Chapitre 5 : Trigonométrie. I- 0° mes Longueur de l’arc IM 30° 45° 60° 90° Cercle trigonométrique. A) Placer E tel que l’arc AE = Longueur d’un arc Placer F tel que AF = B) mes Longueur de l’arc IM 360° 90° 180° Β° ; 3 6 Cercle trigonométrique. Si on enroule la droite (I ; j ) sur le cercle, le point d’abscisse x vient s’appliquer sur un unique point M(x) du cercle. l A chaque réel x correspond un unique point du cercle. Placer B tel que mes = 270° Placer D tel que l’arc I D = 5 4 Placer C tel que l’arc I C = 4 x M(x) 2 3 2 4 2 4 3 4 C ) Mesure d’angle en radian. x 0 2π 3π 5π 7π π + 52×(2 π) Définition : Soit M un point du cercle trigonométrique et x son abscisse curviligne. Mesure en radian de l’angle orienté ( : mes( =x 7 4 Propriété : Les mesures en degrés et en radians, d’un angle géométrique, sont proportionnelles. M(x) x + 27×2 π 4 - 2 -π - 3 4 15 2 M(x) Définition : Le cercle C ainsi gradué est un cercle trigonométrique. est l’abscisse curviligne de J. … 2 Remarque : Si x est une abscisse curviligne de M alors tout réel de la forme x + … avec k ∈ ℤ est une abscisse curviligne de M. II - Angle orienté de deux vecteurs non nuls A ) Définition. Soit C un cercle trigonométrique d’origine I. Définition : Soit les points M et N d’abscisses curvilignes xm et xn. (OM ; ON ) est un angle orienté de vecteurs. Définition : Soit et deux vecteurs non nuls. L’angle orienté des vecteurs et est celui des vecteurs unitaires où M et N sont des points du cercle trigonométrique tel que et i.e. ( ; ) = mes (OM ; ON ) = xn – xm. Exercice : Donner les mesures d’angles en radians. Remarque : si α est une mesure de ( u ; v ), alors mes (OI ; OE ) = mes (OE; OJ ) = mes (OH ; OJ ) = α + k2π (k ∈ ℤ) est aussi une mesure de ( u ; v ) On écrira ( u ; v ) = α + k2π (k ∈ ℤ) ou bien ( u ; v ) = α (2π) "modulo" Définition : On appelle mesure principale d’un angle orienté de vecteurs non nuls, la mesure en radians de cet angle qui appartient à ] – π ; π ] mes (OJ ; OE ) = Exemple : ( u ; v ) = La mesure principale de ( u ; v ) est Car ( u ; v ) = ………..= Remarque : (OM ; ON ) désignera soit l’angle soit sa mesure. B) Propriétés des angles orientés. Exemple 2 : ABC est une triangle équilatéral. Angle nul : ( ; ) = 0 (2π) Angle plat : ( ; Compléter par les mesures : ; )=π )=( Propriétés : k est un réel positif; (2π) , ( ; )=( ; )+( ; ( ; k ) = ( ; ) = (k ; ) et ; )= ( ; )= sont trois vecteurs non nuls. (2π) ) ( (relation de Chasles) (2π) ( Conséquences : ( ; )=-( ; (- ; (2π) ) )=( ;- )=( ; ) +π (2π) Démonstration : (à compléter) ( ; )+ ( ; ) = …… = ….. (- ; ; )+ ( ; )=( ( 2π) d’où ) = ….. + ……. Exemple 1 : ABCD est une rectangle Déterminer ( ; ) (2π) )=( ; )+π= +π= III - FONCTIONS CIRCULAIRES (sinus et cosinus) C) A ) Définition : Soit M un point du cercle trigonométrique tel que x soit une mesure en radian de l’angle orienté ( OI, OM ). Alors : cos(x) est l’abscisse de M dans le repère (O, OI, OJ ) Propriétés a) pour tout x réel , ≤ cos(x) ≤ ; ≤ sin(x) ≤ b) pour tout x réel [cos(x)] 2 + [sin(x)] 2 = que l’on écrit : cos² x + sin² x = sin(x) est l’ordonnée de M dans le repère (O, OI, OJ ) Application au tableau de valeurs suivant : x M(x) 0 4 6 sin x cos x ) = sin ( ) 4 4 En utilisant la propriété b), trouver la valeur de a. * Posons a le réel tel que a = cos ( Remarque : tan x = sin x pour x ≠ +kπ cos x 2 * M1 est le point d’abscisse curviligne B) Tableau de valeurs Que dire du triangle OIM1 ? H est le projeté orthogonal de M1 sur (OI). Que dire de H ? En déduire cos( ). Compléter : x M(x) cos(x) sin(x) 0 π -2 π 2 2 3 2 . 3 2527 π 3 En utilisant la propriété b), trouver sin( ). 3 3 2 D) Etude des fonctions cosinus, sinus et tangente. (hors programme) 1) Périodicité : Soit x un réel quelconque. Sur le cercle trigonométrique, M(x) est le point d’abscisse curviligne x. Placer le point M(x + 2π) d’abscisse curviligne x + 2π. On a : cos (x + 2π) = On peut donc étudier les fonctions sinus et cosinus sur l’intervalle ]- π ; π] 2) Parité Placer le point M(-x) d’abscisse curviligne –x A l’aide du dessin, compléter : Pour tout x réel, cos(-x) = sin(-x) = Pour tout x réel, La fonction cos est une fonction est une fonction La fonction sin On peut donc se contenter d’étudier ces fonctions sur l’intervalle ……. On admettra que : La fonction cosinus est dérivable sur ℝ et sa dérivée est la fonction sinus Tableau de dérivée : Fonction f sin ; sin (x +2π) = Remarque :Les fonctions cosinus et sinus sont 2π-périodique sur ℝ. Pour tout x réel, cos (x + 2π) = ; sin (x +2π) = 3) Variations. La fonction sinus est dérivable sur ℝ et sa dérivée est la fonction cosinus cos tan x ↦ sin(ax + b) x ↦cos(ax + b) Fonction dérivée f’ Définie sur ℝ