Fonction arcsin

Fonction arcsin
Exercice 1
On pose f (x) = arcsin
1+x
.
1−x
1) Déterminer le domaine de dénition de la fonction f .
2) Déterminer le domaine où la fonction f est dérivable.
3) Dériver f .
Correction de l'exercice 1
1)
La fonction n'est pas dénie pour x = 1 puisque dans ce cas 1 − x = 0. De plus, la fonction f n'est dénie que si :
−1 6
1+x
61
1−x
Etant donné que 1 − x n'est pas de signe constant, il est impossible de multiplier ces inégalités par 1 − x. On
distingue alors deux cas :
1. Premier cas :1 − x > 0 =⇒ x < 1, dans ce cas :
−1
⇐⇒
⇐⇒
6
−1(1 − x) 6
x−1
6
1+x
1−x
1+x
1+x
6
1
6 1−x
6 1−x
On obtient nalement :
x−1 6 1+x
1+x 6 1−x
−1 6 1
x
6 0
⇐⇒
⇐⇒ x 6 0
2. Second cas :1 − x < 0 =⇒ x > 1, dans ce cas :
−1
⇐⇒
⇐⇒
6
−1(1 − x) >
x−1
>
1+x
1−x
1+x
1+x
6
> 1−x
> 1−x
On obtient nalement :
⇐⇒
x−1 > 1+x
1+x > 1−x
−1 > 1
x
> 0
On obtient −1 > 1, qui est impossible.
1
1
Par conséquent, l'ensemble de dénition de la fonction f est ]−∞, 0].
n exo 1
u
t
2)
La fonction arcsin n'est pas dérivable, ni en 1, ni en −1. Il faut dont exclure le cas x = 0. Le domaine où la fonction
f est dérivable est donc ]−∞, 0[.
3) On procède par étude, on g(x) =
1+x
1−x .
Donc f (x) = arcsin g(x) et f 0 (x) = g 0 (x) [(arcsin)0 (g(x))].
0
1+x
1−x+1+x
2
g (x) =
=
=
.
1−x
(1 − x)2
(1 − x)2
Si on ne se souvient plus de (arcsin)0 (x), on utilise la propriété suivant :
0
∀x ∈] − 1,1[, sin (arcsin(x)) = x
.
En dérivant, on obtient :
(arcsin)0 (x) [cos (arcsin(x))] = 1
(arcsin)0 (x) =
=⇒
1
cos (arcsin(x))
On sait que : ∀x ∈ R, cos2 (x) + sin2 (x) = 1. Par conséquent, ∀x ∈ [−1,1] :
2
2
[cos (arcsin(x))] + [sin (arcsin(x))] = 1
2
=⇒
[cos (arcsin(x))] = √
1 − x2
=⇒
|cos (arcsin(x))| =
1 − x2 car 1 − x2 > 0 puisque x ∈ [−1,1]
Il reste à déterminer le signe de cos (arcsin(x)). Lorsque x ∈ [−1,1], arcsin(x) ∈ − π2 , π2 . On en déduit que :
cos (arcsin(x)) > 0. Par conséquent :
cos (arcsin(x)) =
p
1
1 − x2 et (arcsin)0 (x) = √
1 − x2
Finalement :
2
s
(1 − x)2
1
2
1+x
1−
1−x
2
1
s
=
2
2
2
(1 − x)
1−x
1+x
−
1−x
1−x
1
2
p
=
1
2
2
(1 − x) |1−x|
1 − 2x + x − (1 + 2x + x2 )
2
1
√
=
|1 − x| −4x
f 0 (x) =
On vérie à ce niveau qu'il n'y a pas d'erreur de signe dans l'expression
sous la racine carrée
√
l'ensemble de dénition de la fonction f est ]−∞, 0]. L'expression −4x a donc un sens.
2
√
−4x puisque
f 0 (x) =
1
1
√
√
=
car x < 0
|1 − x| −x
(1 − x) −x
Les deux fonctions f et f 0 sont représentées sur la gure 1.
1+x
1 Ce dessin représente la fonction f (x) = arcsin 1−x
(courbe rouge) et sa dérivée courbe verte. On vérie
que la dérivée tend vers 0 lorsque x −→ −∞ et le fait qu'elle soit positive correspond au fait que la fonction f soit
Fig.
croissante.
3