marginal -"et le"

Tle ES Calcul intégral – Collège de Juilly – H. Kerneïs
CALCUL INTEGRAL
1. Aire sous une courbe
1.1. Unité d’aire dans un repère orthogonal
On considère (O;OI ,OJ ) un repère orthogonal. K est le point de coordonnées
(1;1) dans ce repère. L’unité d’aire est l’aire du rectangle OIKJ.
Exemples :
i. L’aire du rectangle ABCD ci-dessus est de 2 unités d’aires.
OI = 2 cm et OJ = 3 cm, donc l’aire de ABCD est
2 2 3 = 12 cm2.
ii. Dans une entreprise de fabrication d’objets, le coût marginal varie par
paliers. Le graphique ci-dessous représente ces variations en fonction du
nombre d’unités déjà produites.
1
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On admet que le coût total (en Euros) pour la fabrication de 1200
unités correspond à l’aire sous la courbe sur l’intervalle [0 ; 1200].
La fonction coût marginal est positive sur [0 ; 1200]. L’aire du domaine
cherché (en gris) est, en unités d’aire :
4 ( 200 0 ) + 3 ( 500 200 ) + 2 (1000 500 ) + 5 (1200 1000 ) = 3700 .
Donc le coût total de fabrication de 1200 unités est de 3700 .
1.2. Notion d’intégrale
Définition 1 : f est une fonction continue sur un intervalle ouvert I, a et b sont
deux réels de I. De plus F est l’une des primitives de f.
On appelle intégrale de f entre a et b le nombre F (b ) F ( a ) .
On note ce réel
f ( x ) dx .
b
a
Remarques :
i. Ce nombre se lit « somme de a à b de f ( x ) dx » ou « intégrale de a à b de
f ( x ) dx ».
ii. Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie. En effet, avec les notations
précédentes, les autres primitives de f sont de la forme G ( x ) = F ( x ) + k avec
k un nombre réel. Et l’on remarque que G (b ) G ( a ) = F (b ) F ( a ) .
iii. Dans la pratique, pour calculer
f ( x ) dx , on détermine une primitive F de
b
a
f sur un intervalle contenant a et b, puis on écrit :
f ( x ) dx = F ( x )
b
b
a
a
Exemple :
2
1
= F (b ) F ( a ) .
2
x3 23 13 7
x dx = = = .
3 1 3 3 3
2
Propriété 1 :
f ( x ) dx = 0 .
ii. f ( x ) dx = f ( x ) dx .
i.
a
a
a
b
b
a
Preuve : avec les notations précédentes…
f ( x ) dx = F (a ) F (a ) = 0 .
ii. f ( x ) dx = F ( a ) F (b ) = ( F (b ) F ( a )) = f ( x ) dx .
i.
a
a
a
b
b
a
2
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1.3. Intégrale et aire sous une courbe
Propriété 2 : admise…
f est une fonction continue et positive sur un intervalle I. a et b sont deux réels
de I tels que a b. C est la courbe représentative de f dans un repère
orthogonal.
f ( x ) dx
b
a
est l’aire, en unités d’aire, du domaine compris entre la courbe C,
l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b.
Remarques :
i. On dit aussi de manière moins rigoureuse que c’est l’aire sous la courbe C
entre a et b.
ii. On pourrait approcher l’aire sous la courbe en ajoutant les aire f ( x ) dx de
tous les rectangles de dimensions dx (aussi petit que l’on veut) et f ( x ) .
1
sur
x
l’aire, en unités d’aire, sous
Exemple : C est la courbe représentative de la fonction x l’intervalle 0; + . On désigne par s ( t )
cette courbe entre 1 et t. On a :
t dx
t
= ln x 1 = ln t .
Si t 1, s ( t ) = 1 x
1 dx
1
= ln x t = ln t .
Si 0 < t 1, s ( t ) = t x
2. Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle
Définition 2 :
f est une fonction continue sur un intervalle I. a et b sont deux réels de I tels que
1 b
f ( x ) dx .
a < b. La valeur moyenne de f sur l’intervalle [a ; b] est le réel :
b a a
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Interprétation géométrique : cas où f est positive sur [a ; b].
C est la courbe représentative de f dans un repère orthogonal. En unités d’aire :
f ( x ) dx est l’aire sous cette courbe entre a et b ;
et m (b a ) est l’aire du rectangle ABCD (en gris sur le dessin).
b
a
Donc m, valeur moyenne de f sur [a ; b], est la « hauteur » du rectangle de base
(b a ) ayant la même aire que le domaine sous la courbe C entre a et b.
Remarque : m a la même unité que la fonction f.
Exemples :
i. Le débit en m3/h d’une pompe à arrosage qui fonctionne en été de 6
heures à 20 heures, est modélisé par f ( x ) = 5e 0,002 x où x est l’heure
considérée (6 x 20). Une primitive F de f est :
1 0,002 x
F (x ) = 5 e
= 2500e 0,002 x .
0,002
Le volume d’eau débité par cette pompe entre 6 heures et 20 heures est
20
6
f ( x ) dx = F ( 20 ) F ( 6) 71,85 m3.
Le débit moyen de cette pompe entre 6 et 20 heures est égal à :
20
1
f ( x ) dx 5,13 m3/h.
6
20 6
Ce nombre est la valeur moyenne de la fonction f, il est donc exprimé
dans la même unité.
ii. Dans une région où une épidémie commence à se propager, on
constate que le nombre de malades contaminés t jours après le début de
l’épidémie est M(t).
Le nombre total de malades sur une période de 30 jours est
30
0
M ( t ) dt .
Le nombre moyen de personnes contaminées par jour est
1 30
M ( t ) dt .
30 0
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3. Propriétés de l’intégrale
f et g sont des fonctions continues sur un intervalle I, a et b sont deux réels quelconques.
3.1. Linéarité
Théorème 1 :
( f ( x ) + g ( x )) dx = f ( x ) dx + g ( x ) dx .
ii. kf ( x ) dx = k f ( x ) dx pour tout réel k.
i.
b
a
b
b
a
a
b
b
a
a
Preuve :
i. Soient F et G des primitives respectives de f et g sur I. Alors
F + G est une primitive de f + g sur I. (Voir chapitre sur les
primitives.) Ainsi :
( f ( x ) + g ( x )) dx
= F ( x ) + G ( x ) = F (b ) + G (b ) F ( a ) + G ( a ) = F (b ) F ( a ) + G (b ) G ( a ) = f ( x ) dx + g ( x ) dx
b
a
b
a
b
b
a
a
ii. De manière analogue car kF est une primitive de kf sur I.
Exemple : Calculer
( 4t
1
0
2
)
+ 3e t dt .
3.2. Positivité et ordre
Théorème 2 : a et b sont deux réels de I tels que a b.
Si pour tout x de [a ; b], f ( x ) 0 , alors
f ( x ) dx 0 .
b
a
Preuve : F est une primitive de f sur I, alors pour tout x de I,
F ' ( x ) = f ( x ) . Or f ( x ) 0 sur [a ; b], donc F est une
fonction croissante sur [a ; b]. Ce qui implique que F ( a ) F (b )
c’est à dire F (b ) F ( a ) 0 et donc
f ( x ) dx 0 .
b
a
Théorème 3 : a et b sont deux réels de I tels que a b.
Si pour tout x de I, f ( x ) g ( x ) , alors
5
b
a
f ( x ) dx g ( x ) dx .
b
a
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Preuve :
Pour
tout
x
de
g ( x ) f ( x ) dx 0 c’est à dire
b
a
et donc
g (x ) f (x ) 0 ,
I,
donc
g ( x ) dx f ( x ) dx 0
b
b
a
a
f ( x ) dx g ( x ) dx .
b
b
a
a
Exemple : La courbe représentative de la fonction x ln x est située
en dessous de sa tagente au point d’abscisse 1 d’équation y = x – 1 ; cela
signifie que pour tout x de 0; + , ln x x 1 . On a alors :
2
x2
1
avec
x
1
dx
=
x
ln
xdx
x
1
dx
(
)
(
)
= ... = . On
1
1
1
2
2
1
2
1
obtient donc ln xdx .
1
2
2
2
2
3.3. Relation de Chasles
Théorème 4 : Pour tous réels a, b et c de I,
f ( x ) dx + f ( x ) dx = f ( x ) dx .
b
c
c
a
b
a
Preuve : F est une primitive de f sur I.
f ( x ) dx + f ( x ) dx
= F (b ) F ( a ) + F ( c ) F (b ) = F (c ) F (a )
= f ( x ) dx
b
c
a
b
c
a
Exemple : Calculer I =
f (t ) dt
3
3
avec :
f ( t ) = 1 t si t < 0
f (0) = 1
t
f ( t ) = e si t > 0
Penser à la continuité de la fonction…
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