espaces est "s 1"

1.4 Décomposition de E en somme directe de sous-espaces caractéristiques
Théorème : Soit u un endomorphisme de E tel que son polynôme caractéristique s’écrive χ(X) =
p
∏(X − λ
k =1
)α ,
k
k
αk > 0 et les λk distincts deux à deux (autrement dit χ est scindé); alors son polynôme minimal est de la forme
µ(X) =
p
∏(X − λ
k =1
) β (avec 0 < βk ≤ αk) (voir 1.2). On pose :
k
k
Nk = Ker (u − λk Id E )α . Alors :
k
(i) E est somme directe des Nk (1 ≤ k ≤ p);
(ii) Nk = Ker(u − λk Id E ) β ;
k
(iii) λk est la seule valeur propre de la restriction u/Nk de u à Nk;
(iv) Dim Nk = αk;
(v) la restriction vk = (u - λkId)/Nk de u - λkId à Nk est nilpotente d’indice βk (1 ≤ k ≤ p);
Les sous-espaces vectoriels Nk = Ker (u − λk Id E )α = Ker(u − λk Id E ) β sont appelés sous-espaces caractéristiques (ou
spectraux) de u.
k
k
Démonstration :
(i) Comme χ(u) = 0 il résulte du théorème de décomposition des noyaux que E est somme directe des Nk;
(ii) comme µ(u) = 0 on a pour les même raisons E = Ker(u − λk Id E ) β1 ⊕ ... ⊕ Ker(u − λk Id E ) βr . Mais
Ker(u − λk Id E ) β ⊂ Nk pour 1 ≤ k ≤ p donc dim Ker(u − λk Id E ) β ≤ dim Nk. D’autre part
k
k
p
n=
∑ dimKer(u − λ Id
k
k =1
)β =
k
E
p
∑ dimN
k =1
par conséquent dim Ker(u − λk Id E ) β = dim Nk et Ker(u − λk Id E ) β = Nk.
k
k
k
(iii) soit λ une valeur propre de u/Nk . Il existe x ∈ Nk - {0} tel que u(x) = λx. Comme ( u − λk Id E ) k ( x) = 0 il vient
α
( λ − λk )
αk
x = 0, soit (λ − λk ) = 0 (puisque x est non nul) ou λ = λk;
αj
(iv) posons dk = dim Nk. D’après l’exercice 4 2°/ on a χ =
p
∏χ
k =1
D’après le (iii) χk = ( X − λ k ) soit χ =
dk
p
∏(X − λ
k =1
k
où χk est le polynôme caractéristique de u/Nk.
) d donc dk = αk pour 1 ≤ k ≤ p;
k
k
(v) d ’après (ii) ν kβ = 0. Supposons que pour un j ∈ {1; ... ; p} on ait ν j
β j −1
k
(X − λj )
β j −1
∏ (X − λ )
k≠ j
βk
k
= 0. Alors le polynôme
p
annulerait u puisqu’il annule u/Nk pour 1 ≤ k ≤ p et donc
∏(X − λ
k =1
) β ne serait pas le
k
k
polynôme minimal de u.
Remarques :
Le théorème précédent s’applique à tout endomorphisme u d’un espace vectoriel sur un corps K algébriquement clos
(c par exemple);
Dans les conditions du théorème précédent, si on pose Ek = Ker(u - λkIdE), on retrouve le résultat : u est diagonalisable
ssi dim Ek = αk pour 1 ≤ k ≤ p.
(en effet u est diagonalisable ssi βk = 1 pour 1 ≤ k ≤ p (proposition (iv) du 1.2) donc Nk = Ker(u - λkIdE) = Ek = sousespace propre relatif à la valeur propre λk donc dim Ek = αk. Réciproquement si dim Ek = αk alors Ek = Nk (car on a
toujours Ek ⊂ Nk) donc E est somme directe des Nk i.e u est diagonalisable).
Dans une base adaptée à la décomposition de E en somme directe des Nk la matrice de u est une matrice diagonale de
⎛ M1
⎞
⎜
⎟
matrices : ⎜
%
⎟ où MK = matrice de la restriction u /Nk de u à Nk.
⎜
M p ⎟⎠
⎝
Exercice 9
1°/ Soit M une matrice dont le polynôme caractéristique χ(X) =
p
∏ ( X − λ )α
k
k =1
µ(X) =
p
∏(X − λ
k =1
k
est scindé. Soit
) β sont polynôme minimal. Montrer que, si M est inversible, il existe des matrices Ai,k
k
k
indépendantes dans Mn(n) telles que pour tout q de n on a :
Mq =
p
⎛ β i −1
⎞
i =1
⎝ k =0
⎠
∑ λqi ⎜⎜ ∑ q k Ai,k ⎟⎟ .
Si M 'est pas inversible et λj est la valeur propre nulle la relation précédente est valable pour tout entier naturel q
supérieur ou égal à βj.
2°/ Applications aux suites récurrentes :
s étant un entier naturel non nul, et αi (0 ≤ i ≤ s-1) s scalaires, avec α0 non nul, soit (S') l'ensemble des suites (xn) à
valeurs dans K vérifiant la relation de récurrence :
xn+s = α0xn +α1xn+1 + ... + αs-1xn+s-1.
s −1
Soit l'équation P(r) = rs -
∑α r
k
k =0
k
= 0 (appelée équation caractéristique de (xn)).
L'ensemble (S') est un espace vectoriel de dimension s. Si le polynôme P est scindé et si λ1, ... , λq sont les racines de P
de multiplicités respectives α1, ... , αq une base de (S') est (n k λni )10≤≤ik≤≤qα −1
i
Etant donné (y0, ... , ys-1) ∈ K il existe un unique élément de (S') tel que x0 = y0, ... , xs-1 = ys-1.
p
(Réf. : Ramis tome 1, p 415 à 417).
3°/ Autre application : convergence de Aq
Soit A une matrice (n, n) à coefficients complexes. On pose ρ(A) = Max λ (appelé rayon spectral de A). Montrer que
∈Sp(A)
: (Aq converge vers 0 ssi ρ(A) < 1).
Le paragraphe suivant donne un autre exemple d’application du théorème précédent.