizootie. Le
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Chapitre 8 - Exponentielles
169
« En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue. »
John von Neumann, mathématicien américain d'origine hongroise (1903-1957)
Savoirs
✔ base/exposant ;
✔ définition des puissances
a n selon n : n entier positif, nul, entier négatif, rationnel, (réel) ;
✔ définition des racines n-ièmes ;
✔ multiplication par le conjugué ;
✔ fonctions exponentielles, valeur possibles pour la base ;
✔ équations exponentielles ;
✔ différence entre situations « puissance », « racine » et « exponentielle » ;
✔ formules de croissance exponentielle et de décroissance exponentielle ;
✔ ..............................................................................................................................................
✔ .............................................................................................................................................
✔ ..............................................................................................................................................
Savoir-faire
✔ manipuler des puissances et des racines n-ièmes pour calculer et simplifier ;
✔ rendre un dénominateur rationnel ;
✔ représenter graphiquement des fonctions exponentielles ;
✔ résoudre des équations exponentielles simples ;
✔ résoudre des problèmes de (dé)croissance exponentielle ;
✔ ..............................................................................................................................................
✔ ............................................................................................................................................
✔ ...............................................................................................................................................
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Chapitre 8 - Exponentielles
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