TD 7

Université BORDEAUX 1
L2/2013 Algèbre 2
Liste d’exercices no 7
Dualité
Exercice 1
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps K.
1. Montrer que toute forme linéaire non nulle sur E est surjective.
2. Montrer que le noyau d’une forme linéaire non nulle sur E est un hyperplan, i.e. un sousespace de E de dimension n − 1.
3. Montrer que tout hyperplan de E est le noyau d’une forme linéaire non nulle sur E.
4. Soient φ1 et φ2 deux formes linéaires non nulles sur E. Montrer que Ker φ1 = Ker φ2 si et
seulement s’il existe λ ∈ K ∗ tel que φ1 = λφ2 .
Exercice 2
Soient K un corps, E un K-espace vectoriel, f et g deux formes linéaires sur E telles que
pour tout x ∈ E, f (x)g(x) = 0. Montrer que l’une au moins des deux formes est nulle.
Exercice 3
Soient φ1 , φ2 et φ3 les applications de R3 dans R définies pour tout (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 par
φ1 (x1 , x2 , x3 ) = 2x1 + 4x2 + x3
φ2 (x1 , x2 , x3 ) = 4x1 + 2x2 + 3x3
φ3 (x1 , x2 , x3 ) = x1 + x2
Montrer que (φ1 , φ2 , φ3 ) est une base de (R3 )∗ et déterminer sa base duale (dans R3 ).
Exercice 4
Trouver toutes les formes linéaires sur R3 qui s’annulent en (1, 1, 0) et (0, 0, 1) mais pas en
(1, 0, 1).
Exercice 5
On considère l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à
deux, noté R2 [X]. Montrer que la famille (P0 , P1 , P2 ) où P0 = 1, P1 = X + 1 et P2 = (X + 1)2
constitue une base B de R2 [X]. Déterminer la base duale de la base B (dans R2 [X]∗ ).
Exercice 6
On considère l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal
à trois, noté R3 [X]. Si P ∈ R3 [X] on pose φ1 (P ) = P (0), φ2 (P ) = P (1), ψ1 (P ) = P 0 (0),
ψ2 (P ) = P 0 (1). Montrer que (φ1 , φ2 , ψ1 , ψ2 ) est une base de R3 [X]∗ et déterminer sa base duale
(dans R3 [X]).
Exercice 7
On considère E = Cn [X] l’espace vectoriel des polynômes à coefficients dans C de degré ≤ n
(n ≥ 0). Soient z0 , z1 , . . . , zn des complexes distincts. Pour tout P ∈ E et tout 0 ≤ i ≤ n, on
pose fi (P ) = P (zi ). Montrer que (f0 , f1 , . . . , fn ) est une base de E ∗ et déterminer sa base duale
(dans E).
Exercice 8
Soit E un espace vectoriel sur un corps K. Si F est un sous-espace de E et si F est un
sous-espace de E ∗ on pose
F ⊥ = {f ∈ E ∗ ; f (x) = 0 pour tout x ∈ F }
et
F ◦ = {x ∈ E; f (x) = 0 pour tout f ∈ F}.
1. Rappeler pourquoi F ⊥ est un sous-espace de E ∗ et pourquoi si E est de dimension finie n,
alors dim F ⊥ = n − dim F (cours).
2. Montrer que F ◦ est un sous-espace vectoriel de E.
3. Montrer que si E est de dimension finie n, alors dim F ◦ = n − dim F.
4. Montrer que si F, G sont deux sous-espaces de E, alors (F + G)⊥ = F ⊥ ∩ G⊥ .
5. Sous les mêmes hypothèses montrer que F ⊥ + G⊥ ⊆ (F ∩ G)⊥ et que si E est de dimension
finie 1 F ⊥ + G⊥ = (F ∩ G)⊥ .
6. Montrer que si F, G sont deux sous-espaces de E ∗ , alors (F + G)◦ = F ◦ ∩ G ◦ .
7. Sous les mêmes hypothèses montrer que F ◦ + G ◦ ⊆ (F ∩ G)◦ et que si E est de dimension
finie 2 F ◦ + G ◦ = (F ∩ G)◦ .
Exercice 9
Soit K un corps et n un entier ≥ 2.
1. Soit A ∈ Mn (K). Montrer que fA : Mn (K) → K définie par fA (M ) = Tr(AM ) est une
forme linéaire sur Mn (K).
2. Soit Ψ : Mn (K) → Mn (K)∗ définie par Ψ(A) = fA . Montrer que Ψ est linéaire et injective.
On pourra se servir des matrices élémentaires Ei,j (tout coefficient est nul sauf le coefficient
situé en i-ième ligne et j-ième colonne qui vaut 1).
3. En déduire que pour tout f ∈ Mn (K)∗ , il existe une unique matrice A ∈ Mn (K) telle que
f = fA .
4. Exprimer la base duale de la base (Ei,j ) à l’aide de Ψ.
5. Soit f ∈ Mn (K)∗ telle que pour tout (A, B) ∈ Mn (K)2 on ait f (AB) = f (BA). Montrer
qu’il existe λ ∈ K tel que pour tout M ∈ Mn (K), f (M ) = λTr(M ).
Exercice 10
Soient E le R-espace vectoriel R[X], f : E → E définie par f (P ) = XP et φ : E → R définie
par φ(P ) = P 0 (0). Calculer t f (φ)
Exercice 11
Soient E et F deux K-espaces vectoriels et f ∈ L(E, F ).
1. Montrer que Ker(t f ) = (Imf )⊥ et en déduire que f est surjectif si et seulement si t f est
injectif.
2. Montrer que Im(t f ) ⊆ (Ker f )⊥ .
3. Montrer que si E et F sont de dimension finie, cette inclusion est en fait une égalité. 3
4. Établir que si E et F sont de dimension finie, on a rang(t f ) = rang(f ).
Exercice 12
Soient E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies respectives n et m. Soient B
une base de E et B 0 une base de F . Soit u ∈ L(E, F ) de matrice A ∈ Mm,n (K) dans les bases B
et B 0 . Montrer que la matrice de t u dans les bases B 0∗ et B ∗ est t A, la transposée de A.
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1. En fait cette égalité est toujours vraie. On peut la montrer en se servant du théorème de la base incomplète.
2. En revanche, cette égalité n’est pas toujours vraie.
3. En fait c’est vrai en toute généralité mais plus délicat à établir.