Exercice type Enoncé 1 Champ créé par un fil chargé ∼ Corrigé 2

Exercice type
Enoncé
1 Champ créé par un fil chargé
On considère un fil infini uniformément chargé avec une densité linéique
de charge λ. On s’intéresse au calcul du champ créé en tout point M de
l’espace.
~
1. Montrer que le champ est de la forme E(M
) = E(r)~ur .
z
M
r
2. Déterminer l’expression de E(r).
3. Déterminer le potentiel électrostatique créé par le fil.
∼
Corrigé
2 Champ créé par un fil chargé
1. Dans le cas général, le champ électrique est donné par :
−
→
→
−
−
E (r, θ, z) = Er (r, θ, z)−
u r + Eθ (r, θ, z)→
u θ + Ez (r, θ, z)→
uz
• Symétries :
Tout plan passant par M et contenant le fil est plan de symétrie de la distribution de
−
→
charge. Le vecteur E étant un vecteur vrai, il doit appartenir à tous ces plans de symétrie,
→
→
~
qui sont définis par (M, −
u r, −
u z . On en déduit que E(M
) n’est pas suivant ~uθ , et donc :
−
→
→
→
− + E (r, θ, z)→
−
E (r, θ, z) = Er (r, θ, z)−
ur +E
uz
z
θ (r,
/////
///θ,
////z)
///u
///θ
De plus, tout plan passant par M, perpendiculaire au fil est plan de symétrie de la distribution de charge. Le champ électrique doit appartenir aux plans de symétrie, et on en
~
déduit que E(M
) n’est pas suivant ~uz :
−
→
→
→
− + E (r, θ, z)→
−
E (r, θ, z) = Er (r, θ, z)−
ur +E
θ (r,
/////
///θ,
////z)
///u
///θ ///z/////////////u//z/
• Invariances :
La distribution de charge est invariante par rotation de θ autour du fil, et par translation
~
de z le long du fil. E(M
) ne dépend donc ni de θ, ni de z :
−
→
−
→
→
− + E (r, θ, z)→
−
E (r, θ, z) = Er (r, θ,
////z ) u r + E
θ (r,
/////
///θ,
////z)
///u
///θ ///z/////////////u//z/
Finalement, on en déduit que :
→
−
→
E (M ) = E(r)−
ur
PSI
1
2010-2011
Exercice type
z
r
M
h
Σ
O
2. Afin de déterminer l’expression du champ électrique en un point M quelconque de l’espace,
appliquons le théorème de Gauss en utilisant la surface de Gauss (Σ) représentée sur la
figure ci-dessous, c’est à dire un cylindre de hauteur h d’axe (Oz), de rayon r, et passant
par le point M .
Le théorème de Gauss s’écrit :
{−
→ Qint
→ −
E · dS =
E0
Σ
Le champ électrique étant radial, les flux à travers les faces perpendiculaires à l’axe z sont
nuls. De plus, le champ ne dépendant que de r, le champ est constant sur toute la surface
latérale de surface 2πrh.
Par ailleurs, la charge intérieure à (Σ) s’écrit : Qint = λh, d’où :
2πrhE(r) =
−
→
Finalement, on obtient : E =
λh
E0
soit
E(r) =
λ
2πE0 r
λ −
→
ur .
2πε0 r
−−→
−
3. Le potentiel électrique est défini par la relation : →
e = −grad V . On en déduit dans le cas
de l’exercice :


λ
∂V



=−


2πε0 r

 ∂r
1 ∂V
=0


r ∂θ



∂V



=0
soit
V =−
λ
ln(r) + cste
2πE0
∂z
En posant arbitrairement V (M ) = 0 en r = d (on rappelle que le potentiel est défini à une
constante près, et le choix d’un potentiel nul en r = 0 ou r → ∞ est impossible ici), on
obtient :
λ
d
V (r) =
ln
2πε0
r
PSI
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2010-2011