TD : Primitives, méthodes d`intégration

IUT GMP
Année 2014/2015
TD : Primitives, méthodes d’intégration
Exercice 1. Calculer les intégrales suivantes, puis vérifier géométriquement le résultat :
Z 3
Z 1
Z 2
3
|x − 2|dx
(1 − |x|)dx,
et K =
x dx,
J=
I=
−1
−2
0
Exercice 2. Déterminer les primitives des fonctions suivantes :
x3 + 5x2 − 4x − 1
x2
2
x3
e2x+6
5x2 e2x
√
(4x + 3)5
3 +1
x
3x
(1 + 3 ln(x))3
x
cos(x)
2 + sin(x)
sin3 (x) cos(x)
Exercice 3. Calculer les intégrales suivantes :
Z 3
Z 1
Z π
4
1 2
Arctan(x)
√
x+
tan(x)dx,
dx
dx,
1 + x2
x
0
1
0
p
x2 + 1
Z
e
et
1
1
dx
x(1 + ln(x))
Exercice 4. Calculer, à l’aide d’un changement de variable, les intégrales suivantes :
Z 1
I=
(x + 1)5 (x + 2)dx
en posant t = x + 1
0
4
Z
J=
1
1
Z
K=
0
dx
√
√
( x + 1) x
dx
(1 + x2 )2
en posant t =
√
x
en posant x = tan(t)
Exercice 5. Soit C0 et C1 les cercles de rayon 1 et de centres respectifs (0, 0) et (1, 0).
1. Déterminer les équations cartésiennes de C0 et C1 .
2. Déterminer les coordonnées des points d’intersection des deux cercles.
3. Calculer l’aire de la surface délimitée par l’intersection des deux disques.
Exercice 6. Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, les intégrales suivantes :
Z 1
Z π
Z π
2
4
x
x cos(x)dx, K =
Arctan(x)dx et L =
dx
I=
2
0
0
0 cos (x)
Exercice 7. Déterminer les primitives suivantes :
Z
Z
Z
ln(x)
2
√ dx
I = ln(x)dx,
J = (ln(x)) dx,
K=
x
Z
Exercice 8. Calculer :
0
1
e−
√
x
dx.
Z
et
L=
x
ex+e dx
TD : Intégration des fractions rationnelles et
trigonométriques
Exercice 9. Déterminer A et B dans les égalités suivantes :
6x
A
B
=
+
(x − 2)(x + 1)
x−2 x+1
et
x2
6x
A
B
=
+
− 2x − 3
x−3 x+1
Exercice 10. Déterminer A, B et C dans l’égalité suivante :
A
Bx + C
x2 + 5x − 4
=
+ 2
.
(x − 2)(x2 + 1)
x−2
x +1
Exercice 11. Déterminer A, B, C et D dans l’égalité suivante :
Cx + D
2x3 + x2 − 1
A
B
+ 2
=
+
(x + 1)2 (x2 + 1)
x + 1 (x + 1)2
x +1
Z
Calculer alors
2x3 + x2 − 1
dx.
(x + 1)2 (x2 + 1)
Exercice 12. Décomposer en éléments simples la fraction
x2 + 1
.
x3 + 4x2 + 4x
Exercice 13. Linéariser sin2 (x), cos4 (x) et sin(2x) cos2 (3x) à l’aide des formules d’Euler et du
triangle de Pascal, puis calculer :
Z
I=
π
2
Z
2
sin (x)dx,
J=
4
cos (x)dx
Z
et
K=
sin(2x) cos2 (3x)dx
0
TD : Intégrales généralisées
Exercice 14. Les intégrales suivantes sont-elles convergentes ?
Z +∞
Z +∞
Z +∞
1
1
ln(x)
I=
dx, J =
dx et K =
dx.
2
1+x
1+x
x
0
0
1
Exercice 15. Calculer les intégrales suivantes :
Z +∞
Z +∞
2ex
5x + 3
I=
dx,
J
=
dx
(x + 1)2 (x − 1)
1 + e2x
2
0
Z
et
K=
2
+∞
dx
.
x ln2 (x)
Exercice 16. Soit p un réel strictement positif. Calculer les 2 intégrales suivantes :
Z +∞
Z +∞
−px
F (p) =
cos(x)e dx
et G(p) =
sin(x)e−px dx.
0
Z
Exercice 17. Calculer
1
+∞
0
√
1
dx en posant u = 1 + x2 .
2
x 1+x
√
TD : Équations différentielles
Exercice 18. Intégrer les équations différentielles suivantes :
y 0 = y,
y − 2xy 0 = 1,
xy 0 + (1 + x)y = 0,
y 0 − y 2 = 1,
yy 0 +
1
= 1,
x2
et
y 0 ey − 2x = 3.
dN
= −λN où t est
dt
le temps compté en jours, t 7−→ N (t) le nombre d’atomes du corps radioactif à l’instant t et λ la
constante radioactive de ce corps.
Exercice 19. La destruction d’un corps radioactif se traduit par la formule :
1. Soit N0 le nombre d’atomes du corps à l’instant t = 0. Calculer N en fonction de N0 , t et λ.
2. On appelle période ou demi-vie de ce corps radioactif le temps T au bout duquel le nombre
d’atomes de ce corps a diminué de moitié. Calculer T en fonction de λ.
Application : Calculer la constante radioactive du radium sachant que sa période est de 11,7 jours.
Exercice 20. Intégrer les équations différentielles suivantes :
y0 + y =
e−x
x
(1 + x2 )y 0 − y = 2xeArctan(x)
xy 0 − 2y = x3
(x + 1)y 0 + 2y = 4x2
Exercice 21. Soit un circuit électrique série de résistance R et d’inductance L. On applique aux
bornes du circuit une force électromotrice E constante.
1. Ecrire l’équation différentielle satisfaite par l’intensité i(t).
2. On ferme le circuit à l’instant t = 0. Déterminer i(t) en fonction de E, R, L et t.
Exercice 22. Un parachutiste tombe à une vitesse de 52ms−1 au moment où s’ouvre son parachute.
On fixe l’origine des temps à ce moment-là, et on note t 7−→ v(t) sa vitesse à l’instant t ≥ 0. On a
donc v(0) = 52ms−1 .
mg 2
On admet que la résistance de l’air est donnée par R =
v où m désigne la masse du parachutiste
16
et g = 9, 81ms−2 .
1. Démontrer que la vitesse v est solution de l’équation différentielle :
v2
0
v =g 1−
16
2. Résoudre cette équation différentielle et en déduire l’expression de v.
3. Déterminer la limite de v(t) lorsque t tend vers +∞.
Exercice 23. Intégrer les équations différentielles suivantes :
y 00 = 4y
y 00 − 2y 0 − 3y = 3x2 + 1
y 00 − 2y = x2 + 1
y 00 + y 0 − 2y = 6ex
y 00 + 9y = 5e−x
y 00 + 2y 0 + y = x2 + 1
y 00 − 2y 0 + y = ex + 5
y 00 + 4y = sin(2x)
Exercice 24. L’équation différentielle y 00 + y = x2 + 2 admet-elle une solution y telle que :
i) y(0) = 1 et y 0 (0) = 0 ?
π ii) y(0) = 1 et y 0
= 0?
π2
iii) y(0) = 1 et y
= 0?
2
iv) y(0) = 1 et y (π) = 0 ?
TD : Formulaire (à connaître !)
I
Dérivées usuelles
Ici u désigne une fonction dérivable et α est un réel.
f (x)
f 0 (x)
f (x)
f 0 (x)
xα
α xα−1
(u(x))α
α u0 (x) (u(x))α−1
ln(x)
1
x
ln(u(x))
u0 (x)
u(x)
ex
ex
eu(x)
u0 (x) eu(x)
sin(x)
cos(x)
sin(u(x))
u0 (x) cos(u(x))
cos(x)
− sin(x)
cos(u(x))
−u0 (x) sin(u(x))
tan(x) 1 + (tan(x))2 =
II
1
(cos(x))2
tan(u(x)) u0 (x) (1 + (tan(u(x))2 ) =
u0 (x)
(cos(u(x))2
Primitives usuelles (à une constante près)
Ici u désigne une fonction dérivable et α est un réel différent de −1.
f (x)
F (x)
xα
xα+1
α+1
F (x)
u0 (x) (u(x))α
(u(x))α+1
α+1
ln |u(x)|
1
x
ln |x|
u0 (x)
u(x)
ex
ex
u0 (x) eu(x)
eu(x)
cos(x)
sin(x)
u0 (x) cos(u(x))
sin(u(x))
sin(x)
− cos(x)
u0 (x) sin(u(x)) − cos(u(x))
1
1 + x2
tan(x) − ln | cos(x)|
III
f (x)
Arctan(x)
Trigonométrie
t
0
sin(t)
0
cos(t)
tan(t) =
sin(t)
cos(t)
1
0
π
6
1
2
√
3
2
1
√
3
π
4
√
2
2
√
2
2
1
π
3
√
3
2
1
2
√
3
π
2
Formule fondamentale :
1
Formules d’angle double :
(cos(t))2 + (sin(t))2 = 1
sin(2t) = 2 sin(t) cos(t)
0
et
cos(2t) = (cos(t))2 − (sin(t))2
∞
= 2 (cos(t))2 − 1
= 1 − 2 (sin(t))2