Méthodes Chapitre 6 : Fonction Exponentielle

Méthodes Chapitre 6 : Fonction Exponentielle
I) Comment utiliser la relation fonctionnelle et ses conséquences pour transformer des écritures ?
Méthode :
L’utilisation de la relation fonctionnelle ex × ey = ex + y et de ses conséquences permet de
transformer l’écriture d’une expression contenant des exponentielles. Ces relations sont
identiques, dans la forme, aux formules de calculs sur les puissances, mais avec un
exposant qui peut prendre ici n’importe quelle valeur réelle.
Applications :
Ecrire le plus simplement possible les expressions suivantes, définies pour tout réel x :
e1 - x
ex + 3
b) 2 + 3x ;
c) (e2x –e – x)2 ;
d)
.
a) e2x – 1 × e3 – x ;
e
e1 - x
II) Comment résoudre des équations comportant des exponentielles ?
Méthode :
1) Déterminer l’ensemble de définition.
2) Se ramener à une égalité de la forme e a = eb, en utilisant les propriétés de
l’exponentielle
3) La fonction exponentielle étant strictement croissante sur IR, on en déduit que
a = b.
On peut être amené à effectuer un changement d’inconnue (ex : on pose X = ex).
Dans cas, ne pas oublier de revenir ensuite à x.
Aussi, dans certains cas, comme l’exponentielle est à valeurs strictement positives on
peut conclure immédiatement à l’absence de solutions.
Applications :
Résoudre dans IR les équations suivantes :
2
a) e2x + 3 = e – x + 5 ;
b) e x + x – 2 = 1 ;
c) e4x + 3e2x – 4 = 0
III) Comment résoudre des inéquations comportant des exponentielles ?
Méthode :
Pour résoudre une inéquation comportant des exponentielles :
1) déterminer l’ensemble de définition ;
2) se ramener à une inégalité de la forme ea > eb
3) la fonction exponentielle étant strictement croissante sur IR, on en déduit que a > b.
On peut être amené à faire un changement d’inconnue (ex : on pose X = ex) puis à dresser un
tableau de signes.
Applications : résoudre dans IR les inéquations suivantes
2
2
a) e x – 3 > e2x
b) e x(x – 1) ≥ 1
c) e3x + e2x – 2ex ≤ 0
IV) Comment calculer des limites de fonctions comportant des exponentielles ?
Méthode :
Pour déterminer une limite comportant une exponentielle, on applique les règles opératoires
habituelles sur les limites en prenant en compte que :
lim ex = + ∞ et lim ex = 0.
x→+∞
x→–∞
Lorsque l’on est en présence d’une forme indéterminée, il faut se ramener par une
transformation d’écriture (factorisation, ..) aux limites démontrées dans le cours, c'est-àex
ex – 1
dire : ● lim
=1
● lim
=+∞
● lim xex = 0
x
x
x→0
x→+∞
x→–∞
Applications : déterminer les limites des fonctions f suivantes :
a) f(x) = e– 3x + 1 en – ∞ et + ∞ ;
a) f(x) = e– x + 2x en – ∞ ;
b) f(x) =
e) f(x) =
e2x – 1
en + ∞ ;
ex + 2
c) f(x) = ex – 4x en + ∞ ;
ex
en + ∞.
x+1
V) Comment déterminer la dérivée de fonctions s’exprimant avec une exponentielle ?
Méthode
Pour dériver une fonction comportant des exponentielles, il faut appliquer les formules générales
de dérivation et connaître la dérivée de e u(x) : (e u(x) )’ = u’(x) e u(x).
Applications
Calculer la dérivée des fonctions suivantes.
x 2 − x +1
1
, dans IR ; b) f(x) = ( 2 – x ) e 1 – x , dans IR ; c) f(x) = x e x , dans IR \ {0}
ex
e) f(x) =
, dans IR \ {-1}.
d) f(x) = x2 e3x, dans IR ;
x+1
a) f(x) = e
VI) Comment étudier des fonctions s’exprimant avec une exponentielle ?
Méthode
Pour étudier une fonction s’exprimant avec une exponentielle, on applique les méthodes
générales d’étude de fonctions (limites, variations, courbe) en tenant compte des spécificités de
l’exponentielle : limites, dérivée.
Application
Etudier la fonction définie sur IR par f(x) = (x + 1 ) e – x ( limites , variations , courbe )