1 Exercice

3ème
Correction du Devoir Commun de mathématiques n°2
Partie Numérique (11 points )
Exercice 1
A2 – B3 – C3 – D2 – E1 – F3 – G3 – H2 – I1 – J3
Exercice 2
1/ E = 9x² +6x +1 – 9 = 9x² + 6x – 8
2/ E = (3x + 1)2 – 3² = (3x + 1 – 3)(3x + 1 + 3) = (3x – 2)(3x + 4)
1
1
1
3/ Pour x = ; E = (3× – 2)(3× + 4) = –1 × 5 = –5
3
3
3
Pour x = – 2 ; E = 9×(– 2)² + 6× (– 2) – 8 = 9×4 – 12 – 8 = 36 – 20 = 16
4/ (3x + 1)2 – 4 = 9(x2 – 1)
9x² + 6x + 1 – 4 = 9x² – 9
6x – 3 = 9x² – 9x² – 9
6x – 3 = – 9
6x = – 9 + 3
6x = – 6
6
6
x=–1
x=–
La solution de cette équation est – 1
Exercice 3
1/ x + y = 45 + 20 = 9×5 + 4×5 = 3 5 + 2 5 = 5 5
2/ xy = 3 5×2 5 = 6 25 = 6×5 = 30 ; donc xy est un nombre entier
3/ (x – z)2 = (3 5 – 15)2 = (3 5)2 – 2×3 5 15 + 152 = 9×5 – 6 5×15 + 15 = 60 – 6 5×5×3
= 60 – 6×5 3 = 60 – 30 3 ; donc (x – z)² s’écrit sou la forme c + d 3 où c =60 et d = –30
Partie Géométrique (15 points )
Exercice 4
1/ D’après les données BC² = 7²= 49 et AB² + AC² = 5,6² + 4,2² = 31,36 + 17,64 = 49
d’où BC² = AB² + AC²
Or d’après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A.
2/ D’après les données : (KB) et (AD) se coupent en C et (AK)//(DB)
or d’après le théorème de Thalès
en particulier
CD =
CK CA
=
CB CD
CK CA AK
=
=
CB CD DB
3 4,2
donc =
7 CD
7×4,2
3
CD = 9,8 cm
3/ ABC est rectangle en A, donc ABD aussi.
AD = CD – CA = 9,8 – 4,2 = 5,6 donc AD = AB. Le triangle ABD est isocèle rectangle en A.
4/ D’après la question 1/ (CA)⊥(AB), donc DAB = 90°
De plus ABD est isocèle en A, donc DBA = BDA
Or la somme des angles d’un triangle est égale à 180°, donc DBA + BDA + DAB = 180°
2 DBA + 90 = 180
2 DBA = 90
DBA = 45°
5/ D’après les données : DBA et BAK sont des angles en position alternes-internes et (DB)//(AK)
or si des angles sont en position alternes-internes et si les droites qui les portent sont parallèles, alors
ils sont de même mesure
donc DBA = BAK = 45°
D’autre part CAK = CAB - KAB = 90 – 45 = 45° donc CAK = KAB
La droite (AK) partage donc CAB en deux angles de même mesure, donc (AK) est la bissectrice de
l’angle CAB
6/ D’après la question 1/ CAB est un angle droit. Par construction KEA et KFA sont des angles
droits.
Or un quadrilatère qui possède trois angles droits est un rectangle
Donc AEKF est un rectangle.
7/ D’après les données : (KE)⊥(AB) et (CA)⊥(AB)
or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles
donc (KE)//(CA)
de même comme (KF)⊥(CA) et (BA)⊥(CA) alors (KF)//(AB)
D’après les données (AE) et (CK) se coupent en B et (KE)//(CA)
Or d’après le théorème de Thalès
En particulier
BE BK EK
=
=
BA BC AC
BK EK
=
et BK = BC – KC = 7 – 3 = 4
BC AC
4 EK
=
7 4,2
EK =
4×4,2
7
EK = 2,4 cm
D’après les données : (BK) et (AF) se coupent en C et (KF)//(AB)
Or d’après le théorème de Thalès
En particulier
CK FK
=
CB AB
CK CF FK
=
=
CB CA AB
Donc
3 FK
=
7 5,6
FK =
3×5,6
7
FK = 2,4 cm
On a montré que EK = FK, de plus d’après la question 6/ on sait que AEKF est un rectangle
Or si un rectangle a deux côtés consécutifs égaux, alors c’est un carré
Donc AEKF est un carré
A
Exercice 5
1/
R
O
I
B
2/ D’après les données : A est un point du cercle de diamètre [RI]
Or si dans un cercle, un triangle a pour sommet les extrémités d’un diamètre et un point du cercle
alors ce triangle est rectangle en ce point.
Donc RIA est rectangle en A
De même B est un point du cercle de diamètre [IO] donc IBO est rectangle en B
On a montré que (RA)⊥(AB) et que (BO)⊥(AB)
Or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles
Donc (RA)//(BO)
Problème (10 points)
Partie A : On tire une boule au hasard et on regarde la lettre inscrite dessus.
1/ Cette expérience est reproductible,
on ne connaît pas au moment où on la réalise le résultat qu’on va obtenir,
mais on connaît tous les résultats possibles.
C’est donc une expérience aléatoire
2/ Les issues de cette expérience sont : obtenir A, B, C, D, E, F, G, H, I et J
3/ Les issues ont toutes la même probabilité de se réaliser, car les boules ont toutes la même
probabilité d’être tirées.
1
4/ a. la probabilité d’obtenir la lettre C est
10
1
b. la probabilité d’obtenir la lettre J est
10
3
c. la probabilité d’obtenir une voyelle est
10
5/ W sera l’événement « obtenir une consonne »
3
7
P(V) + P(W) =
+
=1
10 10
Partie B : On tire une boule au hasard et on regarde sa couleur.
1/ Les issues possibles sont : une boule rouge, une boule verte.
2/ La probabilité d’obtenir une boule rouge est
La probabilité d’obtenir une boule verte est
6
3
(ou ).
5
10
4
2
(ou )
5
10
Partie C : On tire une boule au hasard et on regarde sa couleur ainsi que la lettre inscrite dessus.
1/ a.la probabilité d’obtenir une boule rouge est
6
10
b. la probabilité d’obtenir une boule avec une consonne est
7
10
c. la probabilité d’obtenir une boule qui soit rouge et avec une voyelle est
d. la probabilité d’obtenir une boule rouge ou avec une voyelle est
2
10
7
10
2/ a. Il y a à présent 15 boules dans l’urne.
2
10
La probabilité d’obtenir une boule rouge est , c’est-à-dire .
3
15
Il y a donc 10 boules rouges dans l’urne, ce qui signifie qu’on a ajouté 4 boules rouges et
donc 1 boule verte.
b. La probabilité d’obtenir une boule verte avec une voyelle est de
1
, il y a une seule boule
15
verte qui comporte une voyelle.
On n’a donc pas ajouté de boule verte comportant une voyelle.
On a ajouté une boule verte comportant une consonne.
c. Il y avait 3 voyelles dans l’urne au départ, il y en a 5 à présent, on en a donc ajouté 2 voyelle.
On a donc ajouté deux boules rouges comportant des voyelles et deux boules rouges
comportant des consonnes.