notes de cours (chap 4)

MAT 1739 A : INTRODUCTION AU CALCUL ET VECTEURS
CHAPITRE 4 : Les dérivées des fonctions sinusoïdales
REVUE
Connaissances Préalables (p.212-213)
Dans cette section, nous examinerons quelques arrière-plan des fonctions sinus
et cosinus. Le sinus d’un angle est le rapport entre la longueur du côté opposé à
l’angle et la longueur de l’hypoténuse. Le cosinus d’un angle est le rapport entre
la longueur du côté adjacent à l’angle et la longueur de l’hypoténuse. Comme le
montre le diagramme suivant, nous avons
b
a
sin x = , cos x = .
c
c
Rappel : SOHCAHTOA
Les fonctions sinus et cosinus donnent des exemples importants des fonctions périodiques, c’est à dire, des fonctions qui répètent les valeurs dans des intervalles
réguliers ou des périodes. Nous avons besoin de se familiariser avec les graphes
des fonctions sinus et cosinus et leurs variations.
1
Pratiquer : Esquissez les graphes des fonctions suivantes :
(1) y = sin(x) + 1
(2) y = cos(2x) + 2
(3) y = cos(x + π2 )
(4) y = 4sin(x)
Il est important de se familiariser avec les valeurs des fonctions sinus et cosinus à
angles spéciaux telles que x = π6 , π4 , π3 , π2 . Pour cela, on introduit le cercle unité utile.
http : //en.wikipedia.org/wiki/F ile : U nit circle angles.svg
Il existe de nombreuses identités importantes impliquant des fonctions sinus et
cosinus. Par exemple :
sin2 (x) + cos2 (x) = 1
π
π
sin
− x = cos x,
cos
− x = sin x
2
2
sin(x + h) = sin x cos h + cos x sin h
sin(2x) = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2 (x) − sin2 (x)
2
4.2 L ES DÉRIVÉES DES FONCTIONS SINUS ET COSINUS
La dérivée de y = sin(x) est
dy
= y 0 = cos(x).
dx
(Preuve partielle p.218-219 du manuel)
La dérivée de y = cos(x) est
dy
= y 0 = − sin(x).
dx
Démonstration. Notons que cos x = sin
tion des dérivations on a
(cos x)0 = cos
π
2
− x , d’où, par la règle de la composi-
π
0
i
hπ π
−x ·
− x = sin
−
− x ·(−1) = sin x·(−1) = − sin x.
2
2
2
2
π
4.3 L ES RÈGLES DE DÉRIVATION DES FONCTIONS SINUSOÏDALES
Toutes les rèlges de dérivation qu’on a vues s’appliquent aux fonctions sinusoïdales. Alors, on peut appliquer :
(1) la règle des constantes,
(2) la règle des puissances,
(3) la règle du multiple constant,
(4) la règle de dérivation de la somme/différence de fonctions,
(5) la règle du produit de fonctions,
(6) la règle de dérivation en chaîne, et
(7) la règle de quotient de fonctions.
E XEMPLES ET E XERCICES
Le but de cette section est de pratiquer à travers des exemples. Quelques-uns des
exemples qui suivent sont tirés de la section de revue du chapitre 4 du manuel (p.
244).
(1) (−8 sin x)0 =
cos x)0 =
(2) ( 15
π
(3) (−8 sin x +
15
π
cos x + 60x5 )0 =
(4) Trouver l’équation de la tangente à la courbe f (x) = 2 sin x au point x = π2 .
(5) Trouver les points
sur le graphique de f (x) = −2 cos x, où la pente de la
√
tangente est 3.
(6) Soit y = cos x − 2 sin x.
Alors y 0 =
3
(7) Soit f (x) = 3 sin x − π cos x.
Alors f 0 (x) =
(8) Soit y = − cos2 x.
Alors y 0 =
(9) Soit y = sin 2θ − 2 cos 2θ.
Alors y 0 =
(10) Soit f (θ) = − π2 sin(2θ − π).
Alors f 0 (θ) =
(11) Soit f (x) = sin(sin x).
Alors f 0 (x) =
(12) Soit f (x) = cos(cos x).
Alors f 0 (x) =
(13) Soit f (θ) = cos 7θ − cos 5θ.
Alors f 0 (θ) =
(14) Soit y = 3x sin x.
Alors y 0 =
(15) Soit f (t) = 2t2 cos 2t.
Alors f 0 (t) =
(16) Soit y = πt sin(πt − 6).
Alors y 0 =
(17) Soit y = cos(sin θ) + sin(cos θ).
Alors y 0 =
(18) Soit f (x) = cos2 (sin x).
Alors f 0 (x) =
(19) Soit f (θ) = cos 7θ − cos2 5θ.
Alors f 0 (θ) =
(20) (avec la loi du quotient) Soit f (x) =
1−sin x
.
cos2 x
Alors
Des questions peuvent également demander de trouver le modèle, la tendance
(pattern) des dérivées d’ordre supérieur des fonctions sinusoïdales.
Exemple : Soit f (x) = sin x cos x. Alors déterminer f (12) (x) et f (15) (x).
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