Trigonométrie

Lycée Condorcet
MPSI2
2015-2016
Trigonométrie
Propriétés des fonctions trigonométriques
1) La fonction cos : R −→ R est 2π-périodique et paire,
2) La fonction sin : R −→ R est 2π-périodique et impaire,
π
nπ
o
sin
3) La fonction tan =
est définie sur R \
+ πZ = R \
+ kπ, k ∈ Z ; elle est π-périodique et impaire.
cos
2
2
Formule clée
∀x ∈ R, cos2 x + sin2 x = 1, i.e. cos2 + sin2 = 1.
1
1
π
.
+ πZ , 1 + tan2 x =
, i.e. 1 + tan2 =
Corollaire : ∀x ∈ R \
2
cos2 x
cos2
Angles remarquables
x
cos x
sin x
tan x
0
1
0
0
π/6
√
3/2
1/2
√
3/3
π/4
√
2/2
√
2/2
1
π/3
1/2
√
3/2
√
3
π/2
0
1
×
π
−1
0
0
Équations trigonométriques
1) Pour tout (x, y) ∈ R2 , cos(x) = cos(y) si et seulement si x = y [2π] ou x = −y [2π],
2) Pour tout (x, y) ∈ R2 , sin(x) = sin(y) si et seulement si x = y [2π] ou x = π − y [2π],
π
2
3) Pour tout (x, y) ∈ R \
+ πZ
, tan(x) = tan(y) si et seulement si x = y [π].
2
Formulaire
Pour tous réels a, b, p et q, on a, sous réserve d’existence, les formules suivantes.
Symétries
cos (−a)
cos (π − a)
cos (π + a)
π
cos
−a
2
π
cos
+a
2
=
=
=
cos a
− cos a
− cos a
=
sin a
=
− sin a
= − sin a
= sin a
= − sin a
sin (−a)
sin (π − a)
sin (π + a)
π
sin
−a
2
π
sin
+a
2
=
cos a
=
cos a
tan (−a)
tan (π − a)
tan (π + a)
π
tan
−a
2
π
tan
+a
2
= − tan a
= − tan a
= tan a
=
1/ tan a
= −1/tan a
Image d’une somme
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
tan a + tan b
tan(a + b) =
1 − tan a tan b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos b
tan a − tan b
tan(a − b) =
1 + tan a tan b
Duplication
cos(2a)
sin(2a)
=
=
tan(2a)
=
cos2 a − sin2 a
2 sin a cos a
2 tan a
1 − tan2 a
=
2 cos2 a − 1
=
1 − 2 sin2 a
Linéarisation
cos2 a =
1 + cos(2a)
2
sin2 a =
1 − cos(2a)
2
Transformation de produits en sommes
cos a cos b =
sin a sin b =
sin a cos b =
1
(cos(a + b) + cos(a − b))
2
1
(cos(a − b) − cos(a + b))
2
1
(sin(a + b) + sin(a − b))
2
Transformation de sommes en produits
cos p + cos q
cos p − cos q
sin p + sin q
sin p − sin q
Tangente de l’angle moitié
a
En posant t = tan
:
2
cos a =
1 − t2
1 + t2
p−q
p+q
cos
2
2
p+q
p−q
= −2 sin
sin
2
2
p+q
p−q
= 2 sin
cos
2
2
p−q
p+q
= 2 sin
cos
2
2
=
2 cos
sin a =
2t
1 + t2
tan a =
2t
.
1 − t2