Quelques preuves géométriques sur les sin et cos

Quelques preuves géométriques sur les sin et cos
Abdellah Bechata
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Table des matières
1 Figure préliminaire
2
2 Formules d’addition
2.1 Formule sin('
)=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Formule cos('
)=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
4
3 Formules d’addition
3.1 Deux limites remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Dérivabilité de sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
4 Et la suite ?
6
Résumé
L’objectif de cet article est de montrer, par des arguments géométriques, les formules d’addition de cos; sin
1 cos x
sin x
= 1 et lim
= 0 puis nous obtenons la dérivabilité des fonctions sin et
ainsi que les limites lim
x!0
x!0 x
x
cos et le calcul de leurs dérivées respectives.
1
*****
2
1
Figure préliminaire
2
Formules d’addition
FORMULES D’ADDITION
On suppose intuitive la notion d’angle (non horienté)
i ainsi que la dé…nition géométrique du sinus et du cosinus
d’un angle aigu non orienté, i.e. appartenant à 0;
:
h
h 2
On …xe deux angles et ' appartenant à 0; . On considère deux triangles OAB, rectangle en A; et OCD;
2
rectangle en C; avec OB = OD. On note H le projeté orthogonal de D sur la droite OB: Par construction, le
triangle OHD est rectangle en H et considérons le point K intersection des droites (CD) et (OB). Puisque le
\ = ; il est immédiat que OKC
\=
triangle OCK est rectangle en C et que COK
: Par les angles alterne-interne,
2
\ = OKC
\=
\ =
on a HKD
et le triangle HKD étant rectangle en K; on obtient HDK
2
2.1
Formule sin('
)=
Evaluons de deux façons di¤érentes, la longueur DH
Première méthode : Dans le triangle rectangle OHD; on a
\=
sin HOD
DH
\ ,( )
, DH = OD sin HOD
OD
DH = OD sin('
)
Deuxième méthode : Dans le triangle rectangle DHK, on a
\ = DK cos
\ = DH , DH = DK cos KDH
cos KDH
DK
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2
FORMULES D’ADDITION
Puisque K appartient au segment [CD]; on a
DK = CD
CK
donc
DH = CD cos
CK cos
Dans le triangle rectangle OCD; on a
CD
\ = OD sin '
, CD = OD sin COD
OD
\=
sin COD
Dans le triangle rectangle OCK; on a
CK
\ = OK sin
, CK = OK sin COK
OK
\=
sin COK
Les trois égalités précédentes nous donnent
DH = OD sin ' cos
OK sin cos
En considérant successivement les triangles rectangles OCK et OCD; on a
9
OC
>
\
\
, OC = OK cos COK = OK cos =
cos COK =
OK
) OK cos = OD cos '
\ = OC , OC = OD cos COD
\ = OD cos ' >
;
cos COD
OD
Par conséquent, on a
DH = OD sin ' cos
(OK cos ) sin , ( )
DH = OD (sin ' cos
cos ' sin )
Les égalités ( ) et ( ) montrent que
sin('
Cette formule est valable pour deux angles
les deux) sont égaux à
2
puisque
cos ' sin
h
h
et ' appartenant à 0;
et elle reste vrai lorsque l’un des deux (ou
2
cos 0 = sin
2.2
Formule cos('
) = sin ' cos
2
= 1 et
cos
2
= sin 0 = 0:
)=
Evaluons de deux façons di¤érentes, la longueur OH
Première méthode : Dans le triangle rectangle OHD; on a
\=
cos HOD
OH
\ , ( 0)
, OH = OD cos HOD
OD
OH = OD cos('
)
Deuxième méthode : Puisque K appartient au segment [OH]; on a
OH = OK + KH
Dans le triangle rectangle DHK, on a
\ =
sin KDH
KH
\ = DK sin
, KH = DK sin KDH
DK
Dans le triangle rectangle OCK; on a
\=
cos COK
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OC
OC
OC
, OK =
=
OK
cos
\
cos COK
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FORMULES D’ADDITION
Les trois égalités précédentes nous donnent
OH =
OC
+ DK sin
cos
Dans le triangle rectangle OCD; on a
OC
\ = OD cos '
, OC = OD cos COD
OD
et, dans la preuve de la formule d’addition du sinus, on a montré que
\=
cos COD
DK cos = DH = OD sin('
) = OD (sin ' cos
cos ' sin )
Par conséquent, on a
cos ' sin )
OD
OD cos ' OD (sin ' cos
+
sin =
cos ' + sin ' sin cos
cos ' sin2
cos
cos
cos
OD
OD
=
1 sin2 cos ' + sin ' sin cos =
cos2 cos ' + sin ' sin cos
cos
cos
( 0 ) : OH = OD [cos cos ' + sin sin ']
OH =
DH = OD sin ' cos
Les égalités (
0)
0)
et (
(OK cos ) sin , ( )
Cette formule est valable pour deux angles
2
puisque
) = cos cos ' + sin sin '
h
h
et ' appartenant à 0;
et elle reste vrai lorsque l’un des deux (ou
2
cos 0 = sin
2.3
cos ' sin )
montrent que
cos('
les deux) sont égaux à
DH = OD (sin ' cos
2
= 1 et
cos
2
= sin 0 = 0:
Formules d’addition
A l’aide des deux partie précédentes, nous avons montré quedans les formules
sin('
) = sin ' cos
cos ' sin
cos('
étaient
Si l’on
sin
2
l’angle
obtient
) = cos cos ' + sin sin '
i
h
:
vraies quels que soient ' et appartenant à 0;
h
i
h
i 2
h
i
remplace ' 2 0;
par
' 2
;
avec la condition
2 0;
; et, en utilisant la formule
4
2
4 2
4
x = cos x et cos
x = sin x (qui sont évidentes géométriquement en constatant que
x est
2
2
« complémentaire» à x dans le triangle rectangle donc les côtés adjacent et opposé sont échangés), on
cos
, cos
2
2
'
= cos
' cos + sin
2
2
' sin
(' + ) = sin ' cos + cos ' sin , sin (' + ) = cos ' cos + sin ' sin
sin
, sin
2
2
'
(' + ) = cos ' cos
= sin
2
' cos
cos
2
' sin
sin ' sin , cos (' + ) = cos ' cos
sin ' sin
ainsi les formules
cos (' + ) = cos ' cos
sin ' sin
sin (' + ) = cos ' cos + sin ' sin
h
i
sont vraies quels que soient ' et appartenant à 0; . A ce niveau, on ne peut faire mieux car on ne sait calculer
4
que les sinus et cosinus d’angle compris entre 0 et (donc ' + ne peut excéder :
2
2
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3
3
FORMULES D’ADDITION
Formules d’addition
3.1
Deux limites remarquables
On reprend la …gure préliminaire. Le triangle rectangle OBA est contenu dans la portion de cercle délimité
par O; B et U; qui lui même est contenu dans le triangle rectangle OU V:
1
1
– L’aire du triangle rectangle OBA vaut (OB cos )(OB sin ) = OB 2 sin cos
2
2
1
– L’aire de la portion de cercle délimité par O; B et U vaut
OB 2
2
OB
1 OB 2
1
=
(OU = OB par construction et, d’après Thaslès dans
– L’aire du triangle OU V vaut OB
2
cos
2 cos
UV
OU
AB OB
sin OB OB
le triangle OU V , on a
=
, UV =
=
= (tan )OB)
AB
OA
OA
OB cos
i
h
Par conséquent, la comparaison des aires nous donne l’encadrement suivant valable pour tout angle 2 0;
;
2
1
OB 2 sin cos
2
OB 2
1
6
2
2
6
, sin 6
Remarquons que la majoration sin cos 6
sinus est toujours positif)
h
i
8 2 0;
;
4
cos
sin
sin
OB 2 , sin cos 6 6
cos
cos
sin
1
6
,16
6
cos
sin
cos
nous fournit les équivalences suivantes (en n’oubliant pas qu’ici un
h
i
, 0 6 sin(2 ) 6 2 , 8 2 0;
; 0 6 sin 6
2
p
et lorsque ! 0; il est évident que sin ! 1 donc cos = 1 sin2 ! 0 (un cosinus est toujours positif ici).
1
Ainsi, l’encadrement 1 6
6
montre que lim
= 1:
!0 sin
sin
cos
En outre, on a également
1
3.2
cos
1
=
cos 2
2
06
1
1
sin(2 ) 6
2
2 cos2
=
1
2
2 1
cos2
=
2
2 sin2
=
2 =
2
0
B
@
sin
2
12
2C
A ! 0
Dérivabilité de sinus et cosinus
h
h
Justi…ons maintenant la dérivabilité de sinus et cosinus. Pour tout ' 2 0;
et pour tout
2
'+ 6
2
,
6
2
!0
1=0
i
h
2 0;
tel que
2
';
on a
cos(' + )
sin(' + )
cos '
sin '
=
=
cos ' cos
sin ' sin
sin ' cos + cos ' sin
cos '
sin '
= cos '
= sin '
cos
cos
1
1
sin '
+ cos '
sin
sin
!
!0
sin '
! cos '
!0
h
h
Nous avons donc montré que cos et sin sont dérivables sur 0;
et que leurs dérivées respectives sont sin et
2
cos : Je laisse le lecteur véri…er que cette assertion s’étend en
(attention, il s’agit de dérivée gauche car ces
2
h
i
fonctions trigonométriques ne sont dé…nies que sur 0; )
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ET LA SUITE ?
Et la suite ?
Il est ensuite aisé de dé…nir le sinus et le cosinus de deux angles orientés (via les mesures algébriques). Il n’en
reste pas moins que les fonctions sin et cos exigent que la notion d’angle soit dé…nie, ce qui n’est pas franchement
le cas. Par exemple, lorsque l’on dé…nit l’angle entre deux vecteurs (!
u;!
v ) comme étant l’ensemble des couples de
!0 !0
!0
!
!
vecteurs ( u ; v ) pour lesquels il existe une rotation R telle que u = R u et v 0 = R!
v ; on n’a pas dé…ni un angle
comme un réel mais comme une famille potentiellement in…nie de ......... couples de vecteurs ! Arf (borborygme
néanderthalien :-)). En fait, la seule façon propre est de dé…nir initialement les fonctions sinus et cosinus (comme
fonctions d’une variable réelle) simultanément (c’est logique, l’idée intuitive d’angle exige la connaissance de deux
vecteurs donc du sinus et du cosinus). Par exemple, on peut les dé…nir comme étant les solutions non nulles du
système di¤érentiel
8
x0 = y
>
>
< 0
y = x
> x(0) = 0
>
:
y(0) = 1
Remarque : On peut même faire mieux encore, en les dé…nissant comme étant les solutions de l’équation
fonctionnelle
f (x + y) = f (x)g(y) + f (y)g(x)
g(x + y) = g(x)g(y) f (x)f (y)
(on montre que les solutions dé…nies dans un petit intervalle ouvert contenant 0 et continues en 0 peuvent se
prolonger à R tout entier en conservant cette relation fonctionnelle, que le prolongement est dérivable sur R
et véri…e le système di¤ érentiel précédent, ce point de vue est le bon car il est celui qui fournit la plus grande
généralisation possible de la notion de cosinus et sinus, i.e. d’exponentielle complexe)
On démontre alors en toute généralité que ces deux fonctions sont périodiques, qu’elles possèdent une plus
petite période non nulle T que l’on peut calculer par la formule
Z1 p
T =2
1
t2 dt
1
T
T
t = x(t) et y
t = y(t); hum, hum. Remarquer alors le superbe résultat : la
2
2
période minimale obtenue s’interprète géométriquement comme étant le double de l’aire du domaine plan
p
f(x; y) 2 R2 = x 2 [ 1; 1]; 0 6 y 6 1 x2 g
En outre, on a x
Ce dernier domaine étant l’intérieur du demi-cercle unité, on peut a¢ rmer que T représente l’aire du cercle unité.
Par proportionnalité de l’aire, on en déduit que l’aire du cercle de centre O et de rayon R vaut T R2 ; et par
translation, c’est celui de tout cercle de rayon R; ah-ah. Le calcul intégral montre que le périmètre du cercle unité
Z1
p
T
vaut
1 t2 dt et par proportionnalité, on en déduit que le périmètre du cercle de centre O et de rayon R
=
2
1
T
vaut
2
R et, par translation, le périmètre de tout cercle de rayon R vaut
T
2
R:
On montre ensuite que les fonctions x et y réalisent des bijections respectivement de
T T
;
2 2
sur [ 1; 1] et de
[0; T ] sur [ 1; 1]:
Décidons d’appeler
le réel
T
autrement dit
2
=
def
Z1 p
1
t2 dt
1
et d’appeler sin la fonction x et cos la fonction y:
Vous pouvez alors reprendre le début du cours sur les complexes et le tour est joué, on vient d’e¤ectuer une
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ET LA SUITE ?
construction propre et rigoureuse des objets découverts intuitivement (mais attention, les intuitions ne fournissent
pas toujours des vérités).
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