Rappels et compléments d`Algèbre Linéaire. 1 Catalogue des

Rappels et compléments d’Algèbre Linéaire.
ÉCS2
1
Catalogue des propriétés les plus utiles (ECS1)
Les essentiels.
5. Isomorphismes : lorsque dim E = dim F = n, il y a équivalence entre :
(a)
(b)
(c)
(d)
E désigne un espace vectoriel de dimension finie n sur le corps K (R ou C).
B = (e1 , ..., en ) est une base quelconque de E.
F désigne un espace vectoriel de dimension finie m sur le corps K (R ou C).
C = (f1 , ..., fm ) est une base quelconque de F.
Soit D = (u1 , . . . , up ) une famille de p vecteurs de E.
f est injective
f est surjective
rg(f ) = n
rg(M) = n
(M désignant matC,B (f ))
(e) M inversible
(M−1 est alors la matrice de f −1 )
(f) L’image d’une base de E est une
base de F
1. Il y a équivalence entre :
(a) D est une base de E ;
(b) D est libre et génératrice de E ;
2
(e) p = n et
∀u ∈ E, ∃!(xi )pi=0 ∈ Kp ,
p
X
u=
xi ui .
Les bases canoniques (ECS1)
• Une notation pratique, le symbole de Kronecker.
On définit le symbole de Kronecker par(
(c) D est libre et p = n
1 si i = j
δi,j =
(d) D est génératrice et p = n
i=1
0 si i 6= j
Il ne faut pas y chercher de signification profonde ou de message caché, ce n’est qu’une
2. Soit M ∈ Mn,p (K) dont les colonnes sont les coordonnées de u1 , . . . , up dans B.
notation : 1 si i = j et 0 sinon, et c’est tout.
• Voici les bases canoniques à connaître :
(d) D est une base de E ssi n = p et
(a) dim Vect(u1 , . . . , up ) = rg(M)
+ De Rn : les n vecteurs définis par (ei )j = δi,j , autrement dit :
rg(M) = n
(C’est le rang de la famille D).
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0),
(b) D est libre ssi rg(M) = p
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0),
(c) D est génératrice de E ssi rg(M) =
(e) D est une base de E ssi n = p et M
..
.
n
est inversible
en = (0, 0, 0 . . . , 0, 1).
+ De Rn [X] : la famille de n + 1 polynômes (1, X, X2 , . . . , Xn ) = (Xk )nk=0 ;
À noter : on l’ordonne en général par puissances croissantes.
+ De Mn,p (K) : Les np matrices définies par (Ek,` )i,j = δi,j , autrement dit :
chaque matrice Ek,` ne contient que des 0, à l’exception
du coefficient situé à la k ème ligne et `ème colonne qui vaut 1.
3. Soit f une application linéaire de E dans F. Soit M = matC,B (f ), c’est-à-dire la
matrice dont les colonnes contiennent les coordonnées des f (ei ) dans la base C.
(a) u ∈ Ker(f ) ⇔ f (u) = 0F
(b) f injective ssi Ker(f ) = {0E }
(c) f injective ssi dim Ker(f ) = 0
(d) f injective ssi (f (e1 ), . . . , f (en ))
libre
(e) f injective ssi rg(M) = dim E
3
Changement de base (ECS2)
4. Im(f ) = {v ∈ F/∃u ∈ E, f (u) = v} = f (E). Pour déterminer pratiquement Im(f ),
mieux vaut utiliser : Im(f ) = Vect(f (e1 ), . . . , f (en )).
• Définition : si B et C sont deux bases de E, la matrice de passage de B à C, notée
PB,C est la matrice dont les colonnes expriment les vecteurs de la nouvelle base C dans
M désigne encore matC,B (f ).
l’ancienne base B. On a : PB,C = matB,C (idE ).
• Théorème de changement de base :
(a) rg(f ) = rg(M)
(e) f surjective ssi (f (e1 ), . . . , f (en ))
+ PB,C est inversible, et P−1
est génératrice de F
(b) dim E = dim Ker(f ) + rg(f )
B,C = PC,B
+
vecteur
:
X
=
P
X
C
C,B
B
(c) f surjective ssi Im(f ) = F
+ endomorphisme : matC (f ) = PC,B matB (f )PB,C
(d) f surjective ssi rg(f ) = dim F
(f) f surjective ssi rg(M) = dim(F)
Pour mémoriser ces formules, lisez les bases en indice de droite à gauche ! ! !
Lycée Henri Poincaré
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