Notes de cours - Mathématiques

Lycée Roland Garros
BCPST 1ère année
Mathématiques
2013 - 2014
Chapitre n
1
o
3 : Trigonométrie
Premières propriétés de
cos, sin
et
tan
→
− →
−
Dénition 1. Soit x ∈ R. Dans un plan muni d'un repère orthonormé (O, i , j ),
→
− −−→
on note M le point tel que OM = 1 et ( i , OM ) = x [2π]. On dénit
cos x comme l'abscisse du point M ,
sin x comme l'ordonnée du point M .
On dénit en outre
sin x
, pour x 6= π/2[π] ;
tan x = cos
x
x
cotanx = cos
, pour x 6= 0[π].
sin x
les fonctions tan et cotan ne sont pas dénies sur R entier, ce à
cause des divisions par zéro. Comme on le voit sur la gure ci-dessus, tan x a
aussi une interprétation graphique sur le cercle trigonométrique.
Remarque.
Proposition 1.
Pour x ∈ R, on a
cos2 x + sin2 x = 1 .
Remarque.
On en déduit la formule suivante, parfois utile :
1 + tan2 x =
1
1
.
cos2 x
Les propriétés suivantes découlent de simples considérations sur les symétries
et les rotations.
Proposition 2.
Les fonctions cos et sin sont 2π -périodiques :
∀x ∈ R,
cos(x + 2π) = cos x,
sin(x + 2π) = sin x;
cos est une fonction paire et sin est une fonction impaire :
∀x ∈ R,
∀x ∈ R,
∀x ∈ R,
cos(−x) = cos x,
cos(x + π) = − cos x,
sin(x + π/2) = cos x,
sin(−x) = − sin x;
sin(x + π) = − sin x ;
cos(x + π/2) = − sin x.
La proposition suivante est fondamentale pour résoudre des équations trigonométriques.
Proposition 3.
On a
(
cos x = 0 ⇔ x = π/2 [π] ⇔ x = π/2 ou − π/2
sin x = 0 ⇔ x = 0 [π]
⇔ x = 0 ou π [2π]
[2π]
Les valeurs suivantes sont à connaître par c÷ur. Ce tableau ne concerne a
priori que les angles du quart supérieur droit du plan, mais pour les trois
autres quarts on s'en sortira en tirant prot de la proposition 2.
x
cos x
sin x
0 √π/6
1
0
√π/4
√2/2
2/2
3/2
1/2
π/3
√1/2
3/2
1
0
1
Démonstration. utiliser la formule de cos(2x) avec x = π/4 et cos(3x) avec
x = π/6.
Moyen mnémotechnique
p
p : ces
p va-
leurs
p sontpen fait 0/4, 1/4, 2/4,
3/4 et 4/4. En cas de trou de mémoire, refaites le dessin suivant :
Pour tan, il sut de connaitre tan 0 = 0 et tan(π/4) = 1.
2
2
cosinus et sinus d'une somme
Proposition 4.
Soient a, b ∈ R. On a
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b , et sin(a + b) = cos a sin b + sin a cos b .
Démonstration. En admettant l'identité ei(a+b) = eia eib , on a donc
cos(a + b) = Re((cos a + i sin a)(cos b + i sin b)) = cos a cos b − sin a sin b
et de même
sin(a + b) = Im((cos a + i sin a)(cos b + i sin b)) = cos a sin b + cos a sin b
Cas particulier a = b : formules de duplication d'un angle. On a
cos(2a) = cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a ,
sin(2a) = 2 cos a sin a .
Remarque.
lement
En utilisant la parité de cos et l'imparité de sin on obtient éga-
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b,
3
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b.
Fonctions trigonométriques inverses : résolution d'équations
Dénition 2.
Soit c ∈ [−1, 1]. L'équation cos x = c admet une unique équation dans
l'intervalle [0, π] notée arccos c.
Soit s ∈ [−1, 1]. L'équation sin x = s admet une unique équation dans
l'intervalle [−π/2, π/2] notée arcsin s.
Soit t ∈ R. L'équation tan x = t admet une unique équation dans l'intervalle ] − π/2, π/2[ notée arctan t.
Solutions sur R entier :
• Solutions de cos x = c :
x = arccos c [2π] ou x = − arccos c [2π]
• Solutions de sin x = s :
x = arcsin s [2π] ou x = π − arcsin s [2π]
• Solutions de tan x = t :
x = arctan t [π]
3
4
Amplitude et phase
Supposons qu'on ait une expression de la forme f (x) = α cos(x) + β sin(x),
avec α, β ∈ R. On souhaite trouver des constantes ρ et φ telles que
∀x ∈ R, f (x) = ρ cos(x − φ),
(1)
où ρ et φ sont des constantes à déterminer.
Proposition 5.
et seulement si
Soient α, β ∈ R. On a α cos(x) + β sin(x) = ρ cos(x − φ) si
et
φ = Arg(α + iβ) [2π] .
p
Démonstration. En posant ρ = α2 + β 2 on a :
β
α
cos x + sin x
α cos(x) + β sin(x) = ρ
ρ
ρ
ρ = |α + iβ| ,
Les égalités cos φ = α/ρ et sin φ = β/ρ caractérisent φ = Arg(α + iβ).
En physique on a fréquemment aaire à des signaux (électriques
par exemple) de la forme α cos θ + β sin θ. On préfère l'expression ρ cos(θ − φ)
car elle est plus maniable. On appelle alors ρ l'amplitude du signal et ρ son
déphasage ou sa phase.
Remarque.
Application. Résolution d'équation.
Résoudre
√
√
3 cos x + 3 sin x = − 6
5
Linéarisation
Le but est de transformer une expression de la forme cosp θ sinq θ en une
combinaison linéaire de termes cos(kθ) et sin(kθ). C'est intéressant pour le
calcul d'intégrales par exemple. La méthode consiste à
iθ
−iθ
iθ
−iθ
1. remplacer cos θ par e +e2 et sin θ par e −e
(formule d'Euler) ;
2i
2. Développer le produit obtenu ;
3. Identier les termes de la forme cos(kθ) et sin(kθ) (encore par la formule
d'Euler).
Exemple.
2
sin θ cos θ =
eiθ − e−iθ
2i
eiθ + e−iθ
2
2
···
1 i3θ
e + eiθ − e−iθ − e−i3θ
8i
1
= (2i sin(3θ) + 2i sin(θ))
8i
sin(3θ) + sin(θ)
=
4
=
4
Application. Calcul d'intégrale.
Z
Calculer
π/2
I=
sin2 t cos3 tdt.
0
(résultat : I =
6
2
)
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Développement de
cos(nθ)
ou
sin(nθ)
Voyons comment transformer une expression de la forme cos(nθ) en une
combinaison linéaire de termes cosp θ sinq θ. La méthode consiste à
1. utiliser la formule de De Moivre : (eiθ )n = einθ ;
2. Développer (eiθ )n = (cos θ + i sin θ)n ;
3. Garder la partie réelle : cos(nθ) = Re(einθ ). De même sin(nθ) = Im(einθ ).
cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ)n ). Il sut donc de développer cette puissance et
d'identier la partie réelle.
Exemple.
cos(3θ) = Re (cos θ + i sin θ)3
= Re cos3 θ + 3i cos2 θ sin θ − 3 cos θ sin2 θ − i sin3 θ
= cos3 θ − 3 cos θ sin2 θ.
Application. Calcul de valeurs de
cos. La formule de cos(3θ) donne
une relation entre cos θ et cos(3θ). Elle permet par exemple de calculer une
valeur du type cos(π/18) à partir de cos(π/6), ou l'inverse.
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