Exercices : 23 - Dipôles magnétiques

1 – Exercices : 23 - Dipôles magnétiques
Sciences Physiques MP 2016-2017
Exercices : 23 - Dipôles magnétiques
A. Moments magnétiques
1. Disque chargé en surface
Soit un disque isolant d’axe Oz et de rayon a qui porte une charge superficielle σ uniforme sur l’ensemble de
la surface. Ce disque est mis en rotation uniforme à la vitesse angulaire ω autour de l’axe Oz. Déterminer
l’expression du moment magnétique et l’expression du champ magnétique créé loin de la sphère en utilisant
l’expression du cours donnant le champ magnétique d’un dipôle.
2. Sphère chargée en volume
Soit une sphère d’axe Oz et de rayon a qui porte une charge volumique ρ uniformément répartie. Cette sphère
est mise en rotation uniforme à la vitesse angulaire ω autour de l’axe Oz. Déterminer l’expression du moment
magnétique et l’expression du champ magnétique créé loin de la sphère en utilisant l’expression du cours donnant
le champ magnétique d’un dipôle.
Réponses : m
~ =
4πρωa5
~ez ,
5
~ =
B
µ0 ρωa5
er
5 r 3 (2 cos θ~
+ sin θ~eθ ).
B. Dipôle passif
3. Force exercée sur une spire
Un fil rectiligne infini, parcouru par un courant I, est disposé dans le vide dans le
même plan qu’un rectangle de fil parcouru par un courant i. Les côtés du rectangle
parallèles au fil sont de longueur a et placés aux distances D et D + b du fil ; les
deux autres côtés du rectangle sont de longueur b. On supposera D ≫ b. Voir la
figure ci-contre.
I
Déterminer la force de Laplace exercée par le fil sur la spire en considérant cette
dernière comme un dipôle passif.
b
a
i
D
4. Cadre plongé dans un champ magnétique
Un cadre rectangulaire ABCD indéformable peut pivoter autour d’un axe médian M N . La surface du cadre
est S. Il est parcouru par un courant I dans le sens ABCD. Il est placé dans un champ magnétique uniforme
~ 0 placé dans un plan horizontal perpendiculaire à M N . On note J le moment d’inertie du cadre par rapport
B
à l’axe M N . Voir la figure 1. On donne AB = a et BC = b. La normale au cadre est représentée en pointillés.
M
D
A
b
I
θ
normale
C
B
N
~0
B
Figure 1 – Cadre
1. Déterminer l’équation différentielle du mouvement du cadre.
2. Quelles sont les positions d’équilibre ?
3. À quels endroits peut-on observer des oscillations de petites amplitudes dont on calculera la période ?
q
J
Réponses : J θ̈ + IabB0 sin θ = 0, θ = 0 stable, θ = π instable, autour de θ = 0 avec T = 2π IabB
.
0
C. Dipôle actif
5. Comparaison de deux modèles
Soit une spire circulaire de centre O et de rayon R parcourue par un courant I. Soient A et A′ deux points de
~ le champ créé par la spire. Voir la figure 2.
l’axe de la spire tels que OA = OA′ = a. Soit B
−−→
~ le long de AA′ .
1. Déterminer la circulation de B
~ le
2. En utilisant le théorème d’Ampère (le long du circuit fermé AA′ + C), en déduire la circulation de B
long du circuit C, demi-cercle de centre O et de rayon a.
JR Seigne
Clemenceau
Nantes
Sciences Physiques MP 2016-2017
Exercices : 23 - Dipôles magnétiques – 2
z
′
b
A
L
b
O
A
I C
b
Figure 2 – Spire et dipôle
~ de la spire, le champ créé par ce moment et la circulation de ce
3. Déterminer le moment magnétique M
champ le long de C. Comparer au résultat de la question précédente.
6. Oscillateur à deux dipôles
Deux dipôles magnétiques (cf. fig. 3) de même moment dipolaire m constant peuvent tourner librement autour
de deux axes parallèles, fixes, perpendiculaires à la droite AB qui les joint (AB = a).
m
~1
m
~2
b
b
α2
α1
a
Figure 3 – Oscillateur à deux dipôles
1. Établir l’expression de l’énergie potentielle d’interaction entre ces deux dipôles, en fonction des angles α1
µ0 m 2
et α2 faits par les deux moments dipolaires avec la droite AB. On posera W0 =
.
4π a3
2. Déterminer les états d’équilibre du système. Étudier leur stabilité.
3. On appelle J le moment d’inertie d’un de ces dipôles par rapport à son axe de rotation. Déterminer
la pulsation des petites oscillations autour de l’équilibre d’un dipôle lorsque l’orientation de l’autre est
bloquée.
~ 1 (A2 ) = µ0 m3 [2 cos α1~er + sin α1~eθ ], m
Réponses : B
~ 2 = m[cos α2~er − sin α2~eθ ], W = W0 [−2 cos α1 cos α2 +
4πa
∂W
∂W
sin α1 sin α2 ] ; ∂α
=
0,
=
0,
2
cos
α
sin
α
=
−
cos
α1 sin α2 , 2 cos α1 sin α2 = − cos α2 sin α1 , cos α1 sin α2 =
2
1
∂α2
1
0 et sin α1 cos α2 = 0, (0, 0) stable, (π, π) stable, ( π2 , − π2 ) stable, (0, π) instable, (π, 0) instable, ( π2 , π2 ) instable ;
q
0
J ǫ̈ + 2W0 ǫ = 0, ω0 = 2W
J autour de (0, 0).
JR Seigne
Clemenceau
Nantes