Université de Liège Examen d’admission aux études de bachelier ingénieur civil et architecte Trigonométrie et calcul numérique Prof. P. Dewallef et Prof. Q. Louveaux Septembre 2016 Question 1 Résoudre l’équation trigonométrique suivante en précisant les conditions d’existence : tan x − sin x = 2 − 2 cos x tan x + sin x Représenter les solutions appartenant à l’intervalle [−π, π[ sur le cercle trigonométrique. Solution C. E. : tan x doit être défini donc x 6= π2 + kπ, k ∈ Z. De plus, tan x + sin x 6= 0. Pour trouver les valeurs à rejeter des conditions sin x d’existence, on résout tan x + sin x = 0. On obtient cos x + sin x = 0 qui se 1 factorise en sin x ( cos x + 1) = 0 qui admet comme solution soit sin x = 0, c’est-à-dire x = kπ, k ∈ Z, soit cos x = −1, c’est-à-dire x = −π + 2kπ, k ∈ Z. Les conditions d’existence se résument donc à x ∈ R \ {k π2 , k ∈ Z}. Pour la suite, on suppose que x satisfait les conditions d’existence. On peut donc réécrire l’équation initiale comme sin x sin x − sin x = (2 − 2 cos x)( + sin x). cos x cos x En utilisant les conditions d’existence, on en déduit que sin x 6= 0, le sin x peut donc se simplifier et on obtient 1 1 − 1 = (2 − 2 cos x)( + 1). cos x cos x En ramenant tout sur le même dénominateur, et puisque cos x 6= 0 d’après les conditions d’existence, on a 1 − cos x = 2 + 2 cos x − 2 cos x − 2 cos2 x, ce qui se simplifie en 2 cos2 x − cos x + 1 = 0. On pose à présent t = cos x et on résout 2t2 − t − 1 = 0 qui admet les deux solutions t = 1±3 4 . Les solutions de cos x = 1 sont à rejeter en vertu des conditions d’existence. Les solutions de cos x = − 21 mènent à x = − 2π 3 + 2kπ, k ∈ Z ou x = 2π + 2kπ, k ∈ Z. 3 Seules les solutions − 2π 3 et 2π 3 x= sont à reporter sur le cercle trigonométrique. 2π 3 x = − 2π 3 Figure 1 – Représentation des solutions sur le cercle trigonométrique Question 2 On souhaite couvrir la toiture à quatre pans représentée en vue de haut et en perspective sur la figure suivante. La base de la toiture est rectangulaire, de côtés AB = 8m et BC = 12m. La toiture est symétrique, c’està-dire que les pans ABE et CDF sont isométriques, de même que les pans BCF E et ADF E. En mesurant les arêtes principales de la toiture, on obtient que AE = 6m, EF = 6m et F D = 6m. B C E E F F B C A A D D (a) Calculer la surface totale de la toiture à couvrir. (b) Calculer la hauteur de l’arête EF par rapport à la base rectangulaire. (c) On souhaite poser des panneaux photovoltaı̈ques sur la toiture. Pour ce faire, une inclinaison entre 30˚et 40˚est souhaitée. Déterminer quel pan de la toiture est le plus approprié pour accueillir les panneaux. 2 Solution Soit E 0 la projection de E sur le plan ABCD. Soit Ē le milieu du segment AB. On note aussi par F 0 la projection de F sur le plan ABCD et par F̄ la projection de F 0 sur le segment BC. Dans le triangle rectangle B ĒE 0 , on sait que |B Ē| = 4 m et |ĒE 0 | √ = 3 m par symétrie. Par le théorème de Pythagore, on en déduit que |BE 0 | = 19 + 9 = 5 m.. 0 Si on considère le triangle rectangle BE 0 E, | = 5 m et |BE| = 6 m. √ on a |BE √ Par Pythagore, on en déduit que |EE 0 | = 36 − 25 = 11 m. Ceci répond à la question (b). Pour obtenir l’aire de la toiture, on doit calculer les aires des triangles et trapèzes. Dans le triangle rectangle B ĒE, on sait que √ |BE| = 6m√et que |B Ē| = 4 m. On en déduit, par Pythagore, que ĒE| = 36 − 16 = 20 m, ce qui est la hauteur du triangle ABE.√Similairement, on calcule la hauteur du √ trapèze√BCF E qui vaut 16 + 11 = 27 m. Dès lors, l’aire du triangle ABE √ √ vaut 8· 2 20 = 8 5 ≈ 17, 89 m2 . L’aire du trapèze BCF E vaut (12+6) · 27 = 2 √ 27 3 ≈ 46, 77 m2 . Si on somme les aires des quatre pans, on obtient une aire approximative de 129, 3 m2 . Ceci répond à la question (a). Remarque : La formule de Héron permet d’obtenir directement √ l’aire du pan ABE (et CDF ) avec p = 12 (8 + 6 + 6) = 10 et l’aire est égale à 10 · 2 · 4 · 4 = √ 8 5. √ Si on considère le triangle rectangle ĒE 0 E, l’angle ∠E ĒE 0 = arctan 311 ≈ √ 47, 87˚. Si on considère le triangle rectangle F̄ F F 0 , l’angle ∠F F̄ F 0 = arctan 411 ≈ 39, 66˚. Les pans BCF E et AEF D sont donc plus appropriés pour recevoir les panneaux photovoltaı̈ques. Question 3 Si A, B et C désignent les angles d’un triangle et a, b et c les longueurs des côtés opposés à ces angles, montrer que : cos B C a+b+c A cos = sin 2 2 2a 2 Solution Notons α = A2 , β = = C2 . Remarquons tout d’abord que α + β + γ = puisque ce sont des demi-angles d’un triangle. Remarquons que cela implique également que α, β, γ ∈]0, π2 [ de même que a, b, c > 0. Les conditions d’existence sont donc satisfaites. Dans la suite, il sera également correct de diviser par a, b ou c ou par le cosinus ou le sinus des angles α, β ou γ. On peut remplacer α = π2 − β − γ. La règle des sinus nous permet également d’écrire sin A sin B = a b 2 sin α cos α 2 sin β cos β = a b sin α cos α a=b sin β cos β cos(β + γ) sin(β + γ) a=b . sin β cos β π 2 B 2 ,γ 3 On remplace à présent α et a dans l’identité à démontrer. On obtient donc sin(β+γ) b cos(β+γ) +b+c sin β cos β cos β cos γ = cos(β + γ) sin(β+γ) cos(β+γ) 2b sin β cos β 2b cos β cos γ sin(β + γ) b cos(β + γ) sin(β + γ) + b sin β cos β + c sin β cos β = cos cos β sin β sinβ β ( ( ((+ γ) − b sin β sin γ sin(β + γ) 2 b cos β cos γ( sin(β (( b cos β cos γ sin(β + γ) = ( (( + b sin β cos β + c sin β cos β et finalement b sin(β + γ)(cos β cos γ + sin β sin γ) = b sin β cos β + c sin β cos β On peut à présent à nouveau utiliser la règle des sinus et observer que sin C sin B = b c 2 sin β cos β 2 sin γ cos γ = b c c sin β cos β = b sin γ cos γ. En utilisant l’expression de c sin β cos β dans l’expression à démontrer et en développant la somme d’angles, on obtient à présent b ((sin β cos γ + cos β sin γ)(cos β cos γ + sin β sin γ)) = b sin β cos β + b sin γ cos γ (1) On développe à présent le membre de gauche de (1) et en utilisant le fait que cos2 β + sin2 β = 1 et que cos2 γ + sin2 γ = 1, on obtient sin β cos β cos2 γ + sin2 β cos γ sin γ + cos2 β cos γ sin γ + cos β sin β sin2 γ = sin β cos β + cos γ sin γ, ce qui est bien le membre de droite de (1) et démontre dès lors l’identité. ATTENTION — — — — — — NOM (en MAJUSCULES), prénom (en minuscules) sur chaque feuille. Rendre une feuille par question même s’il n’y a pas de réponse. GSM et PC interdits. Il est permis d’utiliser une calculette. Préparer une pièce d’identité sur la table. Fin de l’examen à 12 heures. 4