Compléments d`algèbre linéaire

LYCÉE CHAPTAL – PT* – 2016/2017
COMPLÉMENTS D’ALGÈBRE
LINÉAIRE
Compléments d’algèbre linéaire
ENTRAÎNEMENT 1
♣ Exercice 5 — Soit H = {P ∈ Rn [X ] | P(1) = 0}.
♣ Exercice 1 — Résoudre, en fonction du paramètre m ∈ C, le système d’équations linéaires suivant :

x − y +z = m
x + my − z = 1

x − y −z =1
1. Montrer que H est un espace vectoriel et en déterminer une base.
2. Montrer que H est un hyperplan de Rn [X ] de trois
façons différentes.
Indications —
1. On peut revenir à la définition d’un sev (à savoir faire)
ou déterminer directement une famille génératrice de H.
On trouve dim(H) = n.
Indication — Du pivot, rien que du pivot !
Correction — Notons S l’ensemble des solutions. On distingue deux cas :
m−1
• si m 6= −1, S = m+1
;
2 , 0, 2
2. On peut déterminer la dimension de H, ou montrer que
Vect(1) est supplémentaire à H ou enfin voir que H est le
noyau d’une certaine forme linéaire (hors programme).
• si m = −1, S = {( y, y, −1) | y ∈ R}.
♣ Exercice 2 — Résoudre dans M2 (R) :
X2 + X = A
avec

1
A=
1
♣ Exercice 6 — Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L (E).
‹
1
1
1. On suppose que E = Ker f ⊕ Im f .
Démontrer que Im f = Im f 2 .
2. La réciproque est-elle vraie ?

‹
a b
Indication — On pourra poser X =
et résoudre un
c d
système d’équations non linéaires. Soustraire la première
équation et la dernière puis factoriser.
Correction —
1. On a toujours Im f 2 ⊂ Im f .
Si y ∈ Im f , y = f (x) avec x ∈ E. Il existe par ailleurs
(x 1 , x 2 ) ∈ Ker( f ) × Im( f ) tel que x = x 1 + x 2 . D’où :
Correction — En factorisant l’équation obtenue par d − a,
on trouve d = a. En réinjectant, on trouve alors quatre solutions : −A/2 − I2 , −A, A − I2 et A/2.

1
♣ Exercice 3 — Soit A = 0
0
Calculer An pour n ∈ N.
1
1
0
f (x) = f (x 1 + x 2 ) = f (x 2 ) et x 2 = f (z2 )
= f ( f (z2 )) ∈ Im f 2

1
1 .
1
Ainsi Im f ⊂ Im f 2 .
2. Im f = Im f 2 ⇐⇒ E = Ker f +Im f et en dimension finie,
la somme est directe (théorème du rang).
Indication — La formule du binôme peut-elle s’appliquer ?
n(n+1) !
Correction — ∀n ∈ N, An =
1
0
0
n
1
0
2
n
1
♣ Exercice 7 — Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et f ∈ L (E) vérifiant f 3 = id E .
.
1. Montrer que Im( f − id E ) ⊂ Ker( f 2 + f + id E ).
2. En déduire que Im( f − id E ) et Ker( f − id E ) sont
supplémentaires dans E.
♣ Exercice 4 —
1. Déterminer la dimension et les équations cartésiennes du sous-espace F de R4 engendré par
(0, 2, 1, −1) et (2, −1, 1, 0).
Indication — 2. On travaille en dimension finie...
Correction —
2. Trouver un supplémentaire de F .
1. Soit y ∈ Im( f − id E ). Comme y = f (x) − x avec x ∈ E,
on a f 2 ( y) + f ( y) + y = f 3 (x) − x = 0 E .
Indication — 2. Choisir deux vecteurs non colinéaires dans
R4 \ F puis montrer que les espaces sont supplémentaires.
2. En appliquant le théorème du rang à g = f − id E , on a :
dim(Im( f − id E )) + dim(Ker( f − id E )) = dim(E)
Correction — On a clairement dim(F ) = 2. De plus,
x + 2 y + 4t = 0
u = (x, y, z, t) ∈ F ⇐⇒
x − 2z − 2t = 0
De plus, si x ∈ Im( f − id E ) ∩ Ker( f − id E ) :
Enfin, on peut poser G = Vect((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)) et montrer à l’aide du déterminant que R4 = F ⊕ G.
Ainsi, il vient 3x = 0 E puis x = 0 E .
f 2 (x) + f (x) + x = 0 E
–1–
et
f (x) − x = 0 E
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MICKAËL PROST
♣♣ Exercice 8 — Soit φ l’application définie sur R[X ]
par φ(P) = (X 2 + 1)P 00 + 4P 0 − 2P.
♣♣♣ Exercice 10 — GROUPE CACHAN
On pose E = C (R+ , R) et on considère l’application ψ
qui à toute fonction f de E associe la fonction g définie
par :
Z
1. Montrer que φ ∈ L (R[X ]).
2. Exprimer deg(φ(P)) en fonction de φ(P) puis en déduire que, pour tout n ∈ N, φ induit par restriction
un endomorphisme de Rn [X ].
x
∀x ∈ R+ ,
2t f (t) dt
0
1. Montrer que E est un espace vectoriel de dimension
infinie.
3. Déterminer le noyau de φ.
4. Trouver l’ensemble des polynômes P vérifiant
φ(P) = X .
2. Prouver que ψ est un endomorphisme de E.
3. Étudier l’injectivité et la surjectivité de ψ.
Conclure.
Indications —
4. Déterminer pour tout λ ∈ R le sous-espace vectoriel
Ker(ψ − λid E ).
2. On pourra distinguer les cas n 6= 2 et n = 2 en posant
P = aX 2 + bX + c.
4. Sauriez-vous trouver une solution particulière ? les
solutions de l’équation homogène ?
Indications —
1. Exhiber la bonne famille !
Correction —
2. Soit P =
g(x) =
n
X
2. Toute fonction dérivable est continue...
ak X k avec an 6= 0. Le terme « dominant »
3. Dériver et bien réfléchir.
k=0
de φ(P) est [n(n − 1) − 2] an X n si celui-ci est non nul.
• si n 6= 2 alors n(n − 1) 6= 2 et deg(P) = deg(φ(P)).
4. On résoudra une certaine équation différentielle.
Correction —
• si deg(P) = 2 alors P = aX 2 + bX + c conduit à
φ(P) = 2(4a − b)X + 2(a + 2b − c).
En conclusion, pour tout P ∈ Rn [X ], φ(P) ∈ Rn [X ].
1. E est clairement un espace vectoriel et (x 7→ x n )n∈N est
une famille libre de E qui contient une infinité de vecteurs, c’est donc un espace de dimension infinie.
3. D’après ce qui précède, si deg(P) 6= 2, φ(P) = 0̃ implique P = 0̃. Dans le cas où n = 2, on obtient b = 4a
et c = 9a, soit P = a(X 2 + 4X + 9).
Ainsi, Ker(φ) = Vect(X 2 + 4X + 9).
2. La linéarité découle de celle de l’intégrale ; ψ est par
ailleurs à valeurs dans E car g est bien continue sur R+
en tant que primitive de x 7→ 2x f (x).
3. • Soit f ∈ Ker(ψ). g étant l’application nulle, g 0 l’est
également, ce qui s’écrit :
4. En cherchant une solution de degré 1, on trouve
P = −X /2 − 1. On a alors S = −X /2 − 1 + a(X 2 + 4X + 9), a ∈ R .
∀x ∈ R+ ,
♣♣ Exercice 9 — ENSAM
Soit f un endomorphisme d’un K-ev de dimension finie.
On pose, pour tout k ∈ N, Nk = Ker( f k ) et I k = Im( f k ).
2x f (x) = 0
Cela conduit à f (x) = 0 pour x > 0 et par continuité
de f , f est bien nulle sur R+ . Bref, ψ est injective.
• L’application ψ ne peut être surjective : si elle l’était,
pour toute fonction continue g ∈ E, il existerait f ∈ E
telle que g = ψ( f ). Mais donc g serait dérivable. Or
certaines fonctions continues ne sont pas dérivables
(la racine carrée par exemple). Absurde !
1. Montrer que, pour tout k ∈ N, Nk ⊂ Nk+1 et que si
Nk = Nk+1 , alors Nk+1 = Nk+2 .
2. Montrer qu’il existe un entier naturel i tel que
Ni = Ni+1 , puis que E = Ni ⊕ I i .
• ψ est donc un exemple d’application linéaire qui est
injective sans être surjective.
3. Montrer que f restreinte à Ker( f i ) est nilpotente.
4. Montrer que f restreinte à Im( f i ) est un automorphisme de Im( f i ).
0
4. Soit f ∈ Ker(ψ − λid E ). Cela implique 2x f (x)
= λ f (x).
2
Pour λ 6= 0, on obtient f (x) = Aexp x /λ où A est un
réel quelconque.
Réciproquement,
toute fonction de cette forme vérifie
Z
Indication — 2. Étudier la monotonie de la suite de terme
général un = dim(Ker( f n )). Comparer alors N2i et Ni .
x
2t f (t) dt = λ f (x) (à vérifier). Ainsi,
bien
Correction —
0
2. D’après ce qui précède, (un )n∈N est une suite d’entiers naturels décroissante, elle est donc stationnaire.
Il existe ainsi i ∈ N tel que pour tout j ¾ i,
dim(Ker( f j )) = dim(Ker( f i )). Comme par ailleurs,
N j ⊂ Ni , on a bien N j = Ni pour tout j ¾ i.
Soit y ∈ Ni ∩ I i . Alors f i ( y) = 0 E et y = f i (x)
pour un certain x ∈ E. Ainsi, x ∈ N2i = Ni , donc
y = f i (x) = 0 E . Ainsi, Ni ∩ I i = {0 E }. Le théorème du
rang permet alors de conclure.
• pour λ 6= 0, Ker(ψ − λid E ) = Vect x 7→ exp x 2 /λ
• par ailleurs, comme déjà vu, Ker(ψ) = {0 E }.
–2–
;