Symétries et Invariances
publicité
Symétries et Invariances L’analyse des symétries et invariances permet de déterminer la direction et les dépendances d’un champ électrique ou magnétique ou du potentiel-vecteur. On utilise cette analyse pour simplifier les calculs. Par exemple, pour pouvoir appliquer méthodiquement le théorème de Gauss ou le théorème d’Ampère, il faut savoir déterminer d’abord le sens du champ électrique au niveau de la surface de Gauss en ce qui concerne le théorème de Gauss ou bien le sens du champ magnétique au niveau du contour d’Ampère en ce qui concerne le théorème d’Ampère. La méthode la plus facile pour déterminer le sens d’un champ est la Méthode des Symétries et Invariances. Cette méthode permet de déterminer non seulement le sens du champ en question mais permet aussi de savoir les coordonnées spatiales dont il dépend (les dépendances). Les Symétries et Invariances permettent de simplifier le calcul des champs électriques et magnétiques dans plusieurs cas de configurations telles les dipôles électriques et magnétiques. Pour tous les problèmes de l’Électromagnétisme, la première chose à faire est l’étude des symétries des sources : les causes. Les sources du champ E (l’effet) sont les charges. Les sources de B et A sont les courants. D’après le principe de Curie, les invariances des sources (les causes) se retrouvent dans les champs (les effets). Le champ électrique E est un vrai vecteur et le champ magnétique B est un pseudo-vecteur ou ou vecteur axial. Électromagnétisme Prof. : B. Saad Page 1 sur 14 Etude des symétries Distributions de charges électriques Plan de symétrie Plan de symétrie : () est un plan de symétrie d’une distribution de charge si, pour tout point P de cette distribution, son symétrie P porte la même charge que P (et appartient à la distribution). Le champ électrique E est un vrai vecteur. Le champ électrique est toujours contenu dans tout plan de symétrie. Plan d’anti-symétrie Plan d’antisymétrie : () est un plan d’anti-symétrie d’une distribution de charge si, pour tout point P de cette distribution, son symétrique P porte une charge de signe contraire à celle de P. Le champ électrique E est un vrai vecteur. Le champ électrique est toujours perpendiculaire à tout plan d’antisymétrie Électromagnétisme Prof. : B. Saad Page 2 sur 14 Distributions de courants électriques Plan de symétrie Plan de symétrie : () est un plan de symétrie d’une distribution de courant si, pour tout point P de cette distribution, son symétrie P est parcouru par le même courant que P (et appartient à la distribution). Le champ magnétique est un pseudo-vecteur ou vecteur axial. Le champ magnétique B est orthogonal à tout plan de symétrie. Plan d’anti-symétrie Plan d’antisymétrie : () est un plan d’anti-symétrie d’une distribution de courant si, pour tout point P de cette distribution, son symétrique P est parcouru par un courant de sens contraire à celui de P. Le champ magnétique est un pseudo-vecteur. Le champ magnétique est toujours contenu dans tout plan d’antisymétrie. Électromagnétisme Prof. : B. Saad Page 3 sur 14 Principe de Curie Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits. Méthodes et conseils pratiques La première chose à faire face à un problème d’Électromagnétisme, est de chercher les symétries de la distribution de charges ou de courants et de les exploiter à fond en appliquant le principe de Curie. Les symétries permettent tout d’abord de faire le choix du système de coordonnées. Si la distribution est symétrique par rapport à un point (un centre), on se placera dans le système de coordonnées sphériques. Si la distribution est symétrique par rapport à une droite, on se placera dans le système de coordonnées cylindriques. Si la distribution est symétrique par rapport à un plan, on se placera dans le système de coordonnées cartésiennes. Électromagnétisme Prof. : B. Saad Page 4 sur 14 Etude des invariances Si l’étude des symétries d’une distribution permet d’éliminer carrément des composantes vectorielles de l’expression analytique du vecteur champ électrique ou magnétique, l’étude des invariances compléte le travail en éliminant les coordonnées dont ne dépendent pas les composantes vectorielles restantes. Par exemple, si la translation d’une distribution par rapport à une coordonnée cartésienne laisse la distribution invariante, alors le champ créé par cette distribution est luiaussi invariant par rapport à cette même coordonnée. Même chose pour la rotation. La coordonnée ou les coordonnées dont ne dépendent pas les composantes vectorielles du vecteur champ lors d’une translation ou d’une rotation ne figurent pas dans l’expression implicite de la composante vectorielle du vecteur champ. Même si elles apparaissent dans la forme explicite du champ, ces coordonnées sont considérées comme étant des constantes. L’étude des invariances permettent de bien simplifier l’expression analytique du vecteur champ, des équations locales, etc. Ainsi, si les sources sont invaraintes par translation suivant un axe que l’on notera Ox, alors le potentiel V et le champ E seront indépendants de la coordonnée x. Donc V et E sont des invariances de cette distribution. Au Électromagnétisme Prof. : B. Saad Page 5 sur 14 lieu d’ecrire E(x,y,z), on écrit E(y,z) tout simplement et ce en ignorant la coordonnée x. Distributions de charges 1. Si une distribution de charges est invariante pour toute translation parallèle à un axe noté (Oz), champ et potentiel seront indépendants de la coordonnée cartésienne z. 2. Si une distribution de charges est invariante pour toute translation parallèle à un plan noté (Oxy), champ et potentiel ne dépendront que de la coordonnée cartésienne z. 3. Si une distribution de charges est invariante pour toute rotation autour d'un axe noté (Oz), champ et potentiel seront indépendants de la coordonnée cylindrique φ. Le problème est dit à symétrie de révolution. 4. Si une distribution de charges possède les invariances (1) et (3), champ et potentiel ne dépendront que de la coordonnée cylindrique ρ. Le problème est dit à symétrie cylindrique. 5. Si une distribution de charges est invariante pour toute rotation d'axe passant par un point noté O, champ et potentiel ne dépendront que de la coordonnée sphérique r. Le problème est dit à symétrie sphérique Électromagnétisme Prof. : B. Saad Page 6 sur 14 Distributions de courants 1. Si une distribution de courants est invariante pour toute translation parallèle à un axe noté (Oz), champ magnétique et potentiel vecteur seront indépendants de la coordonnée cartésienne z. 2. Si une distribution de courants est invariante pour toute translation parallèle à un plan noté (Oxy), champ magnétique et potentiel vecteur ne dépendront que de la coordonnée cartésienne z. 3. Si une distribution de courants est invariante pour toute rotation autour d'un axe noté (Oz), champ magnétique et potentiel vecteur seront indépendants de la coordonnée cylindrique φ. Le problème est dit à symétrie de révolution. 4. Si une distribution de courants possède les invariances (1) et (3), champ magnétique et potentiel vecteur ne dépendront que de la coordonnée cylindrique ρ. Le problème est dit à symétrie cylindrique. 5. Si une distribution de courants est invariante pour toute rotation d'axe passant par un point noté O, champ magnétique et potentiel vecteur ne dépendront que de la coordonnée sphérique r. Le problème est dit à symétrie sphérique. Électromagnétisme Prof. : B. Saad Page 7 sur 14 Remarques On utilisera les Symétries et Invariances durant des séances de TD pour simplifier l’expression des équations locales. La méthode des Symétries et Invariances est considérée comme étant déjà acquise dans le cadre des cours de l’ Életrostatique et la Magnétostatique. C’est donc un prérecquis absolu pour le cours de l’ Électromagnétisme. Exemple 1 Considérons une sphère uniformément chargée par une charge électrique Q et dont le centre coïncide parfaitement avec le centre O d’un système de coordonnées cartésiennes Oxyz. Par l’étude des symétries et invariances de ce système physique, quelle est l’expression E implicite du vecteur champ électrostatique créé en tout point M de l’espace? Appliquer le théorème de Gauss pour trouver l’expression explicite du vecteur E. Solution Étude des symétries Électromagnétisme Prof. : B. Saad Page 8 sur 14 La sphère possède un centre de symétrie : C’est le point O. Le système de coordonnées le plus approprié pour l’étude des symétries et invariances est donc le système de coordonnées sphériques. Les coordonnées sphériques sont : (r, , ). Dans le sytème de coordonnées sphériques, l’expression implicite générale du champ électrique est : E Er ( r , , ) u r E ( r , , ) u E ( r , , ) u Tout plan () passant par le centre O de la sphère est un plan de symétrie. En particulier, tout plan () passant par le centre O et le point M est aussi un plan de symétrie. Il s’ensuit que Le plan contenant les vecteurs unitaires ur et u (et passant par les points O et M) est un plan de symétrie. Le champ vrai vecteur, donc il appartient à ce plan. Le plan contenant les vecteurs unitaires ur et u E étant un (et passant par E étant un les points O et M) est un plan de symétrie. Le champ vrai vecteur, donc il est contenu dans ce plan. Électromagnétisme Prof. : B. Saad Page 9 sur 14 Le fait que le vecteur E appartient à ces deux plans signifie qu’il est nécessairement orienté suivant la droite représentant leur intersection. Ce qui fait que les composantes vectorielles orthoradiales suivant u et u sont nécessairement nulles. La forme implicite de l’expression du champ E se réduit donc à : E Er ( r , , ) u r E ( r , , ) u E ( r , , ) u Il reste : E Er ( r , , ) u r Étude des invariances : La rotation de la sphère d’un angle quelconque autour de son centre O laisse E invariant. On a donc invariance de E selon une rotation . La rotation de la sphère d’un angle quelconque autour de son centre O laisse une rotation . E invariant. On a donc invariance de E E selon Létude des invariances montre que ne dépend pas des coordonnées sphériques et , il ne dépend que de la coordonnée radiale r. La forme implicite de l’expression du champ électrostatique se réduit encore à : Électromagnétisme Prof. : B. Saad Page 10 sur 14 E Er ( r , , ) u r On obtient : E Er ( r ) u r E créé par la sphère uniformément chargée. Elle montre que le champ E est orienté, C’est l’expression implicite du champ électrostatique en tout point M de l’espace, suivant le vecteur unitaire radial u r et sa grandeur ne dépend que de la coordonnée sphérique radiale r. Cette expression s’apprête à être utilisée, par exemple, dans le théorème de Gauss pour trouver l’expression explicite de titre d’exercice à la maison. E. Ce calcul est laissé à Exemple 2 Soit un fil conducteur de forme cylindrique parcouru par un courant électrique. Le fil est infini et son axe coïncide avec l’axe Oz d’un système de coordonnées cartsiènnes Oxyz. Faire l’étude des symétries et invariances de cette distribution de courant pour trouver l’expression implicite du champ B créé en tout point de l’espace ? Appliquer le théorème d’Ampère pour trouver l’expression explicite de B. Solution Étude des symétries : Électromagnétisme Prof. : B. Saad Page 11 sur 14 Le fil possède un axe de symétrie : C’est l’axe Oz. Le système de coordonnées le plus approprié pour l’étude des symétries et invariances est donc le système de coordonnées cylindriques. Les coordonnées cylindriques sont : (, , z). Dans le sytème de coordonnées cylindriques, l’expression implicite générale du champ magnétique est : B B ( , ,z ) u B ( , ,z ) u Bz ( , ,z ) u z Tout plan () coupant longitudinalement le fil et passant par l’axe Oz et est un plan de symétrie. En particulier, tout plan () passant par l’axe Oz et le point A est aussi un plan de symétrie. Il s’ensuit que le plan contenant les vecteurs unitaires u et uz (et passant par les points O et A) est un plan de symétrie. Le champ pseudovecteur, donc il est perpendiculaire à ce plan. Qui dit que le vecteur passant par u Électromagnétisme et B uz B étant un est perpendiculaire au plan de symétrie dit aussi qu’il est colinéaire avec le Prof. : B. Saad Page 12 sur 14 vecteur unitaire u . radiale suivant u et Ce qui fait que la composante vectorielle la composante vectorielle axiale suivant u z sont nécessairement nulles. La seule composante qui n’est pas nulle est la composante suivant la direction azimutale indiquée par le vecteur unitaire donc à : u. La forme implicite du champ B se réduit B B ( , ,z ) u B ( , ,z ) u Bz ( , ,z ) u z Il reste : B B ( , ,z ) u Terminologie : Tout plan () coupant transversalement le fil et passant par le plan Oxy est un plan d’anti-symétrie. En particulier, tout plan () parallèle au plan Oxy et passant par le point A est aussi un plan d’anti-symétrie. Il s’ensuit que le plan contenant les vecteurs unitaires u et u (et passant par le point A) est un plan d’anti- symétrie. Le champ B étant un pseudovecteur, donc il appartient à ce plan d’antisymétrie. Étude des invariances : La rotation du fil d’un angle quelconque autour de l’axe Oz B laisse invariant, on a donc invariance de rotation. Électromagnétisme Prof. : B. Saad B selon cette Page 13 sur 14 La translation du fil d’une distance Z quelconque le long de l’axe Oz laisse B invariant. On a donc invariance de translation Z quelconque le long l’axe Oz. B selon une L’étude des invariances montre que B ne dépend pas des coordonnées cylindriques et Z, il ne dépend que de la coordonnée radiale . La forme implicite de l’expression du champ magnétostatique se réduit donc à : B B ( , ,z ) u On obtient : B B ( ) u Cette expression simplifiée est l’expression analytique implicite du champ magnétostatique B créé par le fil parcouru par un courant électrique. Elle montre que le champ B est orienté, en tout point A de l’espace, suivant le vecteur unitaire azimutal u et sa grandeur ne dépend que de la coordonnée cylindrique radiale . Cette expression s’apprête à être utilisée, par exemple, dans le théorème d’Ampère pour trouver l’expression explicite de B B. Le calcul de la forme explicite de est laissé à titre d’exercice à la maison. Électromagnétisme Prof. : B. Saad Page 14 sur 14
