TD B3 - Correction 4 - Analyse qualitative du phénomène d

PSI - 2011/2012
1
TD B3 - Correction
4 - Analyse qualitative du phénomène d'induction
1. Si l'aimant n'est pas en mouvement, aucun phénomène d'induction ne peut avoir lieu, par
conséquent UAB = 0.
2. Quand on approche l'aimant dans le sens précisé sur la gure, le ux du champ magnétique à
travers la bobine augmente (on rappelle que le champ magnétique "sort par la face nord" d'un
aimant). Il apparaît donc dans la bobine un courant induit qui crée un champ magnétique
s'opposant à cette augmentation de ux (d'après la loi de Lenz), donc dirigé en sens
−
contraire de →
v : le courant induit est positif de A vers B et la tension UAB aux bornes
de la résistance est donc positive.
3 - Vol d'énergie
La ligne haute tension étant parcourue par un courant alternatif, îl apparaît un champ magné→
−
tique autour des lignes et ce champ est orthoradial (cf. calcul du champ B créé par un l inni). Si
un utilisateur peu scrupuleux place un circuit rectangulaire de façon à récupérer le ux de ce champ
magnétique, il pourra brancher ce circuit sur un récepteur et donc récupérer de l'énergie.
Ceci ne serait pas possible avec une tension continue. En eet, an qu'un courant induit apparaisse
dans le circuit, il faut que le ux du champ magnétique à travers le circuit varie au cours du
dφ
6= 0. Le courant recueilli est alors un courant alternatif.
temps, soit
dt
L'eet de ce vol d'énergie est, en vertu de la loi de Lenz, de créer un champ magnétique qui
va tendre à s'opposer à celui créé par le l haute tension, et donc créer un champ électromoteur
qui va tendre à "ralentir le courant" du l haute tension. Il apparaîtra ainsi une chute de courant
qui peut être mesurable si le vol d'énergie n'est pas négligeable devant les pertes en ligne.
Remarque : Le champ électromoteur évoqué ici est le champ de Neumann. En eet, d'après la
−
→
→).
symétrie du problème le potentiel vecteur A est dirigé suivant l'axe du l (que l'on notera −
u
z
→
−
∂
A
−
→
→
→ : la modication de −
Le champ électromoteur E m = −
est donc également dirigé suivant −
u
B
z
∂t
−
→
−
→ −
→
→−
modie A (d'après la relation B = rot A ), et donc également le champ électromoteur de Neumann.
2
TD B3 - Correction
2 - Coup de foudre
1. La charge totale s'écrit :
Z
Q=
0
∞
I(t)dt = aire sous la courbe ' 30 carreaux
Or, un carreau correspond à 100.10−6 s × 20.103 A = 2 C, soit Q = 60 C
L'intensité moyenne vaut donc : Imoy =
Q
60
= −3 = 6.104 A.
T
10
2. En utilisant un modèle simplié de condensateur entre le sol (chargé positivement) et le bas du
nuage (chargé négativement par un processus complexe qui résulte principalement de la friction
des particules les plus lourdes contre les autres au cours de leur chute à l'intérieur du nuage,
et de l'ionisation par les rayons cosmiques), on peut écrire : U = Eh = 5.106 V et Eeclair =
1
1
Cu2 = QU = 1, 5 × 108 J, soit, sachant que 1 kWh = 3, 6 × 106 J : Eeclair = 41 kWh
2
2
Cette énergie est très faible, car elle n'est que 150 fois supérieure à la ration énergétique
journalière d'un être humain. La brièveté du phénomène, la faible énergie véhiculées par la
foudre, et le caractère aléatoire de l'emplacement sur lequel elle tombe rendent vain tout espoir
d'utiliser la foudre comme source potentielle d'énergie propre ...
3. (a) La longueur du canal emprunté par l'éclair a pour ordre de grandeur : D ' 1 km.
Le courant se propage à une vitesse proche de celle de la lumière dans le vide : c '
3.108 m.s−1 .
Le temps du phénomène est : τ ' 10−3 s.
L'approximation de l'A.R.Q.S. est valable si le temps de propagation est négligeable par
rapport à la durée du phénomène, soit si T ¿ τ .
D
Ici, T '
' 3, 3 µs ¿ τ = 1000 µs, donc l'A.R.Q.S. est bien vériée.
c
(b) Le canal de l'éclair se comporte comme un l inni, et génère un champ magnétique
−
→ µ0 I −
→
uθ
orthoradial donné par (cf. calcul eectué en cours) : B =
2πr
→
−
Ce champ B génère à travers un éventuel circuit C sur lequel s'appuie une surface S un
RR −
→
→ −
ux magnétique : Φ = B · dS
La présence de ce ux variable crée une f.e.m. induite e, (c'est-à-dire une tension), donnée
par la loi de Faraday :
→
ZZ −
∂B −
dΦ
→
=−
· dS
e=−
dt
∂t
La tension perturbatrice dans le circuit correspond donc à la f.e.m. e, et est proportionnelle aux variations temporelles de du champ magnétique, donc du courant dans le canal
de l'éclair.
dI
est maximal, soit (d'après le graphe
Les perturbations sont donc maximales lorsque
dt
de I(t)) entre 0 et 100 µs c'es-à-dire lors de l'établissement du courant. On a aussi une
perturbation un peu plus faible entre 600 et 700 µs, au moment de la chute de courant.
La valeur de cette perturbation ne dépend pas seulement du courant, mais également de
la distance à l'éclair (en 1/r) et de la dimension et de l'orientation du circuit.
PSI - 2011/2012
3
5 - Forces de Laplace
1. (a) La force de Laplace s'exerçant sur la tige s'écrit :
Z
→
− −
−
→
→
→ − I`(x)B sin α −
→
F Laplace =
i d` ∧ B = −I`(x)B0 cos α −
u
u
x
0
z
tige
où `(x) = 2x tan θ correspond à la longueur de la tige parcourue par un courant lorsque
→ est le vecteur unitaire perpendiculaire
celle-ci se trouve à l'abscisse x, et où le vecteur −
u
z
au plan dans lequel glisse la barre.
(b) L'application du principe fondamental de la dynamique appliqué à la tige permet d'obtenir :
−
d→
v
−
→ −
→
−
→
m
= P + R N + F Laplace
dt
−
→
où R N est la force de réaction exercée par le support sur la tige. Celle-ci est normale au
plan de déplacement de la tige à cause de l'absence de frottement.
En projection sur l'axe x, on obtient :
mẍ = mg sin α − 2Ix tan θB0 cos α
qui peut se réécrire sous la forme :
ẍ + ω02 x = gsinα
On reconnaît l'équation diérentielle d'un oscillateur harmonique, de pulsation propre
2I tan θB0 cos α
ω0 2 =
.
m
Cette équation a pour solution, en utilisant les conditions initiales :
x=
g sin α
(1 − cos ω0 t)
ω0 2
La tige va donc osciller à la pulsation ω0 .
(c) Si on change le sens du courant, la tige chute jusqu'en bas de la rampe, car cette foisci aucune force n'est dirigée vers le haut de la rampe. L'équation de la tige est une
exponentielle en fonction de la position x.
2. (a) Les forces de Laplace des ls verticaux se compensent, et la force de Laplace du l situé
au niveau de la balance est nulle car le champ magnétique y est très faible (sa valeur
est importante seulement dans l'entrefer de l'aimant en U). La résultante des forces de
Laplace est celle s'exerçant sur le tronçon horizontal situé dans l'entrefer de l'aimant.
En utilisant l'expression de la force de Laplace et en tenant compte du sens du champ
magnétique et du sens du courant, on montre directement que la force exercée sur le l
est dirigée vers le bas. L'eet sera donc potentiellement mesurable sur la balance.
(b) La norme de la force est donnée par :
FLaplace = I`B0 = 1 × 5.10−2 × 0, 1 = 5.10−3 N
FLaplace
= 5.10−4 kg
g
soit un demi-gramme, ce qui est mesurable avec une bonne balance.
ce qui entraînera une variation de masse sur la balance de ∆m =
4
TD B3 - Correction
3. Les forces de Laplace s'exerçant sur les parties latérales du circuit sont horizontales et dirigées
vers l'extérieur de l'entrefer. Les deux forces ne sont pas colinéaires et induisent un moment
entraînant la rotation du cadre autour de son axe.
Lorsque le cadre est à l'horizontale, les deux forces sont colinéaires et le moment est nul.
Si le signe du courant ne change pas, lorsque le cadre dépasse la position horizontale, le moment
exercé par le couple de force de Laplace change de signe, et le sens de rotation s'inverse.
Pour éviter ceci et continuer la rotation, grâce à une partie isolante au niveau du rotor du
moteur (trait noir sur la gure), le signe du courant change de sens et le moment reste dirigé
dans le même sens.
Ce système fonctionne même si l'alimentation est continue pouisque le changement de signe du
courant est dû à la mécanique même du système et non pas à une source de courant alternatif.
1 - Chauage par induction
→
−
−
→
→ (voir cours de première année).
u
1. Le champ B créé par le solénoïde inni est B = µ0 n i(t)−
z
−
→
On peut utiliser le fait que le champ B est nécessairement nul à l'inni car sinon, le champ
magnétique serait constant à l'inni, ce qui implique une énergie innie.
2. Invariances : La distribution de courant est invariante par rotation d'angle θ et par transla−
→
tion suivant l'axe z (puisque le solénoïde est inni), ainsi le champ E ne dépend ni de θ, ni
de z .
Symétries : Tout plan passant par un point M à la distance r de l'axe du solénoïde, et
→ et −
→
orienté suivant les vecteurs −
u
ur est un plan d'antisymétrie du problème, donc le champ
z
−
→
→.
électrique est perpendiculaire à ce plan. Ainsi, le champ E est selon le vecteur −
u
θ
On peut donc conclure que :
−
→
→
E = E (r, t) −
u
θ
θ
−
→
3. Calculons la circulation de E sur le cercle de rayon r, avec r < a, orienté dans le même
sens que le courant, et de surface S :
→
I
ZZ
ZZ −
dΦ
∂B −
→
→
→
−
→ −
→ −
−
→−
E · d` =
· dS = −
rot E · dS = −
dt
C
S
S ∂t
où l'on a utilisé successivement l'équation de Maxwell-Faraday et le théorème de Stokes
sur le contour C .
Or :
I
dB
dΦ
→
−
→ −
= −πr2
= πr2 µ0 ni0 sin ωt
E · d` = 2πEθ (r)
et
−
dt
dt
C
On obtient donc :
−
→ rµ0 ni0
→
E =
sin(ωt) −
u
θ
2
4. Dans le cylindre conducteur, il se crée donc un courant (d'après la loi d'Ohm locale) :
γrµ0 ni0
→
−
→
−
−
j = γE =
sin(ωt)→
uθ
2
5. La puissance moyenne dissipée par eet Joule dans le cylindre correspond à la puissance
moyenne dissipée par les forces de Lorentz, qui s'écrit :
!2
ZZZ
ZZZ
ZZZ Ã
ωµ0 ni0 r
−
−
→ →
2
hPLor i =
j · E dτ =
γE dτ =
γ
hsin2 ωtirdrdθdz
2
cylindre
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5
soit
hPLor i =
π
(µ0 ni0 )2 γ ω 2 b4 L
16
Cette énergie est dissipée sous forme d'eet Joule et va donc provoquer un échauement du
milieu. Le chauage étant causé par les courants induits par le champ magnétique, appelés
courants de Foucault, on parle donc de chauage par induction.
6. Les plaques à induction sont des plaques de cuisson fondées le même principe, c'est-à-dire
utilisant l'eet Joule généré par les courants de Foucault.
Dans ce type de plaque, des inducteurs magnétiques sont placés sous la surface en vitrocéramique. Ces inducteurs, parcourus par un courant électrique de fréquence réglable entre 50 Hz
et 50 000 Hz, génèrent un champ magnétique qui induit des courants électriques dans le métal
de la casserole. Ces courants produisent par eet Joule de l'énergie thermique (chaleur) en
circulant dans le métal de la casserole.
Avec une plaque à induction, la surface de la plaque reste presque froide, seulement chauée
par la casserole elle-même. Il y a donc peu de risques de se brûler en touchant la plaque après
retrait de l'ustensile.
Les casseroles doivent être d'un métal magnétique, c'est-à-dire qu'un aimant doit pouvoir se
coller dessus. Autrement dit, les casseroles à base de fer fonctionnent bien, alors que celles à
base de cuivre ou d'aluminium ne sont pas utilisables.
6
TD B3 - Correction
11 - Pince Ampèremétrique
1. La distribution de courant dans la bobine torique est invariante par rotation autour de
−
→
l'axe (Oz ), par conséquent le champ B ne dépend pas de θ. De plus, pour un point M
→
→) (plan contenant l'axe (Oz )), est un plan de
quelconque de l'espace, le plan (M , −
ur , −
u
z
symétrie de la distribution de courants, donc le champ magnétique est perpendiculaire à
−
→
→. On a donc nalement :
ce plan. On en déduit que B (M ) est dirigé suivant le vecteur −
u
θ
−
→
−
→
B = Bθ (r, z)uθ
2. Appliquons le théorème d'Ampère sur un cercle centré sur l'axe (Oz ), de rayon r, et situé
à la hauteur z dans le tore, tournant dans le sens trigonométrique autour de l'axe (Oz ) (avec
cette orientation, les courants traversant le contour sont comptés positivement) :
I
X
→
−
→ −
B · d` = 2πrBθ (r, z) = µ0
Ienlacés = µ0 N i + µ0 I
C
On en déduit que, à l'intérieur du tore, le champ magnétique est nalement indépendant
de z , et s'écrit :
µ0 (N i + I) −
→
−
→
u
B =
θ
2πr
3. Le ux magnétique ϕ à travers une seule spire est donné par :
Z 2a Z a
→ µ0 a ln 2
→
− −
B · dS =
ϕ=
(N i + I)
2π
r=a z=0
µ0 a ln 2 2
(N i + N I)
2π
Or, la loi des mailles sur le circuit comportant la bobine permet d'écrire, en négligeant le
coecient d'autoinduction de la bobine :
Le ux total φ à travers les N spires est donc donné par : φ =
e = (R + r0 )i
On en déduit
(R + r0 )i =
soit
avec
e=−
dφ
dt
µ0 a
d
µ0 a N
dI
ln(2)
(N 2 i + N I) ≈
ln(2)
2π
dt
2π
dt
µ0 a N
ln(2) ω Im sin(ωt)
2π(R + r0 )
Le déphasage ψ est donc xé à ψ = +π/2 et l'on a
im cos(ωt + ψ) = −
iM
µ0 a ln 2
Nω
=
IM
2π(R + r0 )
4. Oui, on a tenu compte de l'inductance de la bobine, puisque le ux Φ est la somme du ux
µ0 N Ia ln 2
"extérieur" (ou ux mutuel ) créé par I : Φext =
et du ux propre créé par i :
2π
2
µ0 N ia ln 2
Φpropre =
qui est par dénition le produit Li.
2π
dΦ
; détaillons cette expression :
On a écrit plus haut Ri = e = −
dt
dΦ
dΦext dΦpropre
dΦext
di
Ri = e = −
=−
−
=−
−L
dt
dt
dt
dt
dt
soit
di
dΦext
Ri + L = −
dt
dt
On a donc bien tenu compte de l'inductance de la bobine.
PSI - 2011/2012
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5. Non, la géométrie des spires de la bobine n'a pas d'importance. En eet, le champ est, de par
le théorème d'Ampère, proportionnel à I + N i et, quelle que soit la géométrie de la bobine,
il en sera de même pour Φ qui sera de la forme Φ = KN (N + N i) où K est un facteur
géométrique. Dès lors que ωN 2 K est grand devant R, ce qui précède reste valable.
6. Un tel dispositif permet de mesurer l'amplitude d'un signal sinusoïdal sans insérer un ampèremètre dans le circuit, soit parce que le circuit ne peut être débranché, soit car le courant est
trop important pour pouvoir y insérer un ampèremètre classique sans dommage.
La pince ampèremétrique fonctionne d'autant mieux que la surface du tore est importante, an
que le ux du champ créé à l'intérieur de celle-ci soit le plus important possible. Ceci explique
que iM augmente avec a. Il faut également le plus grand nombre de tours de ls possible,
pour les mêmes raisons. Plus la fréquence est importante, plus la détection est bonne, avec
une détection nulle en régime statique.
Finalement, le courant mesuré sera d'autant plus grand que le courant à mesurer l'est, et
d'autant plus grand que les résistances du dispositif sont faibles.
La position du l dans la bobine torique n'est absolument pas critique ; la mesure sera identique
tant que le l passe à l'intérieur du tore. Ceci explique encore la facilité d'utilisation de la
pince ampèremétrique.
Dans ce dispositif, c'est la variation du champ magnétique induit au cours du temps qui
génère un courant dans la pince, il n'est donc pas possible de mesurer un courant continu.
8
TD B3 - Correction
16 - Régime transitoire dans des circuits inductifs couplés
1. Établissement du courant dans le solénoïde
(a) La loi des mailles pour t > 0 conduit à
L
di
+ Ri = E
dt
Les solutions sont de la forme
i(t) = K e−Rt/L +
E
R
où K est une constante d'intégration à déterminer à partir des conditions initiales. La
continuité du courant aux bornes d'une bobine implique i(t = 0+ ) = 0 = K + E/R. On
en déduit
´
E
E³
K=−
1 − e−Rt/L
et i(t) =
R
R
(b) Au bout d'un temps inni
i(t) −−−→ i∞ =
t→∞
E
R
Au bout d'un temps inni, l'eet de l'induction est négligeable et le courant est quasiment
permanent.
2. (a) Le ux magnétique traversant la bobine du circuit primaire est la somme du ux propre
Φpropre = Li1 et du ux du champ magnétique créé par le circuit secondaire Φ2→1 = M i2 .
Il apparaît alors, dans le circuit primaire, une force électromotrice aux bornes de la bobine
e=−
dΦpropre dΦ2→1
di1
di2
dΦ
=−
−
= −L
−M
dt
dt
dt
dt
dt
En convention récepteur, la tension aux bornes de la bobine au primaire s'écrit
uL,1 = L
d i1
di2
+M
dt
dt
La loi des mailles appliquée au circuit primaire s'écrit, pour t > 0
E = Ri1 + L
d i1
di2
+M
dt
dt
De la même manière, pour le circuit secondaire, le loi des mailles devient
0 = Ri2 + L
di2
di1
+M
dt
dt
(b) En sommant les deux équations précédentes, on obtient
E = RI + (L + M )
dI
dt
En prenant la diérence entre les deux équations couplées, on trouve
E = RJ + (L − M )
dJ
dt
PSI - 2011/2012
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(c) Les équations diérentielles sont découplées en I et J . Les solutions sont donc de la forme
E
R
E
+
R
I = K1 e−t/τ1 +
J
= K2 e−t/τ2
On détermine les constantes d'intégration à l'aide des conditions initiales :
I(t = 0) = i1 (t = 0) + i2 (t = 0) = 0 = K1 +
E
E
⇒ K1 = −
R
R
J(t = 0) = i1 (t = 0) − i2 (t = 0) = 0 = K2 +
E
E
⇒ K2 = −
R
R
et
Ainsi
I(t) =
J(t) =
On en déduit
´
E³
1 − e−t/τ1
R
´
E³
1 − e−t/τ2
R
Ã
!
I +J
E
e−t/τ1 + e−t/τ2
i1 (t) =
=
1−
2
R
2
et
i2 (t) =
´
I −J
E ³ −t/τ2
=
e
− e−t/τ1
2
2R
Fig. 1 Représentation des intensités i1 (t) (circuit primaire) et i2 (t) (circuit secondaire) en fonction
du temps.
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TD B3 - Correction
L'intensité au primaire croît exponentiellement avec le temps de la valeur 0 jusqu'à sa
valeur asymptotique i1,∞ = E/R.
L'intensité au secondaire est nulle à l'instant initial et prend des valeurs négatives pour
t > 0. Ce résultat était prévisible en vertu de la loi de Lenz : le courant induit au
secondaire s'oppose à la cause qui lui a donné naissance. Autrement dit, le courant i2
crée un champ magnétique qui s'oppose à celui créé par i1 .
On remarque également que i2 tend vers 0 quand t → ∞. En eet, au bout d'un temps
inni, le régime permanent est atteint dans le circuit primaire : l'intensité i1 est alors
constante. Aucun phénomène d'induction ne peut alors générer un courant dans le secondaire.
Comme i2 (t = 0) = 0 = i2,∞ , l'intensité i2 doit nécessairement passer par un extremum
tel que
Ã
à !
Ã
!
!
di2
E
1 −t/τ2
τ1
L2 − M 2
L+M
1 −t/τ1
τ1 τ2
=
− e
ln
=
ln
+ e
=0⇔t=
dt
2R
τ2
τ1
τ1 − τ2
τ2
2M
L−M
L'intensité au secondaire est alors négative et maximale en valeur absolue
!
Ã
E
τ2
i2,max =
− 1 e−τ2 ln(τ1 /τ2 )/(τ1 −τ2 ) < 0
2R τ1
6 - Induction et conversion d'énergie
1. La tige étant en mouvement dans un champ magnétique stationnaire, elle est soumise à un
phénomène d'induction de Lorentz. Il apparaît donc dans la tige une force électromotrice e
telle que
Z
→
−
→
−
−
→
→
−
→
→
−
→
e=
E m · d` avec E m = −
v e ∧ B = v−
u z ∧ (−B →
u y ) = Bv −
ux
tige
−
→
et où e est orienté dans le sens de d` . En orientant le circuit dans le sens trigonométrique, on
a
Z a
e=
vBdx = vBa
0
L
uy
+
B0
g
uz
ux
i
A
e
La loi des mailles fournit alors
B
di
+ Ri = e
dt
où i est orienté dans le sens de e. En remplaçant e par son expression, on obtient l'équation
électrique :
di
L
+ Ri − vBa = 0
(1)
dt
L
PSI - 2011/2012
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Remarque : Le ux du champ magnétique à travers le circuit est la somme du ux magnétique
extérieur φe = −Ba(z + cste) et du ux propre φp = Li. La loi de Faraday s'écrit
etot = −
dφ
dφe dφp
d(Li)
=−
−
= Bav −
dt
dt
dt
dt
Par ailleurs, la loi des mailles s'écrit
etot = Ri
et l'on retrouve l'équation diérentielle précédente. Toutefois, le circuit étant déformable, le
coecient d'inductance propre L dépend aussi du temps, eet que l'on néglige ici.
2. Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, la tige est soumise :
→
? à son poids m−
g ;
−
→ →
→
−
−
→ R
−
−
→
→
−
? à la force de Laplace F = tige id` ∧ B . Avec d` = dx −
u x et B = −B →
u y , on obtient
Z
−
→
F =
a
→
→
→
idx−
u x ∧ (−B −
u y ) = −iaB −
uz
0
Le principe fondamental de la dynamique appliqué à la ige dans le référentiel terrestre du
laboratoire s'écrit, en projection sur vuz :
mz̈ = mv̇ = mg − iBa
(2)
Remarque : On vérie la loi de Lenz. Si v > 0, l'équation électrique montre que i > 0 ce qui
implique F = −iBa < 0 : la force de Laplace s'oppose à la chute de la tige.
3. Dans l'équation électrique, tous les termes ont la dimension d'une tension. En multipliant
l'équation (1) par i, on obtient un bilan de puissance électrique :
Li
soit
d
dt
Ã
di
+ Ri2 − v i Ba = 0
dt
1 2
Li
2
!
+ Ri2 = ei = v i aB
(3)
La puissance Pel = ei fournie par la force électromotrice est en partie stockée dans la bobine (Em = 1/2 Li2 ) et en partie stockée par eet Joule (PR = Ri2 ).
Dans l'équation mécanique, tous les termes ont la dimension d'une force. En multipliant l'équation (2) par v , on obtient un bilan de puissance mécanique :
mz̈ v = mgv − iBav
soit
d
dt
Ã
1
mv 2 − mgz
2
!
= F v = −v i aB
(4)
La puissance PL des eorts de Laplace est utilisée pour faire varier l'énergie cinétique Ec =
1/2mv 2 et l'énergie potentielle de pesanteur Em = −mgz .
En sommant les équations (3) et (4), on obtient
d
dt
Ã
1
1
mv 2 − mgz Li2
2
2
!
= −Ri2
(5)
12
TD B3 - Correction
Cette équation indique que l'énergie totale E du circuit (magnétique et mécanique) est dissipée
par eet Joule :

1


Em = Li2


2
dE
1
= −Ri2 avec E = Em + Ec + Ep et
Ec = mv 2

dt


2


Ep = −mgz
Remarque : Le bilan énergétique ne fait intervenir ni le travail des eorts de Laplace, ni
l'énergie électrique fournie par la f.e.m. : ces deux puissances se compensent car la conversion
électromécanique possède un rendement de 100%.
4. L'équation électrique (1) fournit
1
v=
aB
Ã
di
L
+ Ri
dt
!
En reportant cette expression dans l'équation mécanique (2), on obtient
Ã
!
d2 i
di
m
L 2+R
= mg − iaB
aB
dt
dt
soit
gBa
d2 i R di (aB)2
+
i
=
+
dt2 L dt
mL
L
5. L'équation (6) se ré-écrit
d2 i R di (aB)2
+
+
dt2 L dt
mL
Posons
i0 =
mg
aB
Ã
mg
i−
aB
(6)
!
=0
et I = i − i0
L'équation (6) devient
d2 I R dI
(aB)2
2
2
+
+
ω
I
=
0
avec
ω
=
0
0
dt2 L dt
mL
L'équation caractéristique
r2 +
r
r + ω02 = 0
L
a pour discriminant
R2
− 4ω02
L2
Si la résistance est très grande, c'est-à-dire si R À 2Lω0 , alors le coecient d'amortissement
est très grand et les solutions sont exponentiellement amorties. On en déduit
∆=
t→∞
I(t) −−−→ 0 soit
t→∞
i(t) −−−→ i0 =
mg
aB
La vitesse atteint donc également une valeur limite constante
Ã
!
1
di0
mgR
v0 =
L
+ Ri0
soit v0 =
aB
dt
(aB)2
PSI - 2011/2012
13
6. Si R est négligeable, c'est-à-dire si R ¿ 2Lω0 , la solution de l'équation diérentielle pour I(t)
est quasiment sinusoïdale à la pulsation ω0 (il existe un amortissement sur une durée caractéristique τ = L/R À ω0 ) :
I(t) = A cos(ω0 t + varphi) soit
i(t) = i0 + A cos(ω0 t + ϕ)
où A et ϕ sont des constantes à déterminer en fonction des conditions initiales.
di
À t = 0, v = 0 et i = 0. On en déduit L (t = 0) = −Ri(t = 0) + aBv(t = 0) = 0. On a donc
dt

(
i(t = 0) = 0 = i0 + A cos(ϕ)
ϕ=0
=⇒
di
 (t = 0) = 0 = −Aω0 sin(ϕ)
A = −i0
dt
On obtient donc
i(t) = i0 [1 − cos(ω0 t)]
avec

mg


 i0 =
aB
aB


ω0 = √
mL
L'équation mécanique (2) fournit
v̇ = g −
aB
i = g − g [1 − cos(ω0 t)] = g cos(ω0 t)
m
Par intégration, avec v(t = 0) = 0, on trouve
v(t) =
et
z(t) = −
g
sin(ω0 t)
ω0
g
cos(ω0 t) + rmcste
ω02
La tige oscille autour d'une position moyenne. Elle est parcourue par un courant moyen hi(t)i =
i0 de sorte que la force de Laplace vale
hF i = −i0 Ba = −mg
compense le poids.
Ce résultat était prévisible d'après l'équation (5) puisqu'en l'absence de résistance, aucun
phénomène dissipatif n'intervient. L'énergie totale est donc constante et il y a une conversion
entre l'énergie magnétique stockée dans la bobine et l'énergie mécanique de la tige.
14
TD B3 - Correction
9 - Tige en rotation
1. On est présence d'un circuit mobile dans un champ magnétique permanent. Le mouvement
du circuit étant perpendiculaire au champ magnétique, il existe localement dans le circuit un
champ électromoteur de Lorentz donné par :
−
→
→
−
→
Em = −
v ∧ B0
→
Ce champ électromoteur est orienté selon la direction du circuit (selon −
u r ) et va donc mettre
en mouvement les charges mobiles électroniques à l'intérieur du conducteur (les charges liées
ioniques restant xes), et donc donner naissance à une diérence de potentiel dénie par :
Z
eAB =
B
A
−
→
−
→
Em · d `
Remarque : la présence du champ électromoteur met en mouvement les électrons qui vont
−
→
→
−
−
→
−
→
s'accumuler au point A sous l'eet de la force F = −e E m = −e−
v ∧ B 0 = −evB0 →
u r,
→
orientée suivant −−
u r . Des charges vont donc s'accumuler jusqu'à ce qu'il se crée un champ
−
→
E dû à la séparation des charges qui s'oppose exactement au champ électromoteur, de sorte
que la force électromotrice totale s'annule. Dans le cas stationnaire, il exite donc une charge
positive au bout de la tige en B et une charge négative en A. C'est cette séparation des charges
qui est responsable de la diérence de potentiel eAB .
Le fait que le potentiel ne soit pas uniforme n'est pas une contradiction ici car le champ n'est
nul dans un conducteur qu'à l'équilibre électrostatique. Or ici, non seulement il existe un
champ magnétique, mais en plus les charges sont mobiles.
Le raisonnement utilisé ici est très proche de celui utilisé pour l'eet Hall.
2. Sachant que la vitesse des charges mobiles situées à la distance r du point A est donnée par :
−
→
→
v = rω −
u θ , on en déduit directement par intégration le long de la tige :
Z
eAB =
B
A
→
→
→
(rω −
u θ ∧ B0 −
u z ) · dr−
ur =
Z
0
L
rωB0 dr =
L2 B0 ω
2
PSI - 2011/2012
12 - Freinage d'une spire par induction
15
16
TD B3 - Correction
PSI - 2011/2012
17
15 - Étiquette antivol
1. La bobine correspond à l'enroulement du l métallique et le condensateur est situé au centre
(peu visible). Ce dispositif est en général couplé avec une puce électronique sur laquelle sont
enregistrées des données. On appelle ce système RFID (radio-frequency identication), et
celui-ci est très largement répandu (antivols dans les magasins, étiquetage remplaçant les
codes-barres, passes Navigo et Velib, marquage des dossarts pour le suivi automatique des
coureurs dans les courses comme le marathon de Paris, marquage des aliments pour être
"reconnus par le réfrigérateur lorsqu'ils dépassent la date de péremption, marquage des lettres
et des colis postaux...).
2. Le courant variable dans le portique émetteur génère un champ variable et donc un ux variable
au travers de la bobine de l'antivol. Ainsi, lorsque l'étiquette se trouve entre les portiques, il
apparaît dans le circuit de l'étiquette une force électromotrice de la forme e(t) = E0 cos(ωt) à
la même pulsation que celle du courant dans le portique émetteur.
3. La loi des mailles permet d'écrire
e = uL + uC
qui se réarrange en
1 de d2 i
i
= 2+
L dt dt
LC
1
On obtient bien l'équation diérentielle proposée en posant ω0 = √ .
LC
4. En posant i(t) = I(ω) sin(ωt), on obtient :
−
ω
E0 sin(ωt) = −ω 2 I(ω) sin(ωt) + ω02 I(ω) sin(ωt)
L
soit
I(ω) =
E0 ω
L(ω 2 − ω02 )
5. Lorsque LCω 2 = 1, il se produit alors une résonance en courant, c'est-à-dire que le courant
devient très important.
6. En pratique, le courant ne tend pas vers l'inni car le circuit a nécessairement une petite
résitance qui "arrondira" la résonance. Cependant, pour la fréquence caractéristique, le courant
peut néanmoins être important car la résitance de l'antivol est très faible.
7. Lorsque l'étiquette antivol traverse les portiques, le champ magnétique au niveau du portique
récepteur diminue, car une partie de l'énergie utile pour générer le champ magnétique a été
consommée par l'antivol. On peut également comprendre le phénomène avec la loi de Lenz,
qui permet de comprendre directement que l'eet de la génération de courants induits dans
l'antivol va s'opposer aux causes qui leur ont donné naissance, et par conséquent générer un
champ magnétique opposé au champ magnétique initial. Le champ résutlant dans le portique
récepteur est donc plus faible. Ce phénomène est d'autant plus important que le courant induit
1
est important, c'est à dire si la résonance est bien calculée pour √
= 2π × 135kHz . L'eet
LC
sur la fem induite dans le récepteur est important, c'est à dire que le ux est moins important
et que la fem diminue. C'est cette chute de tension qui déclenche l'alarme.
Remarque : dans les capteurs RFID plus perfectionnées, le courant induit peut permettre d'alimenter une puce, qui peut émettre un code ou une référence particulière qui peut également
être détectée par un système de portique plus complexe.