Module GLPH311 : Electrostatique et Magnétostatique

Module GLPH311 :
Electrostatique et Magnétostatique
Examen du 10/01/2013
Documents interdits ; calculatrice interdite ; durée : 2h
Rappel :
1
4 0
 9  109 SI ; µo = 4  10-7 SI
Partie 1 - électrostatique :
1. Le plan P1 (infini) d’équation en coordonnées cartésiennes x=0 porte une densité
superficielle de charge σ uniforme.
1.a
Par analyse des éléments de symétrie montrer qu’il crée un champ électrique de la


forme E  E ( x)e x
1.b
Déterminer la fonction E(x)
2. Le plan P2 d’équation x=-d porte une densité superficielle de charge - σ uniforme.
2.a
Déterminer le champ électrique créé par ces deux plans dans tout l’espace.
2.b
Calculer la différence de potentiel V=V(0)-V(-d)
3. En réalité, (P1) et (P2) ne sont chargés que sur deux carrés en regard de côté a>>d ; ces
deux carrés portent les charges Q et- Q.
3.a
Exprimer la capacité de ce système en fonction de a, d et o.
3.b
Calculer l'énergie du système.
Partie 2 - magnétostatique :
On considère un cylindre conducteur infini, de rayon Ro. Il est parcouru par un courant
stationnaire circulant dans le sens des z croissants. La densité de courant à un point M à

l’intérieur du cylindre sera notée j (M ) .
1. Décrire les éléments de symétrie de cette distribution de courant : plans de symétries et
d'antisymétries, invariances.
1.a En déduire le système de coordonnées le mieux adapté à sa description.

1.b En déduire la direction du champ magnétique B crée par cette distribution de courant
en tout point de l'espace. De quelles variables dépend ce champ magnétique ?

1.c Donner le sens du champ magnétique B(M ) crée par cette distribution de courant en
un point de l'espace extérieur du cylindre.
2. Calculer la valeur de l’intensité I de courant qui parcourt le cylindre.
On donne : Ro=2 cm, j 
105
[A/m²]
 Ro

2.a Établir l’expression du champ magnétique B(r ) en fonction de la distance r par
rapport à l'axe du cylindre.
2.b Tracer la variation B(r)
2.c Calculer la valeur du champ B au point M ( r= 50 cm, /3 rad, z= 125 cm).
3. On place à une distance d (d > Ro) du axe du cylindre une charge q>0. Calculer le vecteur

de force F qui s’exerce sur cette charge dans les cas suivants :
3.a la charge reste immobilisée dans l’espace.
3.b la charge est mise en mouvement selon l'axe Oz dans la direction de z positif avec une
vitesse vo.
3.c La charge tourne autour du cylindre (mouvement selon un cercle de rayon d) avec une
vitesse linéaire vo.
 Exercice 1 : 10pts
1
Le plan P1 (infini) d’équation en coordonnées cartésiennes x=0 porte une densité
superficielle de charge σ uniforme.
1a
0.5
Tous les plans normaux au P1 sont le plan de symétrie : l'intersection de ces plans
correspond à l'axe Ox.
0.5
La densité s est uniforme dont invariance selon y et z : d’où E=f(x)
1
1b
2
2a
2
3a
définition de la surface de Gauss
1
détails de l'intégration
1
résultat final : E=
Le plan P2 d’équation x=-d porte une densité superficielle de charge - σ uniforme
0.5
x  [-d, 0]
le champ électrique créé par ces deux plans dans tout l’espace :
0.5
1
2b
Théorème de Gauss :
abs(x) >d
Calculer la différence de potentiel V=V(0)-V(-d) :
formule
résultat :
1
0

d
o
 Edx  
En réalité, (P1) et (P2) ne sont chargés que sur deux carrés en regard de côté a>>d
1
Exprimer la capacité de ce système :
résultat : C=*a²/d
1
0.5
0.5
formule : C=Q/V
Énergie du système :
formule : En=CV²/2=QV/2=Q²/2C
Résultat :
En 
a ² ² d
2 o
d
Exercice 2 : 10 pts
1
Décrire les éléments de symétrie de cette distribution de courant : plans de symétries et
d'antisymétries, invariances.
0.5
0.5
plans de symétries :
tous les plans contenant l'axe 0z
plans d'antisymétries :
tous les plans normaux au Oz
0.5
Invariances :
la translation selon Oz; la rotation selon 
0.5
Les coordonnées les mieux adaptées : cylindriques
0.5
la direction du champ magnétique :
selon e
0.5
ce champ magnétique dépend de :
B=f(r)
1c
0.5
le sens du champ magnétique :


B   B(r )e
2
Calculer la valeur de l’intensité I de courant qui parcourt le cylindre
1
1a
1b
0.5
l’intensité I :
formule :
S
2
0.5
1
 
I   j dS   jdS  j  Ro2  105 Ro
l’intensité I :
valeur :
Théorème d'Ampère :
S
I  2 x103  2 kA
définition du contour
détails de l'intégration
0.5
2a
1
B
résultat final :
o j r
2
o j
r pour r  Ro
2

o j Ro2
r
pour r  Ro
2 r
2
cour
Tracer la variation B(r)
2b
0.5
2c
0.5
Calculer la valeur du champ B au point M
2c
0.5
la valeur du champ B au point M : B= µo/ *I/(2r) =4x10-7*2000/1 =8 x10-4= 0.8 mT
3
le vecteur de force F qui s’exerce sur la charge :
3a
0.5
3b
0.5
3c
0.5

la charge reste immobilisée :
formule :
B=µoI/(2r)

 
F  qv  B
F=0



 

la charge en mouvement selon l'axe Oz : F  q vez  Be  q vB (ez  e )  q vB er



 
La charge tourne autour du cylindre : F  q ve  Be  q vB (e  e )  0