CALCUL INTÉGRAL

I- Théorèmes et définition
Théorème 1
Soit une primitive F d'une fonction f continue sur un intervalle I et un couple de réels (a ; b) de I,
le nombre réel F(b) – F(a) est indépendant du choix de la primitive F.
Démonstration :
Soit G une autre primitive de la fonction f sur I. On a G = F + C où C est une fonction constante sur I.
Le calcul de la différence G(b) – G(a) donne : G(b) – G(a) = F(b) + C – (F(a) + C) = F(b) – F(a).
Ce résultat justifie la définition suivante.
Définition
Soit f une fonction continue qui admet F comme primitive sur un intervalle I et un couple de réels
(a ; b) de I, le nombre réel F(b) – F(a) s'appelle l'intégrale de a à b de la fonction f.
Le réel F(b) – F(a) s'écrit souvent sous la forme condensée  F(t)a ,
b
L'intégrale de a à b de f se note

b
a

f ( t ) dt
b
a
f(t) dt = F(b) – F(a) =  F(t) a
b
et se lit «somme de a à b de f(t) dt».
Commentaires :
1. Dans l'écriture

b
a
f ( t ) dt , la lettre t est une variable muette qui peut être remplacée par n'importe quelle autre
lettre, hormis a, b et f déjà choisies.
2- Le symbole intégral

correspond à l'écriture du XVIIè siècle, étirement de la lettre S du mot latin summa.
Théorème 2
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, l'unique primitive de f qui s'annule en un point a
de I est la fonction définie sur I par

x
a
f ( t ) dt .
Démonstration :
À tout réel x de l'intervalle I, on peut associer l'intégrale de a à x de f ; soit K cette fonction x : Error!
x
Si F est une primitive de f sur I, alors pour tout x de I,
 f (t) dt = F(x) – F(a)
x
 f (t) dt .
a
soit K (x) = F(x) – F(a).
a
On en déduit que K est une primitive de la fonction f car K ' (x) = F ' (x) = f(x)
On a aussi K(a) = F(a) – F(a) = 0 ; or il existe sur I, une unique primitive qui s'annule en a : K est cette primitive.
x
La primitive de f qui s'annule au point a de I est la fonction définie sur I par K(x) =
 f (t) dt .
a
II- Propriétés d'une intégrale
Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et a, b et c trois réels de l'intervalle I.
 Relation de Chasles

c
a
f (x) dx 

b
a
f (x) dx 

c
b
f (x) dx
De façon évidente on a : F(c) – F(a) = [F(b) – F(a)] – [F(c) – F(b)].
PhG - Calcul intégral
 La relation de Chasles avec a = b = c donne :
 La relation de Chasles avec a = c donne :
 Linéarité de l'intégrale


a
a
b
a
f ( x ) dx = 0.
a
f (x) dx    f (x) dx .
b
b
 (f  g )(x) dx
a
b
b
a
a
   f (x) dx    g (x) dx
avec  et  deux réels quelconques
b
b

 ( f  g )(x) dx  
 Ce qui donne aussi :
a
b
et
(f )(x) dx    f (x) dx
a
a
b
f (x) dx 
a

b
a
g (x) dx .
 L'intégration, le calcul des intégrales, dispose d'une règle bien particulière nommée
intégration par parties.
Si f et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et si f ' et g ' sont continues sur I,
alors on peut écrire, pour tout réels a et b de I :

b
a
f (x) g ' (x) dx   f (x) .g (x)a 
b

b
a
f ' (x) g (x) dx
III- Calcul d'aire
Le calcul intégral prend ses racines dans le calcul d'aires et de
volumes. Eudoxe (–408; – 355) et Archimède (–287; – 212)
donnent l'idée fondamentale : «pour trouver une aire inconnue,
on l'encadre de plus en plus finement par des aires connues».
Mais cette méthode a des limites matérielles. Les mathématiciens
ont inventé d'autres méthodes de calcul très performantes.
Soit f une fonction continue sur [a ; b],
C sa représentation graphique et F une primitive de f.
1- f est positive sur [a ; b]
y
C
L'aire A colorée sur la figure est :
A =

a
a
A
f ( x ) dx = F(b) – F(a)
Cette aire est limitée par C, l'axe Ox et les droites
d'équation x = a et x = b.
2- f est négative sur [a ; b]
(–f) est positive sur [a ; b] et l'aire A ' est donc :
a
A ' = –  f ( x ) dx = – [ F(b) – F(a)]
a

O

b
a
A '
x
3- f change de signe sur [a ; b]
y
Si f change de signe un nombre fini de fois sur
C
[a ; b], on fait la somme des aires sur les
intervalles où f à un signe constant.
Exemple :

f change de signe en c avec f(x)  0 sur [a ; c[

O
et f(x)  0 sur [c ; b].
b
c
a x
L'aire colorée sur la figure est :
A =

c
a
f ( x ) dx +  –


b
c
f (x) dx 

4- Aire du domaine compris entre deux courbes
Soit g et h deux fonctions continues sur [a ; b], C
1
et C
2
leurs courbes représentatives.
On pose f = g – h et on est ramené aux cas précédents.
IV- Valeur moyenne d'une fonction
Soit f une fonction continue sur l'intervalle [a ; b] avec a < b.
1 b
f ( t ) dt .
La valeur moyenne de f sur [a ; b] est le réel :
b  a a
Commentaires :

Interprétations en physique
1. Lorsque v est la vitesse instantanée d'un mobile en mouvement, la fonction x : t Error! l(t), où l(t) est la distance
parcourue à l'instant t, est une primitive de v (v =
dl
).
dt
Le réel
1 b
v( t ) dt peut s'écrire l(b) – l(a).

b–a
a
ba
Cette expression est la vitesse moyenne du mobile sur l'intervalle de temps [a ; b], c'est-à-dire la vitesse constante
qu'il faudrait donner au mobile pour qu'il parcourt la même distance dans la même durée.
2. On appelle intensité efficace I d'un courant alternatif, l'intensité d'un courant continu qui produirait à travers une
résistance le même effet Joule pendant la durée d'une période.
Si l'intensité du courant alternatif à l'instant t est donnée par I = Î sin t, la loi de Joule conduit à :
T
1 T 2
R I 2 ( t ) dt ,
I ( t ) dt
W(T) = R I 2 T =
d'où
I2 =
T 0
0
c'est-à-dire que I 2 est la valeur moyenne sur [0 ; T] de la fonction t Error! I 2(t).



La valeur moyenne est égale à une valeur de la fonction continue f.
1
Il existe un réel c de l'intervalle [a ; b] tel que :
f(c) =
ba
b
 f (t) dt .
a
V- Applications du calcul intégral
1- On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 45] par x Error! 100 – 80 e – 0,02 x.
On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.
1. Déterminer la dérivée f ' de la fonction f.
PhG - Calcul intégral
2. Étudier le signe de la dérivée et dresser le tableau de variation de la fonction f.
3. On considère l'intégrale I =

45
0
(100  80 e 0,02 x ) dx qui représente l'aire du domaine
délimité par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 0 et x = 45.
a) Montrer que I = 500 + 4000 e – 0,9.
b) En déduire la valeur arrondie de I au dixième d'unité d'aire.1
2- Aire d'un triangle2
On considère les points A(3 ; 2) et B(5 ; 0) dans un repère orthogonal (O; Error!, Error!) d'unité
1 cm.
1. Donner une équation des droites (OA) et (AB).
2. En utilisant le calcul intégral, calculer en cm 2 l'aire du triangle OAB.
3. Vérifier le résultat en appliquant la formule donnant l'aire d'un triangle.
4. Déduire de la question 2. la valeur moyenne de f sur l'intervalle [0 ; 5].
3- Statique3
Une poutre de 8 mètres et de poids linéique 400 N.m – 1 repose par ses extrémités A et B sur
des supports dans un même plan horizontal.
Outre son poids, la poutre supporte une charge dont la répartition est :
C(x) = 500 x pour 0  x  4
et
C(x) = 4000 – 500 x pour 4  x  8.
C(x) est la charge exercée au point d'abscisse x et exprimée en N.m – 1.
a) Représenter la fonction de répartition de charge linéaire totale Q (c'est-à-dire la charge C(x)
plus le poids).
b) Calculer les actions aux appuis.
4- Intensité moyenne4
Un circuit est parcouru par un courant alternatif sinusoïdal d'intensité instantanée i.
i(t) = Î sin t
avec
Î : intensité maximale
1. Calculer l'intensité moyenne I sur une période, puis sur une alternance I 1 (une demi période).
2. Déterminer l'intensité moyenne I 2 du courant redressé monoalternance.
3. Déterminer l'intensité moyenne I 3 du courant redressé double alternance.
1. f '(x) = 1,6 e – 0,02 x 2. fonction croissante (0; 20) (45 ; 67,5) 3. I = 662,6 unités d'aire
2
2
1. y = x y = – x + 5 2. A = 5 cm 2 3. idem 4. f = 1
3
3
1. Courbe symétrique/x = 4 2. RA = RB = 5600 N
1
4
1. I = 0 I 1 = 2
Î
Î
Î
2. I 2 =
3. I 3 = 2



PhG - Calcul intégral