PHYS-F-205 - Electricité et magnétisme Correction séance 6

PHYS-F-205 - Electricité et magnétisme
Correction séance 6 - Induction magnétique
1
Exercices
22.2)
Z
~ =
~ · dS
B
Z
cos 30BdS = cos 30BS = 1, 73mW eb
22.7)
e,
Le ux au travers de la spire va varier, il y aura donc une force électromotrice induite
|e| = |
∆φ|
BS − 0
0, 4 × 0, 25
=
=
= 0, 5V
∆t
0, 2
0, 2
22.12)
Le ux est donné par φ(t) = N B(t)S et donc la force électromotrice(f.e.m) par e =
−N S dB(t)
. Il s'agit donc de calculer e durant les trois périodes [0, 0.3s], [0.3s, 0.4s] et
dt
[0.4s, 0.5s] :
e = −2, 5 ×
0, 3
= −2, 5V
0, 3
0 < t < 0, 3s
e=0
e = −2, 5 × (
0, 3s < t < 0, 4s
0 − 0, 3
) = 7, 5V
0, 5 − 0, 4
1
0, 4s < t < 0, 5s
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EXERCICES
22.17)
On applique la formule e = Blv cos θ où B est le champ magnétique, l la longueur de
la tige, v la vitesse de chute et θ l'angle que fait le champ magnétique avec la normale au
plan formée par le vecteur vitesse et et celui de la tige. L'application numérique donne
e = 1, 5 × 10−4 × 1 × 2, 8 × cos 50 = 2, 4 × 10−4 V
22.30)
Pour que le déplacement soit à vitesse constante, il faut que la force F exercée soit égale
~
en norme et opposée en direction à la force de Laplace dûe au courant le l F~l = I~l × B
et I = ξ/R étant le courant induit.
On calcul d'abord |ξ| = dtd BS cos 0 = Bvl. Pour la force de Laplace on a donc Fl = IlB =
Bvl
lB
R
=
(Bl)2 v
R
= Fext
22.31)
2v
2
La puissance fournie par l'opérateur est donnée par F~ext · ~v = (Bl)
v cos 0 = (Blv)
.
R
R
(Bvl)2
Bvl 2
2
Or la puissance dissipée par eet Joule PJoule = RI = R( R ) = R . Les deux
expressions sont bien égales.
22.43)
On utilise ici explicitement la loi de l'induction à savoir que la circulation du champ
~ i le long d'un contour est égal à moins la dérivée du ux de champ
électrique induit E
magnétique φM au travers de la surface délimitée par ce contour,
I
~ = − dφM .
~ i · dl
E
dt
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EXERCICES
Pour ce faire, on choisit un contour circulaire de rayon r de même axe que le solénoïde(voir gure). Par symétrie, le champ électrique induit ne peut pas dépendre de θ et
doit être tangent au cercle. Le ux de champ magnétique est donné par φM = BπR2 =
CtπR2 , où R est le rayon du solénoïde et C une constante exprimée en T /s. On obtient
ainsi,
Z
2π
d
CtπR2
dt
2πrEi = −CπR2
CR2
⇒ Ei = −
2r
Ei rdθ = −
0
Le signe moins indique que le champ électrique induit tourne dans le sens inverse de celui
du courant dans le solénoïde !
22.46)
La vitesse angulaire de la bobine w = 2πf = 2π × 50 = 314, 1 rad/s et la tension
fournie par un cadre en rotation dans un champ B perpendiculaire à l'axe de rotation est
ξ = N SB sin(wt).
ξ
On a donc, B = N Sw
= 26, 5mT
22.68)
~ = ~v × B
~ = vB car ~v et B
~ toujours ⊥ et v = wr.
Champ électromoteur E
On a donc ξ = 2lvB = 2lwrB = 0, 3 × 10 × 2π × 0, 6 = 1, 13 V
22.91)
En appliquant la loi des mailles on a V = L dI
+ RI et donc l'équation pour le courant,
dt
dI
V − RI
=
.
dt
L
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EXERCICES
A l'instant t = 0 le courant est nul ⇒ dI/dt = V /L = 120/(50 × 10−3 ) = 2, 4 × 103 A/s .
A l'instant t = L/R, I = 0, 63V /R(I vaut 63% de sa valeur maximale)⇒ dI/dt =
(V − 0, 63V )/L = 0, 37V /L = 0, 8 × 103 A/s.
22.44)
Lorsque la tige se met en mouvement sous l'eet de la force de pesanteur, le ux de
champ magnétique φ au travers du circuit formé par celle-ci, les deux conducteur verticaux
et la résitance R va varier dans le temps. Cette variation de ux va entrainer une force
électromotrice e = −dφ/dt en accord avec la loi de Faraday, et donc un courant s'établit
dans le circuit. Ce courant d'après la loi de Lenz va s'opposer par son action à la cause qui
l'a crée. On s'attend alors à ce que la force de Laplace s'exerçant sur la tige soit orientée
dans le sens opposé à la force de pesanteur(voir gure).
Soit z la coordonnée de la tige. Le ux de champ magnétique sera donc donné par φ =
Blz 1 . On sait aussi que le courant s'établissant dans le circuit sera donné par e = RI .
On peut alors écrire la loi de faraday,
e = RI = −
dz
dφ
= −B l
dt
dt
où dz/dt est bien entendu la vitesse v de la tige. On a alors une expression du courant
I = −Blv/R. La force de Laplace s'exerçant sur la tige est donnée par
(Bl)2 v ~
F~l = BIl ~1z = −
1z
R
~ sortant de la feuille, ceci implique au travers
1. Le signe positif du ux indique que l'on a choisi dS
de la loi de Faraday que le courant I positif est pris dans le sens trigonométrique
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EXERCICES
L'équation de Newton projetée sur l'axe z s'écrit alors,
m
dv
(Bl)2 v
= mg −
dt
R
qui est une équation diérentielle ordinaire du premier ordre. On voit alors qu'à l'instant
initial lorsqu'on lache la tige v = 0 qui implique dv/dt = mg , on a donc un accroissement
de la vitesse. Tant que mg − (Bl)2 v/R > 0 cette vitesse s'accroît. Celle-ci atteint alors
l'équilibre lorsque dv/dt = 0, c'est à dire lorsque v = gmR/(Bl)2 , ou encore lorsque l'on
a équilibre entre d'une part la force de pesanteur et la force de Laplace s'exerçant sur la
tige dûe au courant induit.
29.7)(Benson)
Un l rectiligne parcouru par un courant variable i(t) est placé côte à côte avec un circuit rectangulaire(voir gure) à une distance a de celui-ci. Quel est le ux total de champ
magnétique au travers du circuit ? Quel est la force électromotrice induite dans le circuit
si di/dt = 9, 60 A/s ? Dans quel sens le courant circule-t-il ? (a = 12, 0 cm, b = 36, 0 cm,
L = 24, 0 cm ).
Le champ magnétique dû au l rectiligne est donné par B = µ0 i(t)/2πr où r est la
distance au l. Le ux au travers du champ magnétique est alors donné par
Z bZ
φ=
a
0
L
b
µ0 i(t)ln(r)
Lµ0 i(t)
b
µ0 i(t)
dzdr = L
=
ln( ) .
2πr
2π
2π
a
a
On peut alors calculer la force électromotrice induite,
|e| = +
Lµ0 di(t)
b
dφ
=
ln( ) = 0, 9 × 10−7 V
dt
2π dt
a
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EXERCICES
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Le courant induit circule dans le sens trigonométrique de sorte à s'opposer à l'augmentation de ux rentrant dans la feuille.