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Parties libres, parties génératrices, bases et applications linéaires
I. Parties libres, génératrices, bases.
D1: On dit que (ai)i est une partie libre de E ssi pour toute combinaison linéaire
finie, ∑ α i a i , ∑ α i a i = 0 ⇒ ∀i, α i = 0 .
i
i
On dit aussi que les éléments (ai)i sont linéairement indépendants. Dans le cas
contraire, on dit que la famille est liée.
D2: On dit que (ai)i est une partie génératrice de E ssi tout élément de E est
combinaison linéaire des (ai)i.
D3: On dit que (ai)i est une base de E ssi c’est une partie génératrice et libre de E.
Dans ce cas tout élément de E est combinaison linéaire d’une seule façon des
éléments de (ai)i.
Bases remarquables dans les espaces : 5n , &n, Kn[X] et K[X].
• Dans 5n ou &n la base canonique (ei)i :
e1
1 
0
 
= .
.
 
 0 
, e2
0 
1 
 
= .
.
 
 0 
, e3
0 
0
 
= 1 
.
 
 0 
0
.
 
= .
0
 
 1 
, ..., en
,
• Dans Kn[X] la base canonique à n+1 éléments: X0, X1, X2, ..., Xn .
• Dans K[X] la base canonique infinie X0, X1, X2, ..., Xn, Xn+1, ...
.
• Dans Mat(n, m, K) l’espace des matrices à n lignes et m colonnes, la base
canonique est formée des matrices Ei,j dont tous les termes sont nuls sauf le
terme de la ligne i et de la colonne j qui est égal à 1. Cette base contient n.m
vecteurs.
propriétés immédiates:
• Si L est libre dans E et si L’ ⊂ L, alors L‘ est aussi libre.
• Si L est liée dans E et si L’ ⊃ L, alors L‘ est aussi liée.
• (xi)i = F est liée ssi il existe i0 et une famille (αi) tels que x i 0 =
∑ α ixi .
i≠ i 0
• Si G est une partie génératrice de E et si G ⊂ G’ ⊂ E, alors G est aussi une
partie génératrice de E.
• Si L est libre et L ∪ {x} est liée, alors x est combinaison linéaire des éléments de
L (ie: x ∈ Vect (L) sous-espace engendré par L).
algèbre linéaire
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résumé 1
II. Dimension d’un espace vectoriel.
Théorème de la dimension: Soit E un espace vectoriel.
• Si E possède une partie génératrice finie ayant m éléments, alors toutes les
parties libres de E possèdent m éléments au plus.
• Si E possède une partie libre ayant n éléments, alors, toutes les parties
génératrices de E ont n éléments au moins.
• Si une base de E a n éléments, toutes les autres bases ont exactement n éléments.
• Si E possède une base ayant n éléments (n ≥ 1), on dit que E est un espace de
dimension n (on note dimk E = n).
L’espace {0} qui n’a pas de partie libre est de dimension 0 par convention.
• Dans un espace de dimension n :
• une partie libre a au plus n éléments
• toute partie libre ayant n éléments est une base.
• un partie génératrice a au moins n éléments.
• toute partie génératrice ayant n éléments est une base.
Conséquence pratique: Si la dimension d’un E.V. ou d’un s.e.v. nous est connue,
pour vérifier qu’une partie à n éléments (n = dim E) est une base il suffit de vérifier
qu’elle est libre ou bien qu’elle est une partie génératrice.
Théorème de la base incomplète:
Soit E un espace vectoriel de dimension finie et n= dim E.
Pour toute partie libre (a1, a2,..., ap), avec bien sur p ≤ n , il existe des éléments
(ap+1, ap+2,..., an), tels que (a1, a2,..., ap, ap+1, ap+2,..., an) soit une base de E.
algèbre linéaire
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résumé 1
III. Applications linéaires et parties libres, génératrices.
Dans ce qui suit f est une application linéaire de E dans F, K-ev.
P1: f est injective ssi une des propriétés suivantes est vérifiée:
• ker(f) = {0E}
• l’image par f de toute partie libre de E est une partie libre dans F.
• il existe une base (ai) de E dont l’image par f (f(ai)) est libre dans F.
P2: image d’une partie génératrice de E par f quelconque:
Si (ai) est une partie génératrice de E, son image par f , (f(ai)), est une partie
génératrice de Im(f) sev de F.
P2’: f est surjective sur F ssi une des propriétés suivantes est vérifiée:
• Im(f) = F.
• il existe une partie (ai) de E dont l’image par f est génératrice dans F.
• l’image par f de toute partie génératrice de E est une partie génératrice de
F.
P3: f est bijective de E sur F ssi une des propriétés suivantes est vérifiée:
• il existe une base (ai) de E telle que (f (ai)) soit une base de F
• l’image de toute base de E est une base de f.
P4: Si (ai) est une base de E et (bi) une famille quelconque de F, il existe une
application linéaire et une seule de E dans F définie par ∀i , f (a i ) = b i .


f  ∑ α i a i ,  = ∑ α i f (a i ) = ∑ α i b i ,
 i

i
i
de sens si (ai)i n’est pas une base).
On la définit en posant
algèbre linéaire
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(ce
qui n’a pas
résumé 1
P5: l’application linéaire f telle que ∀i , f (a i ) = b i ( avec (ai) base de E),
• est injective ssi (bi) est libre,
• est surjective ssi (bi) est génératrice dans F.
Conséquences: si f est linéaire de E dans F de dimensions finies n et m alors:
• dim(Im(f)) ≤ n et dim(Im(f)) ≤ m
• si f est injective alors dim (Im(f)) = n ≤ m m (dim E ≤ dim F)
• si f est surjective, alors n ≥ dim (Im(f)) = m (dim E ≥ dim F)
• si f est bijective alors (dim E = dim F)
IV. Théorème du rang.
D 4: notions de rang.
On appelle rang d’une famille finie (ai) de vecteurs de E la dimension du sousespace de E engendré par cette famille, à savoir dim Vect((ai) ).
On appelle rang d’une application linéaire de E dans F de dimension finie, la
dimension de Im(f).
Théorème du rang:
Pour toute application linéaire f de E dans F on a la relation:
dim E = dim Im(f) + dim ker(f) ou rg(f) = dim Im(f) = dim E - dim ker(f)
algèbre linéaire
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résumé 1
2.2
Supplémentaires, projections et symétries
Définition 2
Soit E un espace vectoriel et F, G deux sev supplémentaires dans E : F ⊕ G = E.
• On définit la projection sur F parallèlement à G de la façon suivante :
si x ∈ E se décompose en x = x1 + x2 où (x1 , x2 ) ∈ F × G, alors
p(x) = p(x1 + x2 ) = x1 .
• On définit la symétrie par rapport à F parallèlement à G de la façon suivante :
si x ∈ E se décompose en x = x1 + x2 où (x1 , x2 ) ∈ F × G, alors
σ(x) = σ(x1 + x2 ) = x1 − x2 .
Théorème 2 propriétés
Soit E un espace vectoriel et F, G tels que F ⊕ G = E.
• projections
– La projection p sur F parallèlement à G est une application linéaire ;
– F = Im(p)=Ker(p − idE ) et G = Ker(p)
– p◦p=p
• symétries
– La symétrie σ par rapport à F parallèlement à G est une application linéaire ;
– F = Ker(σ − idE ) et G = Ker(σ + idE )
– σ ◦ σ = idE
• projections et symétries
– q = idE − p est la projection sur G parallèlement à F ;
– σ = 2p − idE ;
– −σ est la symétrie par rapport à G parallèlement à F.
Démonstration
Théorème 3 caractérisation des projecteurs et symétries parmi les applications linéaires
Soit E un espace vectoriel et f un endomorphisme de E.
• f est idempotent (ie : f ◦ f = f ) si et seulement si f est une projection ;
Dans ce cas
– Im(f ) et Ker(f ) sont supplémentaires et f est la projection sur Im(f ) parallèlement à
Ker(f )
– Les sev propres de f sont Im(f )=Ker(f − id − E) et Ker(f )
• f est involutive (ie : f ◦ f = idE ) si et seulement si f est une symétrie ;
Dans ce cas :
– Ker(f − idE ) et Ker(f + idE ) sont supplémentaires et f est la symétrie sur Ker(f − idE )
parallèlement à Ker(f + idE )
– Les sev propres de f sont Ker(f − id − E) et Ker(f + idE )
Démonstration par analyse synthèse...
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