MPSI B 22 mai 2017 Corrigé Énoncé Soit E un R-espace vectoriel de dimension 4 et E = (e1 , e2 , e3 , e4 ) une base de E . Soit f l'endomorphisme de E tel que 1. Après calculs, on trouve det(f − λ IdE ) = λ2 (λ − 1)2 . 2. Après calculs, on trouve 1 0 A = Mat(f ) = 1 E 1 −1 2 −2 0 1 −1 −1 1 0 −1 1 0 rg A = 3, 3. 1. Soit λ ∈ R. Calculer det(f − λ IdE ) sous forme factorisée. 2. Calculer les rangs des matrices A, A2 , A − I4 , (A − I4 )2 . 3. a. Montrer qu'il existe une base A = (a1 , a2 , a3 , a4 ) de E telle que 0 0 Mat(f ) = 0 A 0 1 0 0 0 0 0 1 0 rg A2 = 2, rg(A − I4 ) = 3, rg(A − I4 )2 = 2 a. De la question 2., on tire les dimensions des noyaux par le théorème du rang dim(ker f ) = 1, dim(ker f 2 ) = 2, dim(ker(f − IdE )) = 1, dim(ker(f − IdE )2 ) = 2 Soit a1 un vecteur non nul de ker f et a3 un vecteur non nul de ker(f − IdE ). On a bien alors f (a1 ) = 0E et f (a3 ) = a3 . Soit x un vecteur du plan ker f 2 qui n'est pas dans la droite ker f . Alors f (x) ∈ ker f = Vect a1 . Il existe donc λ 6= 0 tel que f (x) = a1 . Posons a2 = λ1 x, on a bien alors f (a2 ) = a1 . Soit y un vecteur du plan ker(f − IdE )2 qui n'est pas dans la droite ker(f − IdE ). Alors f (y) − y ∈ ker(f − IdE ) = Vect(a3 ). Il existe donc un µ 6= 0 tel que f (y) − y = µa3 . Posons a4 = µ1 y , on a bien f (a4 ) = a4 + a3 . Il reste à vérier que la famille (a1 , a2 , a3 , a4 ) est une base. Il sut de vérier qu'elle est libre. Soit λ1 , λ2 , λ3 , λ4 tel que λ1 a1 + λ2 a2 + λ3 a3 + λ4 a4 = 0E . En composant deux fois par f , on tire 0 0 1 1 b. En précisant les coordonnées dans E , calculer une base vériant la condition précédente. λ1 a2 + λ3 a3 + (λ3 + λ4 )a4 = 0E λ3 a3 + (2λ3 + λ4 )a4 = 0E ) ⇒ λ1 a2 − λ3 a4 = 0E En composant encore par f , on obtient λ3 a4 = 0E d'où λ3 = 0 puis λ1 = 0 puis λ4 = 0 (avec la deuxième équation de l'accolade) et enn λ2 = 0 avec la première relation. b. Calcul de a1 . On résoud le système x − y + 2z − 2t = 0 x−y+z =0 x − y = 0 z−t=0 z − 2t = 0 ⇔ z=0 ⇔ x−y+z =0 z−t=0 t=0 x−y+z =0 On choisit a1 = e1 + e2 . Cette création est mise à disposition selon le Contrat Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ 1 Rémy Nicolai Aalglin24 MPSI B 22 mai 2017 Calcul de a2 . On résoud le système x − y + 2z − 2t = 1 x−y+z =0 x − y = −1 z−t=1 z − 2t = 1 ⇔ z=1 ⇔ x−y+z =0 z−t=1 t=0 x−y+z =0 On choisit a2 = e2 + e3 . Calcul de a3 . On résoud le système x−y =0 −y + 2z − 2t = 0 x−y =0 −y + 2z − 2t = 0 −y + z − t = 0 ⇔ −y + z − t = 0 ⇔ −y + z − t = 0 x−y =0 z−t=0 z−t=0 x−y+z−t=0 On choisit a3 = e3 + e4 . Calcul de a4 . On résoud le système x−y =1 −y + 2z − 2t = 0 x−y =1 −y + 2z − 2t = 0 −y + z − t = 0 ⇔ −y + z − t = 0 ⇔ −y + z − t = 0 x−y =1 z−t=0 z−t=0 x−y+z−t=1 On choisit a4 = e1 . Cette création est mise à disposition selon le Contrat Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ 2 Rémy Nicolai Aalglin24