fonctions usuelles - Maths PCSI2 Joffre

Cours PCSI 2
Lycée Joffre
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FONCTIONS USUELLES
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1
fonctions polynomiales et rationnelles
• fonction polynomiale :
une fonction polynomiale sur R est une fonction f pour laquelle il existe un entier
naturel d, des réels a0 , a1 , · · · , ad tels que :
∀x ∈ R, f (x) =
d
X
ak x k
k=0
• la limite d’une fonction polynomiale en +∞ ou −∞ est la limite de son terme dominant,
i.e son terme de plus haut degré ( on le met en facteur).
• expression des dérivées :
une fonction polynomiale est D∞ sur R et ses dérivées sont des fonctions polynomiales.
Plus précisément :
si f : x →
d
X
ak xk alors f 0 : x →
d
X
kak xk−1
k=1
k=0
et plus généralement :
∀j ∈ [0; d], f
(j)
:x→
d
X
k=j
k!
ak xk−j
(k − j)!
∀j > d + 1, f (j) : x → 0
• fonction rationnelle :
une fonction rationnelle est une fonction qui est le quotient de deux fonctions polynomiales, définie sur une partie de R ( en les points où le dénominateur ne s’annule
pas).
• une fonction rationnelle est D∞ sur son domaine et ses dérivées sont des fonctions rationnelles sur le même domaine.
1
2
2.1
exponentielle et logarithme
logarithme népérien
• définition :
la fonction ln ( logarithme népérien) est par définition l’unique primitive sur ]0, +∞[, qui
s’annule en 1, de la fonction x → 1/x.
- la fonction ln est strictement croissante.
- la fonction ln est D∞ sur R∗+ et ses dérivées multiples se déduisent de celles de x → x−1 .
• propriétés fonctionnelles :
∀x, y ∈]0, +∞[, ln(xy) = ln(x) + ln(y)
∀x ∈]0, +∞[, ∀n ∈ Z, ln(xn ) = n ln(x)
• limites remarquables :
ln(x) −−−−→ +∞ et ln(x) −−→ −∞
x→+∞
x→0
ln(1 + t)
−−→ 1
t→0
t
- limite classique, que l’on peut retenir avec la définition de la dérivée en 1 de ln en 1.
• inégalités à conna^
ıtre :
inégalité classique qui traduit le fait que la courbe est en dessous de la tangente en 1 :
∀t > −1, ln(1 + t) 6 t
la même après le changement de variable x = 1 + t :
∀x > 0, ln(x) 6 x − 1
2
2.2
exponentielle
• definition :
la fonction exp ( exponentielle ) est la réciproque de ln. Elle est définie sur R, est à valeurs
dans ]0, +∞[.
- la fonction exp est strictement croissante.
• expression de ses dérivées :
la fonction exp est D∞ sur R et : ∀k ∈ N, exp(k) = exp.
• propriétés fonctionnelles :
∀a, b ∈ R, exp(a + b) = exp(a) exp(b) et exp(a − b) =
exp(a)
exp(b)
∀x ∈ R, ∀n ∈ Z, (exp(x))n = exp(nx)
• limites à conna^
ıtre :
exp(x) −−−−→ +∞ et exp(x) −−−−→ 0
x→+∞
x→−∞
- une limite classique, que l’on peut retenir avec la définition de la dérivée en 0 de exp :
exp(t) − 1
−−→ 1
t→0
t
• inégalité à conna^
ıtre :
une inégalité classique qui traduit le fait que la courbe est au dessus de la tangente en 0 :
∀t ∈ R, exp(t) > 1 + t
3
2.3
exposants réels
• définition :
on définit pour deux réels x et y où x > 0, xy par :
∀x > 0, ∀y ∈ R, xy = exp(y ln(x))
- ainsi, comme on note e = exp(1), on a ∀x ∈ R, ex = exp(x).
• formules classiques :
∀x, t > 0, ∀y, y 0 ∈ R, (xt)y = xy ty
2.4
;
0
(xy )y = xyy
0
;
0
xy+y = xy xy
0
fonctions puissances :
• fonctions puissances :
ce sont les fonctions x → xa , où a est un réel fixe, définies sur ]0, +∞[.
- on retrouve parmi ces fonctions puissances, la fonction carré x → x2 , la fonction racine
carrée x√ → x1/2 , mais aussi la fonction inverse x → 1/x = x−1 , ainsi que la fonction
x → 1/ x = x−1/2 .
- si a > 0, on peut prolonger la fonction puissance x → xa par continuité en 0, en posant
0a = 0.
• monotonie et limites :
- si a > 0, la fonction x → xa est strictement croissante et tend vers +∞ en +∞.
- si a < 0, la fonction x → xa est strictement décroissante et tend vers +∞ en 0 et vers 0
en +∞.
• expression des dérivées :
- les fonctions puissances sont D∞ sur ]0, +∞[.
- Attention : la dérivabilité en 0, de même que la k fois dérivabilité en 0 dépend de la
valeur de a et nécessite une étude précise.
si f : x → xa alors f 0 : x → axa−1
Qui se généralise comme suit :
∀k ∈ N, f (k) : x → a(a − 1) · · · (a − k + 1)xa−k
4
2.5
autres exponentielles et logarithmes :
• fonctions exponentielles de base b :
ce sont les fonctions définies sur R par : ∀t ∈ R, bt = et ln(b) ( où b est un réel > 0) .
• fonctions logarithmes de base α :
ce sont les fonctions définies sur ]0, +∞[ par : ∀x > 0, logα (x) =
> 0).
ln(x)
ln(α)
( où α est un réel
• règle d’or :
avec les fonctions présentant un exposant dépendant de la variable, on ” passe à l’exponentielle” :
u(x)v(x) = exp(v(x) ln(u(x)))
2.6
comparaison asymptotique
• comparaison en 0 et +∞ des puissances positives de x et de ln(x) :
∀a, b > 0, xa | ln(x)|b −−→ 0
x→0
et
(ln(x))b
−−−−→ 0
x→+∞
xa
• comparaison en +∞ des puissances positives de x et exp(x) :
∀a, b > 0,
ebx
−−−−→ +∞
xa x→+∞
Attention : pas de conclusion hâtive, si vous n’êtes pas dans ce cadre là. Par exemple,
2
l’étude de la limite de xe−x en +∞ nécessite un changement de variable ( ici y = x2 ) ou
l’étude de la limite du ln de cette expression ( ici de ln(x) − x2 en +∞).
5
3
fonctions hyperboliques
• définition :
et − e−t
et + e−t
; ch(t) =
2
2
sh est le ” sinus hyperbolique” et ch est le ” cosinus hyperbolique” ( nommés ainsi, car
ils permettent de paramétrer les hyperboles).
∀t ∈ R, sh(t) =
• propriétés globales :
la fonction sh est strictement croissante et impaire.
- la fonction ch est paire et strictement croissante sur [0, +∞[.
• limites :
on a les limites suivantes en +∞ ( celles en −∞ s’en déduisant par parité ou imparité) :
sh(t) −−−−→ +∞
t→+∞
;
ch(t) −−−−→ +∞
t→+∞
• formule :
∀t ∈ R, ch2 (t) − sh2 (t) = 1
• dérivées :
sh0 = ch
;
6
ch0 = sh
4
4.1
sin, cos, tan et réciproques de leurs restrictions
sin et Arcsin
• propriétés de sin :
la fonction sin est impaire, 2π-périodique, D∞ sur R et on a la formule :
π
∀k ∈ N, ∀x ∈ R, sin(k) (x) = sin(x + k )
2
( ce qui se résume en disant : ” dériver sin revient à ajouter π/2 à son angle”)
• définition de Arcsin :
la restriction de la fonction sin à [−π/2; π/2] est bijective de [−π/2; π/2] sur [−1, 1]. Sa
réciproque est notée Arcsin.
(
[−1, 1] → [−π/2, π/2]
Arcsin :
y → unique x de [−π/2, π/2]/ sin(x) = y
• propriétés de Arcsin :
la fonction Arcsin est impaire
∀y ∈ [−1, 1], sin(Arcsin(y)) = y et ∀t ∈ [−π/2, π/2], Arcsin(sin(t)) = t
— attention : la dernière formule n’est pas valable en dehors de l’intervalle [−π/2, π/2].
• dérivée de Arcsin :
Arcsin est dérivable ( et même D∞ ) sur ] − 1, 1[ et :
1
∀y ∈] − 1, 1[, Arcsin0 (y) = p
1 − y2
7
4.2
cos et Arccos
• propriétés de cos :
la fonction cos est paire, 2π-périodique, D∞ sur R et on a la formule :
π
∀k ∈ N, ∀x ∈ R, cos(k) (x) = cos(x + k )
2
( ce qui se résume en disant : ” dériver cos revient à ajouter π/2 à son angle”)
• définition de Arccos :
la restriction de la fonction cos à [0; π] est bijective de [0; π] sur [−1, 1]. Sa réciproque est
notée Arccos.
(
[−1, 1] → [0; π]
Arccos :
y → unique x de [0; π]/ cos(x) = y
• propriétés de Arccos :
∀y ∈ [−1, 1], cos(Arccos(y)) = y et ∀t ∈ [0, π], Arccos(cos(t)) = t
— attention : la dernière formule n’est pas valable en dehors de l’intervalle [0, π].
• dérivée de Arccos :
Arccos est dérivable ( et même D∞ ) sur ] − 1, 1[ et :
1
∀y ∈] − 1, 1[, Arccos0 (y) = − p
1 − y2
8
4.3
tan et Arctan
• propriétés de tan :
la fonction tan est impaire π-périodique, D∞ sur son domaine et on a la formule :
∀x ∈ R/x 6= π/2[π], tan0 (x) = 1 + tan2 (x) =
1
cos2 (x)
• définition de Arctan :
la restriction de la fonction tan à ] − π/2; π/2[ est bijective de ] − π/2; π/2[ sur R. Sa
réciproque est notée Arctan.
(
R →] − π/2, π/2[
Arctan :
y → unique x de ] − π/2, π/2[/ tan(x) = y
• propriétés de Arctan :
la fonction Arctan est impaire, dérivable sur R et :
∀y ∈ R, tan(Arctan(y)) = y et ∀t ∈] − π/2, π/2[, Arctan(tan(t)) = t
— attention : la dernière formule est fausse en dehors de l’intervalle ] − π/2, π/2[.
• dérivée de Arctan :
∀y ∈ R, Arctan0 (y) =
9
1
1 + y2