Exercice 5

NOMBRES COMPLEXES – Série d'exercices n°1
Exercice 1
1.- Résoudre dans C :
a)
z8  z 4  1  0
b)
z 4  2(1  ia2 )z  1  a  0 , où a  IR
c)
z  3 z  (2  i 3 ) z
d)
z  z  z.z  0
e)
z 5  1 et 1  iz  z 2  iz 3  z 4  0 .
z 4  2z 3  z 2  2z  1  0
f)
g)
z4  2z3  5z2  2z  1  0
2.- Sans déterminer les racines z’ et z’’ de l’équation : 2z2  3z  3  0 , calculer les modules de
z'z' ' , z'.z" ,
1
1

, z' et z" .
z' z"
3.- Quels sont les nombres complexes dont le carré est égal au conjugué ?
1
4.- Déterminer z tel que z, et 1  z aient le même module.
z
5.- Soit z  6  i 2 . Comment faut-il choisir l’entier relatif k pour que z k soit imaginaire pur ?
4
73
11
1

i
3
6.- Calculer   i 3  puis déterminer toutes les racines quatrièmes de
16
2
2

Exercice 2
Soit P( z)  z 3  4z   , où  est un nombre réel.
a) Montrer que si l’équation P(z) = 0 admet une solution complexe z0, alors z0 est aussi
solution.
b) En déduire quel’ équation P(z) = 0 admet au moins une solution réelle,sans chercher à
résoudre l’équation.
c) Déterminer  pour que l’équation P(z) = 0 admette une racine réelle de module 2, et
résoudre l’équation pour la valeur de  ainsi trouvée.
d) Déterminer  pour que l’équation P(z) = 0 admette une racine complexe de module 2, et
résoudre l’équation pour la valeur de  ainsi trouvée.
Exercice 3
1.- Quel est le conjugué de x  e i , où x et  sont des réels ?
2.- Exprimer en fonction de tan  les nombres
e2i  1
2i
,
e 1
Exercice 4
Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z telle que :
a) z  z  z ?
b) z  z  zz  0 ?
c) ( z  1) 2 est réel ? imaginaire pur ?
d) z2 ait pour partie imaginaire 2 ?

e) arg( z  5i) 
3
f) arg((1  i)z  1)  
e4i  2e2i  1
Exercice 5
En calculant de deux manières différentes (1  j ) n , (1  j 2 ) n , (1  1) n et en utilisant la relation
1+j+j2 = 0, déduire : S0  1  Cn3  Cn6  .....  Cn3k ......
S1  C1n  Cn4  Cn7  .......... ..  Cn3p 1  ....
S2  Cn2  Cn5  Cn8.......... ..  Cn3q 2  .....
Exercice 6
1.- Soit q un nombre complexe quelconque. Montrer que :
1  qn 1
1 q
2.- Soit T un élément de [0 ;], et n un entier naturel non nul.
si q  1, et n  IN, alors 1  q  q2  ......  qn 
n
On pose Cn ( t ) 
coskt
k 1
n
et Sn ( t ) 
a) Calculer Cn(t )  iSn(t ) .
b) En déduire, si t = 0, Cn(t)  n
 sinkt .
k 1
si t ] 0 ; ] , Cn ( t ) 
et
sin
nt
(n  1)t
cos
2
2
t
sin
2
Exercice 7
Soient z , z’ et u des nombres complexes tels que u² = z z’.
z  z'
z  z'
Montrer que z  z' 
u 
u
2
2
Exercice 8
Dans le plan muni d’un repère orthonormé direct, on considère les points Ak,
2k
2k
 i sin
) avec a  0 et le point M d’affixe
(0  k  n) d’affixes : z k  a(cos
n
n
z  r (cos   i sin  ) avec r >0.
a) Démontrer que zn  an  (z  a)(z  z1)(z  z2 ).......(z  zn1) .

n
b) Dé la relation trouvée pour a = 1, déduire sin sin
sin
2
(n  1)
......sin
 n21n et
n
n

2
(n  1)
n
sin
......sin

.
n
2n
2n
2n
2 1
Exercice 9
Pour tout complexe z, on pose z' 
et z’ dans le plan complexe.
1.- a)Comparer z  1
et
z 1
, et on appelle A, B M et M’ les points d’affixes 1, -1, z
z 1
z  1 et en déduire |z’|.
c) Traduire géométriquement ce résultat pour le point M’.
2.- Calculer en fonction de z et z le complexe r 


z'1
et en déduire que r est réel.
z1
3.- Montrer que les vecteurs AM et BM' sont colinéaires.
4.- Utiliser ce qui précède pour donner une construction géométrique de M’ connaissant M. O
fera une figure.
Exercice10
1.-Ecrire sous forme trigonométrique le complexe 1+ i.
2.- On pose z   e i avec   0; et   0 ; 2  .
a) Calculer z 2 et (1  i) z en fonction de  et  .
b) En déduire la valeur r de  pour laquelle on a l’égalité z2  (1  i)z .(1)
c) Déterminer les valeurs de  0 , 1 et  2 de  telles z  rei vérifie l’égalité (1). On note
respectivement les nombres complexes d’argument  0 , 1 et  2 .
3.- Soit A1 et A2 les points d’affixes respectives z1 - z0 et z2 - z0.
Calculer sous sa forme trigonométrique, le nombre complexe
triangle OA1A2 est équilatéral.
z2  z 0
. En déduire que le
z1  z0