FONCTIONS COSINUS ET SINUS I – Quelques rappels de trigonométrie source : http://www.academie-en-ligne.fr/Ressources/7/MA02/AL7MA02TEPA0113-Sequence-02.pdf 1- Le cercle trigonométrique 2 – Des formules à savoir retrouver graphiquement : 3 – Savoir que ces formules existent… et penser à les utiliser b) Réduction de l'ensemble d'étude de ces fonctions II – Les fonctions trigonométriques - pour tout réel x, Un exemple de problème : Sur un cercle de centre O, on considère deux points A et B tels que le triangle OAB soit rectangle en O. M est un point de l’arc AB et le point N est le symétrique du point M par rapport à la droite (OB). On cherche le point M pour lequel l'aire du triangle OMN est maximale. cos ( x+2 π)=cos( x ) et sin(x +2 π)=sin ( x) on dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques, de période 2. Conséquence graphique : il suffit de construire la courbe représentative de chacune de ces fonctions sur une période, les courbes complètes pourront alors êtres obtenues par translations. Illustration - pour tout réel x, cos(−x )=cos( x) on dit que la fonction cosinus est paire conséquence graphique : la courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. - pour tout réel x, sin(−x)=−sin (x) on dit que la fonction sinus est impaire conséquence graphique : la courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine du repère. Il résulte des propriétés précédentes, que la connaissance des représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus sur IR permet d'obtenir leurs représentations 1 – Les fonctions cosinus et sinus graphiques sur R. (O, I, J) est un repère orthonormé direct du plan. A tout réel x, on associe son point image M sur le cercle trigonométrique. Si x appartient à [0;], x est la mesure en radians de l'angle ^ IOM . 2 – Etude des fonctions cosinus et sinus sur l'intervalle [0 ; 2] a) Sens de variation : De l'observation du cercle trigonométrique on déduit les variations suivants : a) Définitions : La fonction cosinus (resp. sinus) est la fonction x définie sur R qui à un nombre réel x associe l'abscisse (resp. ordonnée) du point M. 0 π 2 1 cos( x) 0 exemples : –1 - le point image sur le cercle trigonométrique du nombre réel -6 est le point I, on en déduit que cos(−6×π)=x I =1 et sin(−6×π)= y I =0 - le point image sur le cercle trigonométrique du nombre réel 2015 /2 est le point J', on en déduit que π cos (2015× π )=x J '=0 et sin(2015× π )= y J '=−1 2 2 x 0 π 2 π 1 sin ( x) 0 0 b) Représentations graphiques sur [0 ;] : 3 – Dérivées des fonctions Cosinus et Sinus (admis) Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur R et pour tout nombre réel x, cos ' (x)=−sin( x ) sin ' ( x )=cos (x) Conséquence : a) Tangente à la courbe représentative de la fonction sinus au point O b) Des limites à connaître : lim sin( x ) =1 x lim cos(x )−1 =0 x x →0 x →0 Retour sur le problème : si on note P le milieu de [MN] alors 1 Aire = ×MN ×OP=MP×OP 2 π soit x=^ AOM , on a 0≤x ≤ 2 avec MP=cos( x ) et OP=sin(x ) donc Aire=cos (x)×sin ( x) si on pose a(x )=cos (x)×sin( x) ...