Electromagnétisme, TD n˚4, corrigé Relation entre rayonnement

Electromagnétisme, TD n˚4, corrigé
Relation entre rayonnement, diffraction,
réflexion et diffusion
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Calcul du champ rayonné
a)
En champ lointain, le champ électrique est donné par
∂A⊥
, A⊥ = A − (A.u)u
∂t
où u = r/r est le vecteur unitaire dans la direction d’observation. En champ lointain, le potentiel
vecteur A(r, t) = A(r)e−iωt est donné par
E=−
A(r) =
µ0 eikr
4π r
Z a/2
dx0
−a/2
Z b/2
−b/2
dy 0 j0 ey exp[i(αi x0 + βi y 0 − ku · r0 )]
avec k = ω/c = 2π/λ. L’intégration sur r0 s’effectue dans le plan (x, y). On peut donc écrire
ku · r0 = αx0 + βy 0 où α = k sin θ cos φ et β = k sin θ sin φ. Le potentiel vecteur s’écrit alors
A(r) =
µ0 eikr
j0 ey
4π r
Z a/2
0
ei(αi −α)x dx0
−a/2
Z b/2
0
ei(βi −β)y dy 0
−b/2
soit, en effectuant l’intégration
A(r) =
sin[(αi − α)a/2] sin[(βi − β)b/2]
µ0 eikr
j0 abey
= A(r)ey
4π r
(αi − α)a/2
(βi − β)b/2
1
En régime monochromatique, le champ électrique vaut E = iωA⊥ . Comme A est proportionnel
au vecteur constant ey , le calcul de E se ramène au calcul de ey⊥ :
− sin2 θ cos φ sin φ
E(r) = iωA(r) 1 − sin2 θ sin2 φ
− sin θ cos θ sin φ
Calcul de la puissance moyenne rayonnée en champ lointain
Notons hΠ(r)i la valeur moyenne du vecteur de Poynting au point r et Pray la puissance moyenne
rayonnée dans l’angle solide Ω autour de la direction u. On a la relation suivante :
avec S = r2 Ω u
Pray = hΠ(r)i · S
(1)
La valeur moyenne du vecteur de Poynting est donnée par la formule usuelle :
hΠ(r)i =
1
Re {E × B∗ }
2µ0
(2)
En champ lointain, les champs E et B sont transverses et sont donnés en fonction du potentiel
vecteur A (régime monochromatique à la pulsation ω) par :
E = i ω A⊥
ω
ω
B = i u × A = i u × A⊥
c
c
Ainsi :
hΠ(r)i =
ω2
|A⊥ |2 u
2µ0 c
(3)
(4)
(5)
Ceci nous donne finalement l’expression de la puissance moyenne rayonnée dans l’angle solide Ω
autour de la direction u :
ε0 c 2 2
Pray =
ω r |A⊥ |2 Ω
(6)
2
On remarquera que cette puissance est indépendante de r car |A⊥ |2 varie en 1/r2 en champ
lointain, dans le vide.
Enfin, comme A(r) = A(r) ey dans notre cas, nous pouvons montrer en faisant le calcul (long et
fastidieux...) sur les coordonnées sphériques que :
|A⊥ |2 = |A|2
1 − sin2 θ sin2 φ
(7)
b) Dans cette partie, on raisonne directement sur le potentiel vecteur, ce qui est suffisant pour
déterminer l’existence de lobes.
L’expression du potentiel vecteur contient un produit de deux sinus cardinaux. On aura des zéros
d’émission pour les directions telles que :
a
(αi − k sin θ cos φ) = pπ
2
2
b
(βi − k sin θ sin φ) = p0 π
2
0
où p et p sont des entiers. On a donc des lobes d’autant plus nombreux et étroits que a et b sont
grands.
Si on se limite au plan (x, z), on a φ = 0. La condition pour avoir un zéro d’émission est
(αi − k sin θ)a/2 = pπ. Pour αi = 0, le premier zéro est tel que k sin θa/2 = π, c’est-à-dire
sin θ = λ/a. C’est l’ouverture angulaire du faisceau rayonné. On retrouve ici l’ouverture angulaire
classique due à la diffraction.
c) Si αi et βi sont nuls, alors les sinus cardinaux sont maxima pour α = β = 0, c’est-à-dire dans
la direction Oz. Le champ rayonné est donc maximum dans la direction normale.
On peut comprendre ce résultat de manière intuitive. Le courant dans la plaque étant uniforme
pour αi = βi = 0, tous les éléments de courants sont en phase. Dans la direction Oz, il n’y a
pas de différence de marche entre les champs émis par les différents éléments de courant : les
champs émis sont donc aussi en phase. On a des interférences constructives, et donc un maximum
d’émission dans cette direction.
d)
Cherchons la direction θ pour laquelle les points en 0 et a/2 émettent en opposition de phase. Il
faut que
2π
2π a
OM =
sin θ = π
λ
λ 2
soit sin θ = λ/a. Dans ce cas, on peut associer deux à deux tous les points de la plaque séparés de
a/2. Les champs émis par ces deux points interfèrent destructivement et s’annulent. On a donc
un zéro d’émission globale de la plaque.
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Réflexion, diffraction, diffusion
a) Si les dimensions de la plaque sont grandes devant la longueur d’onde, cette plaque est un
miroir. Le maximum d’émission est obtenu pour α = αi et β = βi . On retrouve bien les lois de
Descartes, c’est-à-dire la conservation de la composante tangentielle du vecteur d’onde entre le
champ incident et le champ réfléchi (rayonné par le courant induit).
Le mécanisme physique conduisant à la réflexion est le suivant : une onde électromagnétique met
en mouvement les électrons du métal. Il apparaît alors un courant induit variable dans le temps.
Ce courant induit rayonne un champ, c’est le champ réfléchi.
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La direction spéculaire (la direction donnée par les lois de Descartes) est la seule pour laquelle
tous les éléments de courants du miroir émettent en phase. Dès que l’on s’écarte un peu de
cette direction, l’accord de phase entre les champs rayonnés par les différents points de la plaque
diminue rapidement et le champ s’annule très vite : le champ réfléchi est donc très directif.
b) Le faisceau réfléchi a une ouverture angulaire. Dans le plan (x, z), cette ouverture angulaire
θ ' λ/a est, dans le langage de l’optique physique, attribuée à la diffraction du faisceau (on
retrouve bien le résultat classique). Dans le point de vue adopté ici, le miroir est considéré comme
une antenne et l’ouverture angulaire apparaît comme une conséquence de la taille finie de cette
antenne. L’ouverture angulaire du faisceau réfléchi est due à la perte progressive de l’accord de
phase entre les champs émis par les différents points de l’antenne lorsque l’on s’éloigne de la
direction spéculaire. La “diffraction” du faisceau est donc liée à un phénomène d’interférences
entre les champs émis par les différents points de la plaque.
c) La plaque a maintenant des dimensions très petites devant la longueur d’onde considérée.
Les sinus cardinaux de l’expression du champ sont constants et égaux à 1. On n’a donc plus de
dépendance en θ. On a une source ponctuelle oscillant dans le temps, telle qu’il n’y ait plus de
déphasage entre les différents points de la source : c’est un dipôle ponctuel. Un exemple type est
une poussière qui diffuse la lumière visible. Le potentiel vecteur est alors donné par :
A(r) =
µ0 eikr
µ0 eikr
j0 abey =
(−iωp0 )
4π r
4π r
On retrouve bien la forme du potentiel vecteur dans l’approximation dipolaire, le moment dipolaire de la plaque étant donné par −iωp0 = j0 ab ey .
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