3ème Chapitre 2 Trigonométrie Dans tout le chapitre, on travaillera dans un triangle rectangle. I_ Vocabulaire, notations et définitions A. Vocabulaire Côté adjacent à l'angle GFE hypoténuse du triangle rectangle Côté adjacent à l'angle FGE Côté opposé à l'angle FGE Côté opposé à l'angle GFE B. Notations – – – cos est l'abréviation de cosinus. sin est l'abréviation de sinus. tan est l'abréviation de tangente. C. Définitions cos FGE = EG côté adjacent à l' angle FGE = FG hypoténuse du triangle rectangle EFG sin FGE = FE côté opposé à l' angle FGE = FG hypoténuse du triangle rectangle EFG côté opposé à l' angle FGE EF tan = FGE = EG côté adjacent à l' angle FGE cos GFE = FE côté adjacent à l 'angle GFE = FG hypoténuse du triangle rectangle EFG sin GFE = EG côté opposé à l' angle GFE = FG hypoténuse du triangle rectangle EFG côté opposé à l' angle GFE EG tan = GFE = EF côté adjacent à l' angle GFE cos = adj hyp sin = opp hyp tan = opp adj II_ Remarques importantes – Puisque l'on travaille dans un triangle rectangle, les angles sont compris entre 0° et 90° et sont donc des angles aigus. – Puisque l'on a défini cosinus, sinus et tangente comme étant des rapports de longueurs, ce sont des nombres positifs sans unité. – Puisque dans les rapports de longueurs définissants le cosinus et le sinus, on divise par la longueur de l'hypoténuse (plus grand côté du triangle rectangle), le cosinus et le sinus sont des nombres inférieurs à 1. III_ Utilisation des formules de trigonométrie Les formules de trigonométrie permettent, dans un triangle rectangle, de déterminer des longueurs et des mesures d'angles. A. Utilisation de la trigonométrie pour des calculs de longueurs Exercice type 1 On donne: KM = 13 cm et LMK = 63°. Déterminons KL puis ML. Rédaction type Nous savons que: KLM est un triangle rectangle en L. Utilisons la définition: côté opposé à l' angle KML sin KML = hypoténuse du triangle rectangle KLM En conclusion: KL sin KML = KM KL sin 63° = Après s'être assuré que la calculatrice est en mode degré, 13 on utilise la touche sin pour obtenir une valeur approchée. KM = 13×sin63° ≈ 11,6 La longueur du segment [KL] est de 13sin63° cm soit 11,6 cm à 1 mm près. Pour déterminer ML, on peut à présent indifféremment utiliser le théorème de Pythagore ou la trigonométrie. Nous savons que: KLM est un triangle rectangle en L. Utilisons la définition: côté adjacent à l' angle KML cos KML = hypoténuse du triangle rectangle KLM En conclusion: = ML cos KML MK ML cos 63° = Après s'être assuré que la calculatrice est en mode degré, 13 on utilise la touche cos pour obtenir une valeur approchée. ML = 13×cos63° ≈ 5,9 La longueur du segment [ML] est de 13cos63° cm soit 5,9 cm à 1 mm près. Exercice type 2 On donne: SU = 8 cm et SUT = 27°. Déterminons TU puis ST. Rédaction type Nous savons que: STU est un triangle rectangle en S. Utilisons la définition: côté adjacent à l 'angle SUT cos SUT = hypoténuse du triangle rectangle STU En conclusion: SU cos SUT = TU 8 cos 27° 8 cos 27° = = TU 1 TU 8 TU = ≈9 cos 27° 8 La longueur du segment [TU] est de cm soit 9 cm à 1 mm près. cos 27° Nous savons que: STU est un triangle rectangle en S. Utilisons la définition: côté opposé à l' angle SUT tan SUT = côté adjacent à l' angle SUT En conclusion: ST tan SUT = SU ST tan 27° = Après s'être assuré que la calculatrice est en mode degré, 8 on utilise la touche tan pour obtenir une valeur approchée. ST = 8×tan27° ≈ 4,1 La longueur du segment [ST] est de 8tan27° cm soit 4,1 cm à 1 mm près. B. Utilisation de la trigonométrie pour des calculs de mesures d'angles Exercice type 1 On donne: KM = 13 cm et LM = 5 cm. Déterminons LKM puis KML . Rédaction type Nous savons que: KLM est un triangle rectangle en L. Utilisons la définition: côté opposé à l' angle LKM sin LKM = hypoténuse du triangle rectangle KLM En conclusion: = ML sin LKM MK Après s'être assuré que la calculatrice est en mode degré, 5 on utilise la combinaison de touches shift (ou second) sin LKM = 13 puis sin (on utilise alors la fonction sin-1) pour obtenir une valeur approchée de la mesure de l'angle. LKM = Arcsin (5/13) ≈ 22,6° La mesure de l'angle LKM est de 22,6° à 0,1° près. Calcul de KML : 1ère méthode Nous savons que: KLM est un triangle. Utilisons la propriété: La somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°. En conclusion: KML + LKM + KLM = 180° KML = 180° – LKM – KLM KML ≈ 180° – 22,6° – 90° ≈ 67,4° La mesure de l'angle KML est de 67,4° à 0,1° près. Calcul de KML : 2ème méthode Nous savons que: KLM est un triangle rectangle en L. Utilisons la définition: côté adjacent à l' angle KML cos KML = hypoténuse du triangle rectangle KLM En conclusion: = ML cos KML Après s'être assuré que la calculatrice est en mode degré, MK on utilise la combinaison de touches shift (ou second) = 5 cos KML puis cos (on utilise alors la fonction cos-1) pour obtenir 13 une valeur approchée de la mesure de l'angle. LKM = Arcos(5/13) ≈ 67,4° La mesure de l'angle KML est de 67,4° à 0,1° près. Exercice type 2 On donne: PI = 19 cm et PJ = 7 cm. puis Déterminons PJI PIJ . Rédaction type Nous savons que: PIJ est un triangle rectangle en P. Utilisons la définition: = côté opposé à l' angle PJI tan PJI côté adjacent à l' angle PJI En conclusion: = PI tan PJI Après s'être assuré que la calculatrice est en mode degré, PJ on utilise la combinaison de touches shift (ou second) = 19 tan PJI puis tan (on utilise alors la fonction tan-1) pour obtenir 7 une valeur approchée de la mesure de l'angle. = Arctan(19/7) ≈ 69,8° PJI est de 69,8° à 0,1° près. La mesure de l'angle PJI Nous savons que: PIJ est un triangle rectangle en P. Utilisons la définition: côté opposé à l' angle PIJ tan PIJ = côté adjacent à l' angle PIJ En conclusion: PJ tan PIJ = PI 7 tan PIJ = 19 PIJ = Arctan(7/19)≈ 20,2° La mesure de l'angle PIJ est de 20,2° à 0,1° près. IV_ Relations trigonométriques A. Relation entre la tangente, le sinus et le cosinus AB cos BAC = AC BC sin BAC = AC BC tan BAC = AB 1 sin BAC BC BC AC tan = × = sin = BAC = BAC × AB AC AB cos BAC cos BAC On retient: tan x = sin x où x est la mesure de l'angle en degrés avec 0° x < 90° cos x B. Relation fondamentale cos2 BAC + sin2 BAC = (cos BAC )2 + (sin BAC )2 2 2 AB BC = + AC AC 2 AB BC2 = + AC 2 AC 2 2 2 AB BC = 2 AC Or ABC est un triangle rectangle en B donc, d'après le théorème de Pythagore, on a: donc: 2 AC 2 2 cos BAC + sin BAC = 2 = 1 AC On retient: cos2 x + sin2 x = 1 où x est la mesure de l'angle en degrés. C. Utilisations des relations Exercice type On donne x = 60°. On a alors cos x = cos 60° = 0,5 = Déterminons les valeurs exactes de sin 60° et tan 60°. Rédaction type cos2 60° + sin2 60° = 1 2 1 + sin2 60° = 1 2 1 + sin2 60° = 1 4 1 4 1 3 sin2 60° = 1 – = – = 4 4 4 4 or sin 60° > 0 donc: 3 3 sin 60° = = 4 4 sin 60° = 3 2 3 sin 60 ° 2 3 tan 60° = = = ×2 cos 60 ° 1 2 2 tan 60° = 3 1 2 AC2 = AB2 + BC2