Trigonométrie

Chapitre.
Rappel de vocabulaire:
ABC est un triangle rectangle en A.
[BC] est l'hypoténuse.
Trigonométrie
B
hypoténuse
[AB] est le côté adjacent à l'angle d
B.
[AC] est le côté opposé à l'angle d
B.
[AC] est le côté adjacent à l'angle d
C.
C
A
[AB] est le côté opposé à l'angle d
C
I.
Cosinus, sinus, tangente d’un angle aigu
Soit BAC un triangle rectangle en A, on définit
• le cosinus de l’angle d
B , noté cos d
B le rapport
AB
;
BC
AC
• le sinus de l’angle d
B , noté sin d
B le rapport BC ;
AC
• la tangente de l’angle d
B notée tan d
B , le rapport AB
remarque 1:
sin d
B =
cos d
B =
longueur du côté adjacent à d
B
longueur de l’hypoténuse
longueur du côté opposé à d
B
longueur de l’hypoténuse
tan d
B =
longueur du côté opposé à d
B
B
longueur du côté adjacent à d
remarque 2: Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont compris entre 0 et 1.
La tangente d’un angle aigu est un nombre positif.
II.
Deux formules fondamentales
cos 2 x + sin 2 x = 1
sin x
cos x
sin x AC BC
démonstration :
=
×
cos
BC AB
sin x AC
=
cos
AB
sin x
= tan x .
cos
tan x =
démonstration : cos 2 x + sin 2 x = (
AB 2
AC 2
) +(
)
BC
BC
AB2 AC2
+
BC2 BC2
2
AB + AC2
cos 2 x + sin 2 x =
,
BC2
par le théorème de Pythagore, AB2 + AC2 = BC2
donc cos 2 x + sin 2 x = 1
cos 2 x + sin 2 x =
remarque 1:
Application au quart de cercle de rayon 1 :
Dans un repère orthonormé (O, I, J), un point M du premier quart de cercle de centre O de rayon 1 a pour coordonnées:
PON.
M (cos x, sin x ) où x est une mesure de l’angle a
démonstration:
M a pour coordonnées (OP; OR) dans ce repère.
OP
OP
cos x =
Donc cos x =
OM
1
MP
OR
OR = MP, donc sin x =
sin x =
OM
1
De plus: tan x =
IN
OI
donc tan x =
IN
1
cos x = OP
1 J
M
N
sin x
sin x = OR
tan x = IN
Quelques valeurs trigonométriques à connaître:
R
O
P
cos x
I
1
III. Et dans les exercices
Voici quelques petits trucs pour faire plus facilement les exercices
1) On cherche à connaître un angle.
Enoncé de l'exercice:
ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 13 cm
et AC = 8 cm.
Déterminer une valeur arrondie au degré de a
ABC .
Procédure:
1) On vérifie que cet angle est un angle de triangle rectangle:
on écrit:
"Le
Le triangle ABC est rectangle en A".
2) On regarde si on connaît :
• l'hypoténuse et le côté adjacent de l'angle On va utiliser le cosinus de l'angle.
• l'hypoténuse et le côté opposé à cet angle On va utiliser le sinus de l'angle.
• le côté opposé et le côté adjacent à l'angle On va utiliser la tangente de l'angle.
3) On écrit la formule qui nous intéresse: ici, on connaît le côté opposé et le côté adjacent à l'angle. On
va donc utiliser la tangente de l'angle.
AC
On écrit:
"tan a
ABC =
"
AB
8
ABC = "
"tan a
13
5) On a maintenant besoin de la calculatrice pour trouver une valeur approchée de l'angle:
Sur la plupart des calculatrices récentes, on tape la procédure suivante:
sur Casio fx-92 CollègeII:
I0G JOWXZKa
écriture à l'écran:
tan-1 ( 8 ÷ 1 3 )
Sur Texas Instruments TI Collège
écriture à l'écran:
&` M @ F H:D
tan-1( 8 ÷ 1 3 )
La calculatrice va écrire le résultat suivant: 31.60750225
C'est une valeur arrondie de l'angle.
"a
ABC % 32 °".
On va donc noter sur la copie:
Au bilan, voilà ce qui apparaît sur la copie:
Le triangle ABC est rectangle en A.
donc tan a
ABC =
AC
AB
tan a
ABC =
8
13
donc a
ABC % 32 °
2) On cherche une longueur.
Enoncé de l'exercice:
On considère un triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 5 cm et a
ACB
= 40 °.
Déterminer une valeur arrondie au dixième de BC.
Procédure:
1) On vérifie que cet angle est un angle de triangle rectangle:
on écrit:
"Le
Le triangle ABC est
est rectangle en A".
2) On regarde si on connaît :
• l'hypoténuse et le côté adjacent de l'angle On va utiliser le cosinus de l'angle.
• l'hypoténuse et le côté opposé à cet angle On va utiliser le sinus de l'angle.
• le côté opposé et le côté adjacent à l'angle On va utiliser la tangente de l'angle.
3) On écrit la formule qui nous intéresse: ici, on connaît l'hypoténuse et le côté à l'angle. On va donc
utiliser le sinus de l'angle.
AB
ACB =
"
On écrit:
" sin a
BC
Ce qui nous intéresse, c'est de déterminer la longueur BC. Faut-il multiplier ? diviser ?
Pour être sûr de ne pas se tromper, on va transformer cette écrire pour faire apparaître un produit en
croix.
on écrit:
"
sin a
ACB AB
=
"
1
BC
La division par 1 ne change pas la valeur du premier membre.
Ici, on obtient donc
on écrit:
"BC =
AB × 1
"
a
sin ACB
5×1
"
"BC =
sin 40
La calculatrice donne sur son écran: 7.778619134
On écrit:
Au bilan, voilà ce qui apparaît sur la copie:
"BC % 7,8 cm"
Le triangle ABC est rectangle en A.
sin a
ACB =
AB
BC
soit
BC =
BC =
AB × 1
sin a
ACB
5×1
cm
sin 40
BC % 7,8 cm
sin a
ACB AB
=
1
BC
Il est évident que pour faire ces exercices, il faut connaître par cœur les relations:
remarque 1:
cos d
B =
B
longueur du côté adjacent à d
longueur de l’hypoténuse
sin d
B =
B
longueur du côté opposé à d
longueur de l’hypoténuse
tan d
B =
IV.
B
longueur du côté opposé à d
longueur du côté adjacent à d
B
Quelques valeurs remarquables à connaître
mesure de
l'angle en
degrés
30
45
60
cosinus
3
2
1
2
sinus
1
2
2
1
ou
2
2
2
1
ou
2
2
tangente
3
1
ou
3
3
1
3
2
3