Trigonométrie - Le Web Pedagogique

Trigonométrie
Un peu d’histoire
Les origines de la trigonométrie remontent aux civilisations
d’Égypte antique, de Mésopotamie et de la vallée de
l’Indus, il y a plus de 4000 ans. Il semblerait que les
Babyloniens aient basé la trigonométrie sur un système
numérique à base 60. Lagadha (-1350 ; -1200) est le
premier mathématicien à utiliser la géométrie et la
trigonométrie pour l’astronomie. La plupart de ses travaux
sont aujourd’hui détruits. La première utilisation de sinus
apparaît dans les sulbasutras en Inde, entre 800 et 500
avant J.C., où le sinus de π 4 est correctement calculé
comme 1 2 dans un problème de construction d’un cercle
de même aire qu’un carré donné (le contraire de la
quadrature du cercle).
Lorsque qu’on cherche une rue sur un plan de ville, on repère le rectangle où se
trouve cette rue grâce à une lettre qui définit une colonne et un nombre qui
définit une ligne du quadrillage sur le plan. Les marins ou les géographes repèrent
un point sur la Terre grâce à sa longitude et sa latitude. Les astronomes ont
besoin, eux, de trois mesures pour repérer un objet spatial, par exemple deux
angles définissant une direction et une distance caractérisant l’éloignement de
l’objet sur la direction. Le repérage est donc indispensable dès lors qu’on cherche
à définir la position d’un objet dans un espace. Les repères que nous avons
utilisé jusqu’à présent sont dit cartésiens, adjectif créé en hommage à Descartes
(1596 - 1650) mathématicien et philosophe français qui inventa en même temps
que Fermat (1601 - 1665) mais indépendamment de lui, le système de
coordonnées que nous utilisons couramment. Les repères cartésiens utilisés jusqu’à
présent permettent de positionner des points dans un plan. Ils peuvent être
complétés par une troisième coordonnée permettant de se repérer dans l’espace à
trois dimensions. Ces repères ne sont pourtant pas les seuls permettant de
positionner des objets, nous allons découvrir dans ce chapitre comment se repérer
sur un plan avec un angle et un rayon : grâce aux coordonnées polaires.
A- Le radian
On appelle radian l’unité de mesure d’angle (noté rad) telle que :
A et M étant deux points d’un cercle > de rayon r, on dira que l’angle <OM a
pour mesure α radians lorsque la longueur de l’arc géométrique <M intercepté par
cet angle est égal à 𝑳 = 𝒓 × 𝜶.
<utrement dit, on dira que l’angle AOM mesure α radians si l’arc AM mesure
𝒓 × 𝜶 unités de longueur.
𝑨𝑴 = 𝒓 × 𝜶
𝒍𝒐𝒏𝒈𝒖𝒆𝒖𝒓 𝒂𝒓𝒄 = 𝒎𝒆𝒔𝒖𝒓𝒆 𝒂𝒏𝒈𝒍𝒆 × 𝒓𝒂𝒚𝒐𝒏
𝒖𝒏𝒊𝒕é 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒏𝒈𝒖𝒆𝒖𝒓
𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒔
𝒖𝒏𝒊𝒕é 𝒅𝒆
𝒍𝒐𝒏𝒈𝒖𝒆𝒖𝒓
La mesure d’un angle en radians est proportionnelle à sa mesure en degrés, selon le
tableau de proportionnalité :
Angle
radian
Degré
Plat
π
180
Quelconque
α
𝑥
Tableau de correspondance Degrés-Radians :
Degrés
0
30
45
60
90
120
150
180
360
Radians
0
𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
𝜋
2
2𝜋
3
5𝜋
6
π
2π
B- Arcs orientés
On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon égal à 1
unité de longueur.
Problématique : Deux points < et = d’un cercle déterminent deux arcs de cercle.
Si A et B sont diamétralement opposés, ces deux arcs ont même
mesure. Sinon, il existe un « petit » arc AB et un « grand » arc
AB. Comment les différencier ?
On décide donc d’orienter le cercle trigonométrique :
On convient que les parcours effectués dans le sens inverse
des aiguilles d’une montre seront comptés positivement.
Ce sens est appelé sens positif, sens trigonométrique ou
encore sens direct.
<insi, on peut distinguer les deux arcs d’origine < et
d’extrémité =, selon le sens du parcours effectué sur le cercle
pour se rendre de A en B.
un tel parcours orienté est ainsi appelé arc orienté.
IJ =
𝝅
+
𝟐
ou
−
𝟑𝝅
𝟐
JI =
𝝅
−
𝟐
ou
+
𝟑𝝅
𝟐
IK =
−𝝅
ou
+𝝅
Théorème :
Ayant choisi une orientation du cercle trigonométrique, on peut associer à
chaque point M du cercle une mesure de l’arc orienté IM. >ette mesure s’appelle
abscisse curviligne de M.
Si 𝒙 est la valeur de l’une d’entre elles, toutes les autres sont de la forme :
𝒙 + 𝒌 × 𝟐𝝅 ; 𝒌 ∈ ℤ
Parmi cette famille, il existe une abscisse curviligne et une seule appartenant à
l’intervalle ]-π ; π]. On l’appelle mesure principale.
C- Angles orientés de vecteurs
Soit 𝒖 et 𝒗 deux vecteurs non nuls. On note
C le cercle trigonométrique
de centre O. On pose 𝒖 = 𝑶𝑴 et 𝒗 = 𝑶𝑵.
Les demi-droites [OM) et [ON) coupent
respectivement le cercle trigonométrique en
deux point A et B.
On appelle alors mesure de l’angle orienté
(𝑢 , 𝑣 ), toute mesure de l’arc orienté <=
Une seule mesure de l’angle orienté (𝑢 , 𝑣) appartient à l’intervalle ]−π ; π].
Cette mesure est appelée mesure principale de l’angle (𝑢 , 𝑣 ).
Exemples :
𝑶𝑨, 𝑶𝑬 =
𝝅
𝟑
𝑶𝑨, 𝑶𝑮 =
𝟏𝟏𝝅
𝟔
+ 𝟐𝒌𝝅, (𝒌 ∊ ℤ)
+ 𝟐𝒌𝝅, (𝒌 ∊ ℤ)
𝝅
ou 𝑶𝑨, 𝑶𝑮 = − 𝟔 + 𝟐𝒌′𝝅, (𝒌′ ∊ ℤ)
𝑶𝑭, 𝑶𝑳 = 𝝅 + 𝟐𝒌𝝅, (𝒌 ∊ ℤ) ou –π ; 3π …
𝑶𝑬, 𝑶𝑲 = −
𝟐𝝅
+
𝟑
𝟐𝒌𝝅, (𝒌 ∊ ℤ)
Propriétés des angles orientés
Angles orientés et colinéarité
 Dire que deux vecteurs sont colinéaires de même sens équivaut à dire
que (𝑢 , 𝑣) = 0.
 Dire que deux vecteurs sont colinéaires de sens contraire équivaut à
dire que (𝑢 , 𝑣) = π.
Relation de Chasles
Pour tous vecteurs non nuls, 𝑢, 𝑣 et 𝑤, on a (𝑢 , 𝑣) + (𝑣 , 𝑤) = (𝑢 , 𝑤)
Conséquences :
Pour tous vecteurs non nuls, 𝑢 et 𝑣, on a
(𝒖 , 𝒗) = - (𝒖 , 𝒗)
(−𝒖 , −𝒗) = (𝒖 , 𝒗)
(−𝒖 , 𝒗) = (𝒖 , 𝒗) + π
(𝒖 , −𝒗) = (𝒖 , 𝒗) + π
D- Trigonométrie
Dans tout ce paragraphe, l’unité utilisée est le radian.
Le plan orienté est muni d’un repère orthonormal direct (O, 𝒊, 𝒋) ; on considère le cercle
trigonométrique C de centre O
Sinus et cosinus d’un réel
Soit x un nombre réel et M le point du cercle trigonométrique associé à x. On
appelle cosinus et sinus de x (notés cos(x) et sin(x)) les coordonnées de M dans le
repère (O, 𝒊, 𝒋).
On a :
𝑶𝑴 = (𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝑶𝑰 + (𝒔𝒊𝒏𝒙)𝑶𝑱
Sinus et cosinus d’un angle orienté
Soit 𝒖 et 𝒗 deux vecteurs du plan orienté.
Si 𝒙 est une mesure en radian de l’angle orienté (𝒖,𝒗), alors les autres mesures
sont de la forme 𝒙 + 𝟐𝒌𝝅 , 𝒌 ∈ ℤ
Or 𝒄𝒐𝒔(𝒙 + 𝟐𝒌𝝅) = 𝒄𝒐𝒔𝒙 et 𝒔𝒊𝒏(𝒙 + 𝟐𝒌𝝅) = 𝒔𝒊𝒏𝒙 .
On en déduit la définition suivante :
On désigne par cos(𝒖,𝒗) et sin(𝒖,𝒗) le cosinus et le sinus de l’une quelconque de
ses mesures.
Valeurs remarquables
0
𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
𝜋
2
𝒔𝒊𝒏 𝒙
0
1
2
2
2
3
2
1
𝒄𝒐𝒔 𝒙
1
3
2
2
2
1
2
0
𝒙
Lignes trigonométriques d’angles associés
Remarques préliminaires :
 Dans la pratique, on se permet souvent quelques légèretés d’écriture … très
utiles pour la clarté des figures et pour retenir les formules.
 Les formules ci-dessous sont vraies pour tout réel 𝒙, mais pour faciliter la
mémorisation, on se place dans le premier cadran.
cos (– 𝑥) = cos 𝑥
cos ( – 𝑥) = – cos 𝑥
cos ( + 𝑥) = – cos 𝑥
sin (– 𝑥) = – sin 𝑥
sin ( – 𝑥) = sin 𝑥
sin ( + 𝑥) = – sin 𝑥
𝜋
cos ( 2 – 𝑥) = sin 𝑥
𝜋
cos ( 2 + 𝑥) = – sin 𝑥
𝜋
sin ( 2 – 𝑥) = cos 𝑥
𝜋
sin ( 2 + 𝑥) = cos 𝑥
E- Repérage d’un point dans le plan
Repérage cartésien
Un repère cartésien du plan est constitué d’un point O appelé origine et de
deux vecteurs 𝒊 et 𝒋 non colinéaires. On le note (O; 𝒊,𝒋)
Les coordonnées d’un point M du plan sont l’unique couple (𝒙; 𝒚) tel que
𝑶𝑴 = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋
Les coordonnées d’un vecteur 𝒖 du plan sont l’unique couple (x; y) tel que
𝒖 = 𝒙𝒊 + 𝒚𝒋
Repérage polaire
Pour se repérer dans le plan avec des coordonnées polaires on a besoin
d’un point O et d’un vecteur unitaire 𝒊. Ce couple (O; 𝒊) est appelé repère
polaire du plan. O est le pôle et la demi-droite [O; 𝒊) l’axe polaire.
Soit M un point distinct du point O.
Tout couple (𝝆, 𝜽) avec 𝝆 > 𝟎 tel que 𝑶𝑴 = 𝝆 et (𝒊,𝑶𝑴)= 𝜃 est un
couple de coordonnées polaires.
Remarque :
 Le principe des coordonnées polaires donc à donner un « cap » : l’angle formé
avec le vecteur 𝒊 et une distance appelé aussi rayon.
 Les coordonnées polaires ne sont pas uniques. Par exemple (2; 0) et (2; 2π)
repère le même point. En revanche, en imposant à θ d’être dans ] − π; π], les
coordonnées polaires sont alors uniques
 Le repérage en coordonnées polaires permet de donner l’équation de certaines
lignes très facilement. Par exemple ρ = 3 est l’équation du cercle de centre O
et de rayon 3. Par contre l’équation caractérisant une parabole est plus difficile
à donner . . .
Changement de type de repérage
On considère une repère cartésien (O; 𝒊,𝒋) orthonormé et le repère polaire (O; 𝒊).
Soit M un point du plan, on note (𝒙; 𝒚) ses coordonnées dans le repère
cartésien et (ρ; θ) ses coordonnées dans le repère polaire.
Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires :
𝝆=
𝒙² + 𝒚²
𝒙
𝒚
θ est alors une mesure de l’angle tel que 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝝆 et 𝒔𝒊𝒏𝜽 = 𝝆
Passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes :
𝒙 = 𝝆𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒚 = 𝝆𝒔𝒊𝒏𝜽