Chapitre 5 ‐ Trigonométrie, deuxième partie

1
Chapitre
5
‐
Trigonométrie,
deuxième
partie
Expression exacte de nombres trigonométriques
Exercices
1)
L'exercice 16 du chapitre 4 était consacré au triangle d'or. En utilisant les résultats et
les constructions qui apparaissent dans sa résolution, établir l'expression exacte de
a)
2)
€
€
5)
et
cos
π
;
10
b)
cos
π
5
et
π
sin .
5
€
Etudier les propriétés du triangle équilatéral de manière à établir l'expression exacte de
a)
4)
π
10
En étudiant les propriétés du triangle isocèle rectangle, établir l'expression exacte de
€
€
€
π
π
π
et tan .
cos , sin
4
4
4
€
3)
sin
€
π
cos ,
3
sin
π
3
et
π
tan ;
3
b)
π
sin ,
6
cos
π
6
et
π
tan .
6
En revenant aux définitions de cosα, sinα et tanα, établir l'expression exacte de
€
€
€
€
€
π
π
π
cos0 , sin0 et tan0 ;
a)
b)
et tan .
cos , sin
2
2
2
€
€ En utilisant
€
les propriétés
obtenues dans la résolution des exercices précédents, compléter
€
le graphique et le tableau qui se trouvent à€la page suivante.
Il y€a deux colonnes pour α :
l'une doit contenir les valeurs 0°, 30°, 45°, 60° et 90°, l'autre leur équivalent en radians.
2
α
cosα
sinα
tanα
3
Corrigé des exercices
1)
Reprenons la construction faite dans la résolution de l'exercice 16)
du chapitre 4 et ajoutons-y deux points :
E = milieu de [AB]
F = milieu de [BC]
Rappelons que
d(A, B) = d(A, C) = L 
L 1+ 5
=
 avec
d(B, C) =  

2
€
Le triangle isocèle ABC peut être découpé en deux triangles rectangles AFC et AFB.
Considérons le triangle AFC et nommons α1, ϕ et γ les amplitudes de ses angles et a1,
f et c1 les longueurs de ses côtés, comme indiqué sur le dessin.
ϕ=
π
car AFC est rectangle en F
2
α1 =
α 1π π
=
=
2 2 5 10
€
€
a1 = d(C, F) =
sin
€
€
d(B, C) 
= ;
2
2
f = d(A, C) = L .

π
a
1 1 2
1
1
= sinα 1 = 1 = 2 =
=
=
=
=
10
f
L €
2 L 2 1+ 5 1+ 5
5 +1
5 −1
(
ε=
π
car AED est rectangle en E
2
α=
π
par définition de ABC
5
d = d(A, E) =
€
d(A, B) L
=
2
2
e = d(A, D) = d(B, D) = d(B, C) =  (voir ex. 16) du chapitre 4)
€
)
5 −1
5 −1
5 −1
=
5 −1
4
Le triangle isocèle ABD peut être découpé en deux triangles rectangles AED et BED.
Considérons le triangle AED et nommons α, ε et δ3 les amplitudes de ses angles et a2,
e et d les longueurs de ses côtés, comme indiqué sur le dessin.
€
€
)(
5 +1
=
cos
π
d L
1 L 1 1+ 5 1+ 5
= cosα = = 2 =
=
=
5
e

2 2 2
4
4
Nous avons obtenu que sin
π
5 −1
π 1+ 5
et que cos =
.
=
10
4
5
4
π
π
Pour trouver cos et sin , appliquons la relation fondamentale :
10
5
€
€
cos2 α + sin 2 α = 1
€
€
cos2
π
π
+ sin 2 = 1€
10
10
cos2
π
π
+ sin 2 = 1
5
5
cos2
π
π
= 1− sin 2
10
10
sin 2
π
π
= 1− cos 2
5
5
€
€
 5 −1 2
π
cos
= 1− 

10
 4 
2
€
4 2 cos2
€
π
= 42 −
10
(
€
)
5 −1
2
4 2 sin 2
€
€
2

π
 4 cos  = 16 − 5 − 2 5 + 1

10 
€
2

π
 4 cos  = 16 − 5 + 2 5 −1

10 
€
2

π
 4 cos  = 10 + 2 5

10 
(
4 cos
€
€
4 cos
€
cos
€
)
π
= ± 10 + 2 5
10
Comme
€
€
€
2

π
 4 sin  = 10 − 2 5

5
€
€
b)
cos
sin
€
cos
π
10 + 2 5
.
=
10
4
π 1+ 5
et
=
€
5
4
sin
π
10 − 2 5
.
=
5
4
)
π
= ± 10 − 2 5
5
π
est du 1er quadrant,
5
π
4 sin = 10 − 2 5
5
€
et
π
5 −1
=
10
4
sin
2
(
Comme
π
10 + 2 5
=
10
4
)
2

π
 4 sin  = 16 −1− 2 5 − 5

5
π
= 10 + 2 5
10
a)
(
€
€
π
est du 1er quadrant,
10
π
= 4 2 − 1+ 5
5
2

π
 4 sin  = 16 − 1+ 2 5 + 5

5
4 sin
Conclusion
€
 1+ 5  2
π
sin = 1− 

5
 4 
2
π
10 − 2 5
=
5
4
5
2)
ABC étant rectangle,
b2 = a 2 + c 2
b = a2 + c2 .
€
ABC étant isocèle,
€
c = a.
ABC étant isocèle rectangle,
b = a 2 + c 2 = a 2 + a 2 = 2a 2 = 2a .
€
α=γ=
€
π
4
β=
π
2
cos
π
c
a
1
2
= cosα = =
=
=
4
b
2
2a
2
€
€
€
€
sin
π
a
a
1
2
= sinα = =
=
=
4
b
2
2a
2
tan
π
a a
= tanα = = = 1
4
c a
6
3)
ABC étant équilatéral,
Soit
a=b=c
D = milieu de [AB].
€
Le triangle équilatéral ABC peut être découpé en deux triangles rectangles ADC et BDC.
Considérons le triangle ADC et nommons α, δ et γ1 les amplitudes de ses angles et h,
b et c1 les longueurs de ses côtés, comme indiqué sur le dessin.
α=
€
π
;
3
b = a;
€
δ=
c1 =
c a
= car D est le milieu de [AB];
2 2
€
b 2 = c12 + h 2 ;
ADC étant rectangle en D,
€
1
1π π
γ1 = γ =
= ;
2
23 6
π
car ADC est rectangle en D;
2
h 2 = b 2 − c12 ;
€
 a 2
 a 2
a 2
a
a
3
h = b 2 − c12 = a 2 −   =   2 2 −1 =
2 −1 =
4 −1 =
3=
a.
2 € 2
2 €
2
2
2
(
€
€
€
€
)
a)
b)
a
π
c
1
cos = cosα = 1 = 2 =
3
b
a
2
3
a
π
h
3
2
cos = sin γ1 = =
=
6
b
a
2
3
a
π
h
3
sin = sinα = = 2 =
3
b
a
2
a
π
c1
1
sin = sin γ1 = = 2 =
6
b
a
2
3
a
π
h
tan = tanα = = 2 = 3
a
3
c1
2
€
€
€
π
c
tan = tan γ1 = 1 =
6
h
a
2 = 1 = 3
3
3
3
a
2
7
4)
Rappelons les définitions :
cosα = xM
sinα = yM
€
tanα =
€
sinα
cosα
où M est le point représentatif
de l'angle d'amplitude α sur le
cercle trigonométrique.
€
a)
Si α = 0 ,
€
€
xM = 1 et
€
cos0 = cosα = xM = 1
€
b)
Si α =
π
,
2
xM = 0 et
€
sin0 = sinα = yM = 0
yM = 1.
€
cos
π
= cosα = xM = 0
€
2€
tan
π
n'existe pas car on ne peut pas diviser par 0.
2
€
€
€
yM = 0 .
sin
π
= sinα = yM = 1
2
€
5)
Voir les angles remarquables, page suivante.
tan0 = tanα =
sinα 0
= =0
cosα 1
8
Les angles remarquables
α
€
cosα
sinα
tanα
///
90°
π
2
0
1
60°
π
3
1
2
3
2
45°
π
4
€ π
30°
6
€
€
0°
0
2
2
2 € 2
€ 3
1
2
2
€
1
0
€
€
€
€
€
3
1
3
3
0
Autres expressions exactes de nombres trigonométriques
Nous avons obtenu jusqu'ici des expressions exactes pour les sinus, cosinus et tangentes des angles
d'amplitudes 0, π/10, π/6, π/5, π/4, π/3 et π/2. Plus précisément, nous avons pu écrire ces nombres
trigonométriques uniquement à l'aide de nombres entiers et d'opérations élémentaires comme
l'addition, la soustraction, la multiplication, la division ou l'extraction de racines carrées.
Nous avons obtenu ces résultats en faisant quelques raisonnements simples :
- pour 0 et π/2, en raisonnant sur le cercle trigonométrique (exercice 4));
- pour π/4, en raisonnant sur le triangle isocèle rectangle (exercice 2));
- pour π/6 et π/3, en raisonnant sur le triangle équilatéral (exercice 3));
- pour π/10 et π/5, en raisonnant sur le triangle d'or (exercice 1)).
Nous verrons que l'on peut obtenir de nouvelles expressions grâce aux propriétés des angles associés,
dont nous commençons l'étude à la page suivante. Connaissant les nombres trigonométriques d'α, nous
pourrons en déduire ceux de (π/2 − α), (π − α), (π + α) et (2π − α). C'est ainsi que, dans l'exercice 10),
nous obtiendrons les nombres trigonométriques de 3π/10, 2π/5 et d'autres et que, dans l'exercice 11),
nous obtiendrons ceux de 2π/3, 3π/4, 5π/6 et d'autres.
En 5e année, nous verrons que, connaissant les nombres trigonométriques d'α, nous pourrons en déduire
ceux d'α/2. L'opération pouvant être répétée indéfiniment, nous obtiendrons aussi ceux d'α/4, α/8, α/16,
α/32, α/64 et ainsi de suite. Ainsi, sachant que cos(π/2) = 0, nous en déduirons successivement que
cos
π 1
=
2
4 2
cos
π 1
=
2+ 2
8 2
cos
π 1
=
2+ 2+ 2
16 2
cos
π 1
=
2+ 2+ 2+ 2
32 2
€
€
€
et ainsi de suite. De même, sachant que cos(π /6) = 3 2 , nous en déduirons que
€
cos
π
6+ 2
=
12
4
€
Toujours en 5 année, nous verrons que, connaissant les nombres trigonométriques d'α et de β, nous
pourrons en déduire ceux de (β + α) et de (β − α). Ainsi, si β = π/10 et α = π/12, β − α = π/10 − π/12 =
€ 6π/60 − 5π/60 = π/60 et, puisque les expressions exactes des nombres trigonométriques de π/10 et π/12
sont connues, celles de π/60 peuvent l'être aussi, par exemple :
e
cos
π 1
=
8 + 3 + 15 + 10 − 2 5
60 4
Nous savons maintenant que l'on peut obtenir les expressions exactes de cos(π/2), cos(π/3), cos(π/4),
cos(π/5), cos(π/6), cos(π/8), cos(π/10) et cos(π/12). On serait tenté de compléter cette suite par cos(π/7),
€ cos(π/9), cos(π/11) et cos(π/13). Mais il n'existe aucune formule permettant d'exprimer cos(π/7), cos(π/9),
cos(π/11) ou cos(π/13) à l'aide de nombres entiers, de l'addition, de la soustraction, de la multiplication, de
la division et de l'extraction de racine carrée, cubique ou d'ordre quelconque. Ce n'est pas seulement que
l'on n'ait pas trouvé ces formules : on a démontré qu'il était impossible que de telles formules existent.
Par contre, il existe une expression exacte de cos(π/17) et c'est Carl Friedrich Gauss qui, âgé de 18 ans
seulement, l'a établie. C'est ce succès qui l'a décidé à s'orienter vers les mathématiques, lui qui est
aujourd'hui considéré comme un des plus grands mathématiciens de tous les temps.
9
10
Les angles associés
Multiplicité des amplitudes
Ci-contre se trouvent trois représentations d'un
même angle EOM dans le cercle trigonométrique.
Dans le premier dessin, on a indiqué son amplitude,
de 25°. C'est celle que l'on compte en partant de [OE
et en allant vers [OM par le chemin en arc de cercle
le plus court que l'on puisse faire dans le sens
trigonométrique, c'est à dire dans le sens inverse des
aiguilles d'une montre.
Dans le deuxième dessin, on va également de [OE
à [OM par le chemin en arc de cercle le plus court
mais cette fois dans le sens des aiguilles d'une
montre. Dans ce cas, l'amplitude doit être comptée
négativement et l'on compte −335°.
Dans le troisième dessin on va de [OE à [OM dans
le sens trigonométrique, mais pas par le chemin en
arc de cercle le plus court : on fait plus d'un tour
complet mais moins de deux tours complets. On
compte alors une amplitude positive de 385°.
Et il y ainsi une infinité de possibilités :
- sens positif, moins d'un tour :
25°
- sens positif, entre un et deux tours :
25° + 360° = 385°
- sens positif, entre deux et trois tours :
385° + 360° = 745°
- sens positif, entre trois et quatre tours :
745° + 360° = 1105°
.................................................................
- sens négatif, moins d'un tour :
25° − 360° = −335°
- sens négatif, entre un et deux tours :
−335° − 360° = −695°
- sens négatif, entre deux et trois tours :
−695° − 360° = −1055°
.................................................................
Une amplitude quelconque de cet angle vaut
Si un angle admet une amplitude α, alors
toute amplitude de cet angle vaut
25° + k 360° où k ∈ Z
Z étant l'ensemble des entiers positifs et négatifs.
α + k 360° où k ∈ Z
ou
α + 2k π
où k ∈ Z.
Exercices sur les angles associés
6)
11
Deux angles sont supplémentaires l'un de l'autre si leurs points représentatifs sur le cercle
trigonométrique, M et M', sont symétriques l'un de l'autre par rapport à l'axe des y.
Soit
α une amplitude de l'angle représenté par M,
β une amplitude de l'angle représenté par M'.
Quelle relation existe-t-il entre α et β, si ces amplitudes sont telles que représentées sur le dessin ?
Comment cosβ, sinβ et tanβ peuvent-ils s'exprimer en fonction de cosα, sinα ou tanα ?
12
7)
Deux angles sont antisupplémentaires l'un de l'autre si leurs points représentatifs sur le cercle
trigonométrique, M et M', sont symétriques l'un de l'autre par rapport à l'origine.
Soit
α une amplitude de l'angle représenté par M,
β une amplitude de l'angle représenté par M'.
Quelle relation existe-t-il entre α et β, si ces amplitudes sont telles que représentées sur le dessin ?
Comment cosβ, sinβ et tanβ peuvent-ils s'exprimer en fonction de cosα, sinα ou tanα ?
13
8)
Deux angles sont opposés l'un de l'autre si leurs points représentatifs sur le cercle
trigonométrique, M et M', sont symétriques l'un de l'autre par rapport à l'axe des x.
Soit
α une amplitude de l'angle représenté par M,
β une amplitude de l'angle représenté par M'.
Quelle relation existe-t-il entre α et β, si ces amplitudes sont telles que représentées sur le dessin ?
Comment cosβ, sinβ et tanβ peuvent-ils s'exprimer en fonction de cosα, sinα ou tanα ?
14
9)
Deux angles sont complémentaires l'un de l'autre si leurs points représentatifs sur le cercle
trigonométrique, M et M', sont symétriques l'un de l'autre par rapport à la bissectrice principale
des axes coordonnés.
Soit
α une amplitude de l'angle représenté par M,
β une amplitude de l'angle représenté par M'.
Quelle relation existe-t-il entre α et β, si ces amplitudes sont telles que représentées sur le dessin ?
Comment cosβ, sinβ et tanβ peuvent-ils s'exprimer en fonction de cosα, sinα ou tanα ?
15
10)
Sur ce cercle trigonométrique se trouvent les points représentatifs des angles dont l'amplitude
est un multiple de 18°.
A côté de chacun de ces points, écrire l'amplitude correspondante, à la fois en degrés et en
radians. On sait que tout angle admet une infinité d'amplitudes, il faut donc faire un choix
et on prendra chaque amplitude dans l'intervalle [0°; 360°].
Indiquer aussi, sur les axes adéquats, les expressions exactes des sinus et des cosinus
correspondants. Pour les obtenir, utiliser à la fois les résultats de l'exercice 1) et les
propriétés des angles associés, telles qu'établies dans les exercices de 6) à 9).
Transcrire toutes ces expressions dans le tableau de la page 18.
16
11)
Sur ce cercle trigonométrique se trouvent les points représentatifs des angles remarquables
et de leurs angles associés.
A côté de chacun de ces points, écrire l'amplitude correspondante, à la fois en degrés et en
radians. On sait que tout angle admet une infinité d'amplitudes, il faut donc faire un choix
et on prendra chaque amplitude dans l'intervalle [0°; 360°].
Indiquer aussi, sur les axes adéquats, les expressions exactes des sinus et des cosinus
correspondants. Pour les obtenir, utiliser à la fois les résultats de la page 8 et les
propriétés des angles associés, telles qu'établies dans les exercices de 6) à 9).
Transcrire toutes ces expressions ainsi que celles des tangentes correspondantes dans le
tableau de la page 17.
17
Tableau pour la question 11)
α
cosα
sinα
tanα
tanα
sinα
cosα
α
90°
90°
120°
60°
135°
45°
150°
30°
180°
0°
210°
330°
225°
315°
240°
300°
270°
270°
18
Tableau pour la question 10)
α
cosα
sinα
sinα
cosα
α
90°
90°
108°
72°
126°
54°
144°
36°
162°
18°
180°
0°
198°
342°
216°
324°
234°
306°
252°
288°
270°
270°
19
Corrigés des exercices sur les angles associés
6)
Angles supplémentaires.
M' symétrique de M par rapport à l'axe des y.
Soit F le symétrique du point E(1; 0) par rapport à l'axe des y. M' et F étant les symétriques de
M et de E par rapport à l'axe des y, les angles EOM et M'OF ont la même amplitude, qui est α.
D'autre part, l'amplitude de EOM' + l'amplitude de M'OF = l'amplitude de l'angle plat EOF.
donc
β + α = π
M' étant le symétrique de M par rapport à l'axe des y,
 xM′ = −xM

 yM′ = yM
donc, d'après les définitions du sinus et du cosinus,
€
cosβ = −cosα
sinβ = sinα
En divisant membre à membre ces deux égalités, €
on a
donc, d'après la définition de la tangente,
€
sinβ
sinα
sinβ
sinα
=
=−
ou
cosβ −cosα
cosβ
cosα
tanβ = −tanα
€
20
7)
Angles antisupplémentaires. M' symétrique de M par rapport à l'origine.
M' étant le symétrique de M par rapport à l'origine, l'angle MOM' est plat et son amplitude est π.
D'autre part, l'amplitude de EOM' = l'amplitude de EOM + l'amplitude de MOM'.
donc
β = α + π
M' étant le symétrique de M par rapport à l'origine,
 xM′ = −xM

 yM′ = −yM
donc, d'après les définitions du sinus et du cosinus,
€
cosβ = −cosα
sinβ = −sinα
En divisant membre à membre ces deux égalités, €
on a
donc, d'après la définition de la tangente,
sinβ −sinα
sinβ sinα
=
=
ou
cosβ −cosα
cosβ cosα
tanβ = tanα
€
€
€
21
8)
Angles opposés.
M' symétrique de M par rapport à l'axe des x.
M' étant symétrique de M par rapport à l'axe des x, les angles EOM et M'OE ont la même
amplitude, qui est α. D'autre part, l'amplitude de EOM' + l'amplitude de M'OE =
l'amplitude de l'angle plein EOE.
donc
β + α = 2π
M' étant le symétrique de M par rapport à l'axe des x,
donc, d'après les définitions du sinus et du cosinus,
€
En divisant membre à membre ces deux égalités, €
on a
donc, d'après la définition de la tangente,
€
 xM′ = xM

 yM′ = −yM
cosβ = cosα
sinβ = −sinα
sinβ −sinα
sinβ
sinα
=
=−
ou
cosβ cosα
cosβ
cosα
tanβ = −tanα
€
22
9)
Angles complémentaires. M' symétrique de M par rapport à la bissectrice principale des axes.
Soit D le symétrique du point E(1; 0) par rapport à la bissectrice principale des axes. M' et D
étant les symétriques de M et de E par rapport à cette bissectrice, les angles EOM et M'OD ont
la même amplitude, qui est α. D'autre part, l'amplitude de EOM' + l'amplitude de M'OD =
l'amplitude de l'angle droit EOD.
donc
β + α =
π
2
M' étant le symétrique de M par rapport à la bissectrice,
€
donc, d'après les définitions du sinus et du cosinus,
€
En divisant membre à membre ces deux égalités, on a
€
donc, d'après la définition de la tangente,
€
 xM′ = yM

 yM′ = xM
cosβ = sinα
sinβ = cosα
sinβ cosα
sinβ
1
=
ou
=
cosβ sinα
cosβ  sinα 


 cosα 
tanβ =
1
tanα
€
Les angles associés - résumé
Soient les angles EOM, d'amplitude α, et EOM', d’amplitude β.
Angles supplémentaires
Angles antisupplémentaires
Définition :
M' symétrique de M par rapport
à l'axe des y.
Définition :
M' symétrique de M par rapport
à l'origine.
Propriétés :
β = π − α + 2kπ, k ∈ Z
Propriétés :
β = α + π + 2kπ, k ∈ Z
cosβ = −cosα
sinβ = sinα
tanβ = −tanα
23
cosβ = −cosα
sinβ = −sinα
tanβ = tanα
Angles opposés
Angles complémentaires
€ :
Définition
M' symétrique de M par rapport
à l'axe des x.
€ :
Définition
M' symétrique de M par rapport
à la bissectrice principale des axes.
Propriétés :
β = −α + 2kπ, k ∈ Z
Propriétés :
β = π/2 − α + 2kπ, k ∈ Z
cosβ = cosα
sinβ = −sinα
tanβ = −tanα
cosβ = sinα
sinβ = cosα
1
tanβ =
tanα
Toutes ces propriétés ont été obtenues dans les exercices de 6) à 9). Les relations entre β et α sont ici généralisées
en tenant €
compte de la multiplicité des amplitudes (voir page 10). Les cas particuliers représentés dans les schémas
€ cas.
correspondent à k = 1 dans le cas des angles opposés et à k = 0 dans les trois autres
Corrigés des exercices sur les angles associés (suite)
10)
24
Nombres trigonométriques des multiples de π/10
Il était demandé uniquement de compléter le cercle et le tableau. Le texte ci-dessous ne fait pas
partie de la réponse à la question mais est un complément qui a pour but de permettre à tous de
bien comprendre la procédure suivie.
1°/
Les nombres trigonométriques des angles de 0°, 90°, 180° et 270° sont déduits des
propriétés du cercle trigonométrique.
2°/
Les nombres trigonométriques des angles de 18° et 36° viennent de l'exercice 1).
3°/
Les angles de 54° et 72° sont les complémentaires de ceux de 36° et 18°.
Les sinus des uns sont les cosinus des autres et réciproquement.
4°/
Les angles de 108°, 126°, 144° et 162° sont les supplémentaires de ceux de 72°, 54°,
36° et 18°. Les cosinus des uns sont les opposés des cosinus des autres et les sinus des
uns sont égaux aux sinus des autres.
5°/
Les angles de 198°, 216°, 234°, 252°, 288°, 306°, 324° et 342° sont les opposés de ceux de
162°, 144°, 126°, 108°, 72°, 54°, 36° et 18°. Les cosinus des uns sont égaux aux cosinus
des autres et les sinus des uns sont les opposés des sinus des autres.
25
α
sinα
cosα
0
π
2
90°
α
π
2
0
1
1
108°
3π
5
1− 5
4
10 + 2 5
4
10 + 2 5
4
5 −1
4
€
2π
5
72°
126°
7π
€ 10
− 10 − 2 5
4
€
1+ 5
4
€
1+ 5
4€
10 − 2 5
€4
3π
10
54°
−1− 5
4€
10 − 2 5
4€
10 − 2 5
€4
1+ 5
€4
π
5
36°
− 10 + 2 5
4
€
5 −1
4
€
5 −1
4€
10 + 2 5
4
€
π
10
18°
π
−1
€
0
€
0
0°
11π
10
− 10 + 2 5
4
6π
5
−1− 5
4€
€
144°
€
€
162°
€
198°
216°
€
€
234°
€
13π
€ 10
252°
€
€
270°
4π
5
9π
€ 10
180°
€
€
€
sinα
90°
€
€
cosα
7π
5
3π
€2
− 10 − 2 5
€4
1− 5
4€
0
€
1− 5
4
0
€
1− 5
4
− 10 − 2 5 − 10 − 2 5
4€
4
€
−1− 5
€4
−1− 5
4€
− 10 + 2 5 − 10 + 2 5
4
4
€
€
−1
€
−1
€
1
€
10 + 2 5
4
19π
342°
10
1+ 5
€4
9π
5
10 − 2 5
€4
17π
306°
10
324°
5 −1
€4
8π
5
288°
0
€
3π
2
270°
€
26
11)
Nombres trigonométriques des angles remarquables et de leurs angles associés
Il était demandé uniquement de compléter le cercle et le tableau. Le texte ci-dessous ne fait pas
partie de la réponse à la question mais est un complément qui a pour but de permettre à tous de
bien comprendre la procédure suivie.
1°/
Les nombres trigonométriques des angles de 0°, 90°, 180° et 270° sont déduits des
propriétés du cercle trigonométrique.
2°/
Les angles de 30°, 45° et 60° font partie des angles dits remarquables. Leurs nombres
trigonométriques ont été obtenus dans les exercices 2) et 3) et sont repris à la page 8.
3°/
Les angles de 120°, 135° et 150° sont les supplémentaires de ceux de 60°, 45° et 30°.
Les cosinus des uns sont les opposés des cosinus des autres et les sinus des uns sont
égaux aux sinus des autres.
4°/
Les angles de 210°, 225°, 240°, 300°, 315° et 330° sont les opposés de ceux de
150°, 135°, 120°, 60°, 45° et 30°. Les cosinus des uns sont égaux aux cosinus
des autres et les sinus des uns sont les opposés des sinus des autres.
27
α
90°
π
2
120°
2π
3
€
135°
€
€
150°
€
€
180°
€
€
210°
225°
€
€
240°
€
€
270°
€
€
€
cosα
sinα
tanα
tanα
sinα
cosα
0
1
///
///
1
0
π
2
90°
3
2
− 3
3
2
1
2
π
3
60°
2
2
π
4
45°
3
2
π
6
30°
1
0
0°
−
1
2
3π
4
2
−
2 €
€
2
−1
€
2
5π
6
3
−
2
€
1
2
3
−
3
0
0
π
−1
€
€
7π
6
−
5π
4
2
−
2
4π
3
3π
2
€
3
2
−
€
€
€
€
€
3
3
−
3
3
€
3
2
−1
−
3
€
€
€
−
1
2
3
2
11π
330°
6
2
2
−
2
2
€
€
7π
4
315°
1
3
−
2
2
€
€
5π
3
300°
0
3π
2
270°
///
€
1
2
€
0
3
3
− 3
///
2
2
€
€
€
€
0
2
−1
1
−
2
€
€
€
1
2
0
1
2
1
€
€
−
3
α
−1
€
€
€
Equations trigonométriques élémentaires
Equations en sinus
Soit l'équation
sinβ = sinα
où α est connu.
Résoudre cette équation, c'est trouver toutes les
valeurs de β telles que cette équation soit vérifiée
Exemple
Soit l'équation
sinβ = sin25°
Une solution évidente est : β = 25°,
elle est illustrée par le premier dessin.
Mais ce n'est pas la seule solution !
Si un angle EOM admet 25° comme amplitude, il
en admet d'autres, par exemple 360° + 25° = 385°,
ce qui fournit une autre solution : β = 385°,
illustrée par le deuxième dessin.
C'est bien une solution car, si β = 385°, alors
sinβ = sin385° = sin25°,
En fait, toute amplitude de cet angle EOM
est solution, et il y en a une infinité :
β = 25° + k360°, k ∈ Z.
Si on a là une infinité de solutions de
l'équation sinβ = sin25°, on ne les a pas
encore toutes !
L'angle EOM n'est pas le seul dont le sinus
vaille sin25°, il y a son angle supplémentaire
EOM', qui admet l'amplitude 180° − 25° = 155°.
Cela fournit encore une solution :
illustrée par le troisième dessin
β = 155°,
L'angle EOM' ayant lui aussi une infinité
d'amplitudes, il fournit même une nouvelle
infinité de solutions :
β = 155° + k360°, k ∈ Z.
Il n'existe pas d'autres solutions que les amplitudes
de l'angle EOM et de son supplémentaire EOM'.
Nous pouvons donc récapituler.
Toute solution de l'équation sinβ = sin25° peut s'écrire
β = 25° + k360°, k ∈ Z, ou bien β = 155° + k360°, k ∈ Z.
L'ensemble des solutions de l'équation sinβ = sin25° est donc
Sol. = {25° + k360°, k ∈ Z} ∪ {155° + k360°, k ∈ Z}.
28
29
Généralisation
L'ensemble des solutions de l'équation sinβ = sinα est
Sol. = {α + k360°, k ∈ Z} ∪ {180° − α + k360°, k ∈ Z}
ou, en radians,
Sol. = {α + 2kπ, k ∈ Z} ∪ {π − α + 2kπ, k ∈ Z}.
Equations en cosinus
Soit l'équation
cosβ = cosα
où α est connu.
Résoudre cette équation, c'est trouver toutes les
valeurs de β telles que cette équation soit vérifiée
Exemple
Soit l'équation
cosβ = cos50°.
Premier dessin : solution β = 50°.
Deuxième dessin : solution β = 360° + 50° = 410°,
autre amplitude du même angle EOM.
Troisième dessin : solution β = 360° − 50° = 310°.
amplitude de l'angle EOM' opposé à EOM.
Pour avoir toutes les solutions, il suffit de
prendre toutes les amplitudes de EOM :
β = 50° + k360°, k ∈ Z.
et toutes les amplitudes de l'angle opposé EOM' :
β = 310° + k360°, k ∈ Z.
L'ensemble des solutions de l'éq. cosβ = cos50° est donc
Sol. = {50° + k360°, k ∈ Z} ∪ {310° + k360°, k ∈ Z}.
Généralisation
L'ensemble des solutions de l'équation cosβ = cosα est
Sol. = {α + k360°, k ∈ Z} ∪ {360° − α + k360°, k ∈ Z}
ou, en radians,
Sol. = {α + 2kπ, k ∈ Z} ∪ {2π − α + 2kπ, k ∈ Z}.
On peut simplifier l'écriture en
Sol. = {±α + 2kπ, k ∈ Z}.
30
Equations en tangente
Soit l'équation
tanβ = tanα
où α est connu.
Résoudre cette équation, c'est trouver toutes les
valeurs de β telles que cette équation soit vérifiée
Exemple
Soit l'équation
tanβ = tan35°.
Premier dessin : solution β = 35°.
Deuxième dessin : solution β = 360° + 35° = 395°,
autre amplitude du même angle EOM.
Troisième dessin : solution β = 180° + 35° = 215°.
amplitude de l'angle EOM' antisupplémentaire de EOM.
Pour avoir toutes les solutions, il suffit de
prendre toutes les amplitudes de EOM :
β = 35° + k360°, k ∈ Z.
et toutes les amplitudes de l'antisupplémentaire EOM' :
β = 215° + k360°, k ∈ Z.
L'ensemble des solutions de l'éq. tanβ = tan35° est donc
Sol. = {35° + k360°, k ∈ Z} ∪ {215° + k360°, k ∈ Z}.
Généralisation
L'ensemble des solutions de l'équation tanβ = tanα est
Sol. = {α + k360°, k ∈ Z} ∪ {180° + α + k360°, k ∈ Z}
ou, en radians,
Sol. = {α + 2kπ, k ∈ Z} ∪ {π + α + 2kπ, k ∈ Z}.
On peut simplifier l'écriture en
Sol. = {α + kπ, k ∈ Z}.
Récapitulation
sinβ = sinα
Sol. = {α + 2kπ, k ∈ Z} ∪ {π − α + 2kπ, k ∈ Z}.
cosβ = cosα
Sol. = {±α + 2kπ, k ∈ Z}.
tanβ = tanα
Sol. = {α + kπ, k ∈ Z}.
31
Triangles quelconques
Triangle ABC.
α, β et γ ∈ ]0°; 180°[
a = longueur du côté [BC].
b = longueur du côté [CA].
c = longueur du côté [AB].
et
α = amplitude de l'angle en A.
β = amplitude de l'angle en B.
γ = amplitude de l'angle en C.
α + β + γ = 180°.
Règle des sinus
a
b
c
=
=
sinα sinβ sin γ
Règle des cosinus ou théorème d'Al Kashi
€
a 2 = b 2 + c 2 − 2bccosα
b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cosβ
c 2 = a 2 + b 2 − 2abcos γ
Exercices
12)
Démontrer
€ la règle des sinus et la règle des cosinus.
Indication : tracer la hauteur du triangle issue de A. Soit H l'intersection de cette hauteur avec
le côté BC et soit h = d(A, H).
Pour la règle des sinus : exprimer h de deux manières différentes : comme longueur du côté
opposé à B dans le triangle BHA et comme longueur du côté opposé à C dans le triangle CHA.
Pour la règle des cosinus : exprimer les longueurs des côtés des triangles CHA et BHA
uniquement en fonction de a, b, c et γ, puis exprimer le théorème de Pythagore pour BHA.
Dans les deux cas, transformer la relation obtenue en permutant le rôle des angles et des côtés
du triangle ABC.
32
13)
14)
Construire et résoudre les triangles suivants.
a)
a = 3;
b = 4;
c = 6.
b)
a = 5;
b = 8;
γ = 10°.
c)
α = 20°;
β = 30°;
c = 5.
Soit le triangle ABC tel que A(−1; 5), B(−4; −2) et C(4; 3). Déterminer a, b, c, α, β et γ.
D'après l'exercice 33. du livre des situations pour apprendre.
15)
Prouver, à l'aide du théorème d'Al Kashi, que cos60° = 1/2.
16)
Tirer toutes les conséquences de la règle des sinus et de
celle des cosinus dans le cas particulier où α = 90°.
17)
Une échelle est appuyée contre un mur vertical construit
sur un sol en pente faisant un angle de 10° par rapport à
l'horizontale. L'échelle est posée du côté de la montée et
fait un angle de 82° par rapport au sol. La distance entre
le bas de l'échelle et le bas du mur est de 2 m (mesurés le
long du sol).
Quelle est la longueur de l'échelle et quel angle fait-elle
par rapport au mur ?
Les unités doivent être écrites à chaque étape. Les données,
les inconnues, la résolution et la conclusion doivent être
présentées de manière claire et structurée et toute notation
doit être introduite.
18)
Un parallélépipède rectangle HBCDEFGA a des arêtes
de longueurs 1, 3 et 4 comme indiqué sur le schéma. Un
triangle est construit sur les sommets A, B et C.
Déterminer a, b, c et β.
Démonstration de la règle des sinus.
Prenons un triangle quelconque ABC. Supposons provisoirement que β et γ soient aigus.
Traçons la hauteur issue de A. Soit H l'intersection de cette hauteur avec le côté BC et soit h = d(A, H).
Considérons le triangle BHA, rectangle en H
Nous avons
sinβ =
h
c
donc
h = csinβ .
Considérons le triangle CHA, rectangle en H.
€
€
Nous avons
sin γ =
h
b
donc
h = bsin γ .
33
34
Nous avons donc simultanément
 h = bsin γ

 h = csinβ
donc
bsin γ = csinβ
ou
b
c
=
.
sinβ sin γ
Nous avons démontré ceci dans le cas où β et γ sont aigus. La démonstration doit être un peu adaptée
si ce n'est pas le cas, mais nous admettrons que la€conclusion reste la même.
€
€
Nous avons donc, pour deux côtés quelconques b et c d'un triangle quelconque ABC et pour leurs
angles opposés β et γ,
b
c
=
.
sinβ sin γ
Si c'est vrai pour deux côtés quelconques, nous pouvons transposer ceci aux côtés c et a et à leurs
angles opposés γ et α :
€
c
a
=
.
sin γ sinα
En comparant ces deux dernières égalités, nous avons finalement
€
a
b
c
=
=
sinα sinβ sin γ
CQFD.
Démonstration de la règle des cosinus.
€
Prenons un triangle quelconque ABC. Supposons provisoirement que β et γ soient aigus.
Traçons la hauteur issue de A. Soit H l'intersection de cette hauteur avec le côté BC et soit h = d(A, H).
Considérons le triangle CHA, rectangle en H. Soit x = d(H, C).
Nous avons
et aussi
€
sin γ =
cos γ =
x
b
h
b
donc
donc
€
h = bsin γ .
x = bcos γ .
35
Considérons le triangle BHA, rectangle en H. Soit y = d(B, H).
Nous avons déduit du triangle CHA que
Nous avons aussi
cela donne
y = a − x,
y = a − bcos γ .
h = bsin γ .
et puisque nous avons déduit du triangle CHA que
€
Appliquons à BHA le théorème de Pythagore :
€
x = bcos γ ,
€
c 2 = y2 + h2
2
c 2 = (a − bcos γ) + (bsin γ)
2
2
c 2 = a 2 − 2abcos γ + (bcos γ) + (bsin γ)
(
c 2 = a 2 − 2abcos γ + b 2 cos 2 γ + sin 2 γ
c 2 = a 2 − 2abcos γ + b 2
2
)
car cos2 γ + sin 2 γ = 1 (relation fondamentale).
c 2 = a 2 + b 2 − 2abcos γ
€
Nous avons démontré ceci dans le cas où β et γ€sont aigus. La démonstration doit être un peu adaptée
si ce n'est pas le cas, mais nous admettrons que la conclusion reste la même.
Nous avons donc, pour un côté quelconque c d'un triangle quelconque ABC, pour son angle opposé γ
et pour les deux autres côtés a et b,
c 2 = a 2 + b 2 − 2abcos γ .
Si c'est vrai pour un côté quelconque, nous pouvons transposer ceci au côté quelconque b, à son angle
opposé β et aux deux autres côtés c et a :
€
b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cosβ .
Nous pouvons aussi transposer ceci au côté quelconque a, à son angle opposé α et aux deux autres
côtés b et c :
€
a 2 = b 2 + c 2 − 2bccosα .
Nous avons donc bien
€
a 2 = b 2 + c 2 − 2bccosα
b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cosβ
c 2 = a 2 + b 2 − 2abcos γ
€
CQFD.
Peut-on généraliser aux triangles quelconques l'emploi des fonctions arccos et arcsin ?
Cas du triangle rectangle (rappel)
Si α est l'amplitude d'un angle non droit de triangle rectangle,
si
cosα = u ,
alors
α = arccosu .
Si α est l'amplitude d'un angle non droit de triangle rectangle,
€
si
sinα = v , €alors
α = arcsin v .
Cas du triangle quelconque
€
€
Le seul propos ici est donner des règles pratiques permettant de résoudre des triangles quelconques.
Nous admettrons ces règles cette année mais nous en comprendrons mieux les raisons en 5e année.
Voici ces règles.
Si α est l'amplitude d'un angle de triangle quelconque,
si
cosα = u ,
alors
α = arccosu .
Si α est l'amplitude d'un angle de triangle quelconque,
€
si
sinα = v ,
€
 si α ≤ 90°,

 si α > 90°,
alors
α = arcsin v
α = 180° − arcsin v.
L'emploi de la fonction arcsin apparaît plus compliqué. Retenons donc la règle pratique suivante.
€
€
Pour déterminer α, il est recommandé de le faire à partir de cosα,
donc à partir de la règle des cosinus.
Quelles relations utiliser pour résoudre un triangle quelconque?
Premier principe : pour chaque inconnue, chercher si possible une relation la liant uniquement à des
grandeurs connues.
Exemples
Données
Inconnue
Formule
a, b, c
γ
c 2 = a 2 + b 2 − 2abcos γ
a, b, γ
c
c 2 = a 2 + b 2 − 2abcos γ
a, α, β
b €
a
b
=
sinα sinβ
€
Deuxième principe : déterminer un angle si possible à partir de son cosinus plutôt qu'à partir de son
sinus, conformément à ce qui a été dit sur arccos
et arcsin.
€
Corrigé des exercices
12)
Voir ci-dessus,
- démonstration de la règle des sinus,
- démonstration de la règle des cosinus.
36
37
13)
Résolutions de triangles quelconques.
a)
a = 3;
b = 4;
c = 6.
Construction
Résolution
Détermination d'α
a 2 = b 2 + c 2 − 2bccosα
2bccosα = b 2 + c 2 − a 2
€
cosα =
€
€
b 2 + c 2 − a 2 4 2 + 6 2 − 32 16 + 36 − 9 43
=
=
=
2bc
2•4 •6
48
48
 43 
α = arccos  ≈ 26,38°
 48 
Détermination de β
€
b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cosβ
2ca cosβ = c 2 + a 2 − b 2
€
cosβ =
€
€
c 2 + a 2 − b 2 6 2 + 32 − 4 2 36 + 9 −16 29
=
=
=
2ca
2•6•3
36
36
 29 
β = arccos  ≈ 36,34°
 36 
Détermination de γ
€
c 2 = a 2 + b 2 − 2abcos γ
2abcos γ = a 2 + b 2 − c 2
€
€
€
a 2 + b 2 − c 2 32 + 4 2 − 6 2 9 + 16 − 36
11
cos γ =
=
=
=−
2ab
2 • 3• 4
24
24
 11 
γ = arccos −  ≈ 117,28°
 24 
Vérification
€
α + β + γ ≈ 26,38° + 36,34° + 117,28° ≈ 180,00°.
b)
a = 5;
b = 8;
38
γ = 10°.
Construction
,
Résolution
Détermination de c
c 2 = a 2 + b 2 − 2abcos γ
c = c 2 ≈ 10,22 ≈ 3,20
= 5 2 + 8 2 − 2 • 5 • 8cos10°
= 25 + 64 − 80cos10°
= 89 − 80cos10°
≈ 10,22
[N.B. Il est recommandé de conserver ces valeurs de c2 et de c dans la mémoire de sa calculatrice.
Pour calculer l'expression 89 − 80cos10° , il faut impérativement calculer la différence entre 89 et
le produit de 80 par le cosinus de 10° :
89 − 80cos10° = 89 − (80cos10°) ≈ 10,22 .]
€
Détermination d'α
€
a 2 = b 2 + c 2 − 2bccosα
€
2bccosα = b 2 + c 2 − a 2
b 2 + c 2 − a 2 8 2 + 10,22 − 5 2 64 + 10,22 − 25 39 + 10,22
≈
≈
≈
≈ 0,96
2bc
2 • 8 • 3,20
16 • 3,20
16 • 3,20
€
α ≈ arccos(0,96) ≈ 15,76°
cosα =
€
€
€
€
€
€
39 + c 2
. Il ne faut pas taper 10,22 et 3,20 mais bien utiliser les valeurs de c2 et
16c
de c qui sont en mémoire, même si l'on écrit 10,22 et 3,20 sur sa feuille. Il faut aussi mettre la
valeur de cosα en mémoire pour prendre l'arccos de sa vraie valeur. Si l'on fait les calculs en
utilisant les valeurs arrondies, on trouve α ≈ 16,26° et l'erreur est de 0,5°.
[N.B. cosα =
Avant de diviser par 16c, il faut effectuer complètement l'addition 39 + c 2 . Ou bien on tape
39 + c 2 = puis on divise par 16c. Ou bien on tape ( 39 + c 2 ) puis on divise par 16c.
€
Pour diviser par 16c, il faut taper ÷ 16 ÷ c = ou bien utiliser des parenthèses :
€
÷ ( 16 × c ) = . Si l'on utilise × sans parenthèses, on obtient 9,83 comme valeur de
€
cosα, ce qui est catastrophiquement faux.]
€
Détermination de β
€
2
2
2
b = c + a − 2ca cosβ
2ca cosβ = c 2 + a 2 − b 2
€
c 2 + a 2 − b 2 10,22 + 5 2 − 8 2 10,22 + 25 − 64 10,22 − 39
≈
≈
≈
≈ −0,90
2ca
2 • 3,20 • 5
10 • 3,20
10 • 3,20
€
β ≈ arccos(−0,90) ≈ 154,24°
€
Vérification
cosβ =
€
α + β + γ ≈ 15,76° + 154,24° + 10° ≈ 180,00°.
c)
α = 20°;
β = 30°;
39
c = 5.
Construction
,
,
Résolution
Détermination de γ
γ = 180° − α − β = 180° − 20° − 30° = 130°
Détermination d'a
Détermination de b
a
c
=
sinα sin γ
b
c
=
sinβ sin γ
c
sinα
sinα = c
sin γ
sin γ
sin20°
=5
≈ 2,23
sin130°
c
sinβ
sinβ = c
sin γ
sin γ
sin 30°
=5
≈ 3,26
sin130°
a=
€
b=
€
Vérification
€
2
 a 2 + b 2 − 2abcos γ ≈ 2,232 + 3,26€
− 2 • 2,23 • 3,26cos130° ≈ 25,00
 2
 c = 5 2 = 25
14)
€
A(−1; 5), B(−4; −2), C(4; 3).
Détermination de a, b et c et de leurs carrés
Rappel :
∀ points P(xP; yP) et Q(xQ; yQ),
d(P, Q) =
2
(xQ − xP ) + (yQ − yP )
2
2
[d(P, Q)]2 = ( xQ − xP ) + ( yQ − yP )
2
€
2
2
2
2
a2 = [d(B, C)]2 = ( xC − xB ) + ( yC − yB ) = ( 4 − (−4)) + ( 3 − (−2)) = 82 + 52 = 64 + 25 = 89
€
2
2
2
2
b2 = [d(C, A)]2 = ( x A − xC ) + ( y A − yC ) = (−1− 4 ) + (5 − 3) = (−5)2 + 22 = 25 + 4 = 29
€
€
2
2
2
2
c2 = [d(A, B)]2 = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) = (−4 − (−1)) + (−2 − 5) = (−3)2 + (−7)2 = 9 + 49 = 58
€
€
€
a = 89 ≈ 9,43
€
€
b = 29 ≈ 5,39
€
c = 58 ≈ 7,62
40
Détermination d'α
a 2 = b 2 + c 2 − 2bccosα
2bccosα = b 2 + c 2 − a 2
b 2 + c 2 − a 2 29 + 58 − 89
−2
1
1
1
=
=
=−
=−
=−
2bc
2 29 58
2 29 58
29 58
29 2 • 29
29 2
€

1 
α = arccos −
 ≈ 91,40°
 29 2 
cosα =
€
€
[N. B. a2, b2 et c2 sont connus et ce sont des entiers. Il serait absurde de les recalculer à
partir des valeurs arrondies de a, b, et c.]
€
Détermination de β
b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cosβ
2ca cosβ = c 2 + a 2 − b 2
c 2 + a 2 − b 2 58 + 89 − 29
118
59
59
cosβ =
=
=
=
=
2ca
2 58 89
2 58 89
58 89
5162
€
 59 
β = arccos
 ≈ 34,80°
 5162 
€
€
Détermination de γ
c 2 = a 2 + b 2 − 2abcos γ
€
2abcos γ = a 2 + b 2 − c 2
a 2 + b 2 − c 2 89 + 29 − 58
60
30
30
=
=
=
=
2ab
2 89 29
2 89 29
89 29
2581
€
 30 
γ = arccos
 ≈ 53,81°
 2581 
cos γ =
€
€
Vérification
€
15)
α + β + γ ≈ 91,40° + 34,80° + 53,81° ≈ 180,00°.
Démonstration, à l'aide du théorème d'Al Kashi, de la relation
1
cos60° = .
2
 a 2 = b 2 + c 2 − 2bccosα

Le théorème d'Al Kashi, ou règle des cosinus, dit que  b 2 = c 2 + a 2 − 2cacosβ
€ 2
2
2
 c = a + b − 2abcos γ
Prenons le cas particulier du triangle équilatéral :
 a=b=c

 α = β = γ = 60°
€
Dans ce cas, chacune des trois relations du théorème d'Al Kashi devient
a 2 = a 2 + a 2 − 2aa cos60° €
a 2 = a 2 + a 2 − 2a 2 cos60°
1 = 1+ 1− 2cos60°
(simplification par a2).
0 = 1− 2cos60°
2cos60° = 1
1
cos60° =
CQFD.
2
41
16)
Faisons comme si nous ignorions tout des propriétés du triangle rectangle. Tout ce que
nous connaissons, ce sont la règle des sinus, celle des cosinus, et nous les appliquons à
un triangle tel que
α = 90°
 cosα = cos90° = 0

 sinα = sin90° = 1
donc
€
1°/
a
b
c
=
=
;
sinα sinβ sin γ
D'après la règle des sinus,
a
b
c
=
=
;
1 sinβ sin γ
a=
b
c
=
;
sinβ sin γ
b
sinβ
€
a=
€
b
sinβ =
€ a
€
et
sin γ =
€
c
a
a
b
c
=
=
;
sin90° sinβ sin γ
et
a=
c
;
sin γ
dans un triangle rectangle en A.
€
Nous avons donc retrouvé la propriété des sinus d'un angle non droit de triangle rectangle.
2°/
€
€
D'après la règle des cosinus,
a 2 = b 2 + c 2 − 2bccosα
a 2 = b 2 + c 2 − 2bccos90°
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc0
a 2 = b2 + c 2
a 2 = b2 + c 2
dans un triangle rectangle en A.
€
Nous avons donc retrouvé le théorème de Pythagore.
3°/
€
D'après la règle des cosinus,
b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cosβ
c 2 = a 2 + b 2 − 2abcos γ
b 2 = c 2 + b 2 + c 2 − 2ca cosβ
c 2 = b 2 + c 2 + b 2 − 2abcos γ
0 = 2c 2 − 2cacosβ
0 = 2b 2 − 2abcos γ
0 = 2c(c − acosβ)
0 = 2b(b − acos γ)
0 = c − acosβ
0 = b − acos γ
acosβ = c
c
cosβ =
a
acos γ = b
b
cos γ =
a
cosβ =
€
c
a
et
cos γ =
b
a
car a 2 = b 2 + c 2
dans un triangle rectangle en A.
Nous avons donc retrouvé la propriété des cosinus d'un angle non droit de triangle rectangle.
€
€
42
17)
Soit A le point d'appui de l'échelle sur le sol, B
la base du mur et C le point d'appui de l'échelle
sur le mur. Soit a, b, c, α, β, γ les notations
habituelles pour un triangle ABC quelconque.
Soit enfin δ l'amplitude de l'angle entre
l'horizontale et le sol.
Données
c = d(A, B) = distance entre le bas de l'échelle
et le bas du mur = 2 m
α = amplitude de l'angle entre l'échelle et le sol
= 82°
δ = amplitude de l'angle entre l'horizontale et
le sol= 10°
Inconnues
b = d(A, C) = longueur de l'échelle.
γ = amplitude de l'angle entre l'échelle et le mur
Résolution
• β = amplitude de l'angle entre le sol et le mur
δ + β = 90°
β = 90° − δ = 90° −10° = 80°
€
• α, β et γ sont les amplitudes des angles du
triangle ABC. Leur somme vaut 180° :
α + β + γ = 180°;
γ = 180° − α − β = 180° − 82° − 80° = 18° .
€
• La règle des sinus s'applique au triangle
quelconque ABC :
b
c
=
sinβ sin γ
b=
€
sinβ
sin80°
c=
2 m ≈ 6,37 m .
sin γ
sin18°
Conclusion
€
L'échelle mesure 6,37 m de long et fait un angle
de 18° par rapport au mur.
43
18)
3)
• Application du théorème de Pythagore à CHB, triangle rectangle en H :
a 2 = 12 + 4 2 = 1+ 16 = 17 ;
a = 17 ≈ 4,12 .
• Application du théorème de Pythagore à AGC, triangle rectangle en G :
€
b 2 = 32 + 4 2 = 9 + 16 = 25€;
b = 25 = 5 .
• Application du théorème de Pythagore à BFA, triangle rectangle en F :
€
c 2 = 12 + 32 = 1+ 9 = 10 ; €
c = 10 ≈ 3,16 .
• Application du théorème d'Al Kashi à ABC, triangle quelconque :
€
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cosβ ; €
2ac cosβ = a 2 + c 2 − b 2 ;
€
a 2 + c 2 − b 2 17 + 10 − 25
2
1
;
=
=
=
2ac
2 17 10
2 170
170
€
1
β = arccos
≈ 85,60° .
170
cosβ =
€
Mise en garde
€Dans l'exercice 18) nous avons fait appel au théorème de Pythagore. C'était justifié puisque les
triangles CHB, AGC et BFA étaient rectangles. Nous n'avons pas utilisé le théorème de Pythagore
pour étudier le triangle ABC et nous n'en aurions pas eu le droit puisqu'ABC n'est pas rectangle.
Dans l'exercice 16), nous avons retrouvé (et encadré) les 5 propriétés d'un triangle ABC rectangle
en A. C'était bien naturel puisque, dans cet exercice, ABC était, par hypothèse, rectangle en A. Si
ABC n'avait pas été rectangle en A, ces propriétés auraient été fausses.
Si un triangle n'est pas rectangle, on ne peut pas
lui appliquer les règles du triangle rectangle
Si un triangle n'est pas rectangle, on ne peut lui
appliquer que les règles du triangle quelconque,
à savoir la règle des sinus et la règle des cosinus.
44
Aire d'un triangle quelconque
1
2
Il est bien connu que l'aire d'un triangle vaut
1
2
A = base hauteur = ah
•
 h = bsin γ
Nous savons aussi que 
(voir la démonstration de la règle des sinus).
 h = csinβ
€
1
1
Ceci nous fournit deux formules pour l'aire :
A = acsinβ = absin γ .
2
2
€
a
b
1
1
=
D'après la règle des sinus,
donc asinβ = bsinα et A = acsinβ = cbsinα .
sinα sinβ
2
2
€
1
Bref,
€
1
1
A = bcsinα = €ca sinβ = absin γ
2
2
2
€
Exercices sur l'aire du triangle
€
19)
Calculer la valeur décimale de l'aire des triangles de la question 13).
20)
Déterminer l'expression exacte de l'aire d'un triangle équilatéral de côté 1.
Exercice sur les équations trigonométriques
21)
Donner l'ensemble complet des solutions des équations suivantes. Ecrire aussi, dans
chacun des trois cas, les 8 solutions ayant la plus petite valeur absolue.
a)
sinβ = sin10°
b)
cosβ = cos10°
€
c)
tanβ = tan10°
€
Nous rappelons, en les exprimant en degrés, les règles établies aux pages de 28 à 30.
€
€
€
€
sinβ = sinα
Sol. = {α + k360°, k ∈ Z} ∪ {180° − α + k360°, k ∈ Z}.
cosβ = cosα
Sol. = {±α + k360°, k ∈ Z}.
tanβ = tanα
Sol. = {α + k180°, k ∈ Z}.
45
Corrigé des exercices sur l'aire du triangle
19)
a)
b = 4;
1
2
c = 6;
α ≈ 26,38°.
1
2
A = bcsinα ≈ 4 6sin26,38° ≈ 12sin26,38° ≈ 5,33.
b)
€
c)
€
20)
a = 5;
€
b = 8;
1
2
•
γ = 10°.
1
2
A = absin γ = 5 8sin10° = 20sin10° ≈ 3,47 .
α = 20°;
1
2
•
c = 5;
b ≈ 3,26 .
1
2
A = bcsinα ≈ 3,26 5sin20° ≈ 8,16sin20° ≈ 2,79 .
€
•
Triangle équilatéral de côté 1 :
€
1
2
1
2
a = b = c = 1;
A = absin γ = 1 1 sin60° =
•
•
α = β = γ = 60° ;
1 3
3
.
•
=
2 2€ 4
Corrigé€de l'exercice sur les équations trigonométriques
21)
a)
sinβ = sin10°
Sol. = {10° + k360°, k ∈ Z} ∪ {180° − 10° + k360°, k ∈ Z}.
€
Sol. = {10° + k360°, k ∈ Z} ∪ {170° + k360°, k ∈ Z}.
Les 8 solutions ayant la plus petite valeur absolue sont :
−710°, −550°, −350°, −190°, 10°, 170°, 370°, 530°.
b)
cosβ = cos10°
Sol. = {±10° + k360°, k ∈ Z}.
€
Les 8 solutions ayant la plus petite valeur absolue sont :
€
−710°, −370°, −350°, −10°, 10°, 350°, 370°, 710°.
c)
tanβ = tan10°
Sol. = {10° + k180°, k ∈ Z}.
€
Les 8 solutions ayant la plus petite valeur absolue sont :
−710°, −530°, −350°, −170°, 10°, 190°, 370°, 550°.