lois de probabilité à densité lois de probabilité à densité

Chapitre
14
L OIS
DE PROBABILITÉ À DENSITÉ
Le hasard c'est Dieu qui se
promène incognito.
Albert Einstein
Dans les situations étudiées jusqu'à présent, à une expérience aléatoire, on associait un univers
ni muni d'une loi de probabilité P . Toute variable aléatoire ne prenait alors qu'un nombre ni
de valeurs.
Cependant certaines expériences aléatoires conduisent à utiliser des variables aléatoires qui
prennent toutes les valeurs d'un intervalle I de R.
Dans ce cas dit continu, il n'est plus possible de dénir une loi de probabilité sur I en donnant
la probabilité de chaque élément de I sous forme de tableau car dans I , il y a une innité de
valeurs.
De plus les événements intéressants ne sont plus obtenir telle ou telle valeur mais obtenir une valeur comprise entre a et b .
Parmi les phénomènes continus nous trouvons : les temps d'attente, les durées de vie ...
1
L OIS À DENSITÉ DITES LOIS CONTINUES
Dans ce paragraphe I désigne un intervalle (borné ou non) de R.
Dénition 1 (Densité de probabilité).
On appelle densité de probabilité sur I toute
fonction f dénie sur I telle que
f est continue sur I (éventuellement par
morceaux).
fZ est positive sur I .
f (x) dx = 1
I
y
Z
f (x) dx = 1
I
Cf
1 u.a.
I
x
1
LYCÉE B LAISE PASCAL
S.D ELOBEL
M.L UITAUD
2
Chapitre 14. Lois de probabilité à densité
Lorsque I est non borné, par exemple I = 0 ; +∞ , alors :
Z
On ose alors, lorsque la limite existe et est nie, écrire
f (x) dx =
ZI
+∞
M
Z
lim
M →+∞ 0
f (x) dx
f (x) dx.
0
C'est une intégrale dite généralisée (notion abordée dans le supérieur).
Exercice 1
h
1. Soit f la fonction dénie sur 0 ;
2.
πi
par f (x) = cos x.
2
h
πi
Démontrer que f est une densité de probabilité sur 0 ;
.
2
1
Soit g la fonction dénie sur 1 ; +∞ par g(x) = 2 .
x
Démontrer que g est une densité de probabilité sur 1 ; +∞ .
Exercice 2
Soit f la fonction dénie sur 0 ; 1 par f (x) = ax(1 − x)2 .
Déterminer a pour que la fonction f est une densité de probabilité sur 0 ; 1 .
Dénition 2.
Soit f une densité de probabilité sur I .
Dire qu'une variable aléatoire X suit la loi
de densité f sur I signie qu'à tout intervalle J inclus dans I , on associe la probabilité :
Z
f (x) dx
P (X ∈ J) =
y
Z
P (X ∈ J) =
f (x) dx
J
Cf
1 u.a.
J
J
x
L'événement X ∈ J signie que X prend toutes les valeurs de l'intervalle J . Cette notation
est abusive mais elle prolonge la notation X = a déjà utilisé précédemment.
On utilisera également les notations a 6 X 6 b, X > a, X 6 b, etc. où a et b appartiennent à I .
La fonction densité f est positive surZ I donc pour tout J ⊂ I , on a P (X ∈ J) > 0 d'après
la positivité de l'intégrale. Comme
f (x) dx = 1, alors P (X ∈ J) 6 1.
I
Les probabilités seront donc toujours desZvaleurs comprises entre 0 et 1.
a
pour tout a ∈ I , on a P (X = a) = 0 car
f (x) dx = 0.
a
Exercice 3
1. Soit X la variable
aléatoire
qui suit la loi de probabilité de densité f dénie à l'exercice 1.
Calculer P
π
π
6X6
.
6
4
2. Soit Y la variable aléatoire qui suit la loi de probabilité de densité g dénie à l'exercice 1.
Calculer P (Y < 4) et P (Y > 10).
3
Cours de Terminale S
Dénition 3 (Espérance mathématique).
Soit X un variable aléatoire qui suit une loi de probabilité de densité f sur I .
L'espérance mathématique de X , notée E(X), est dénie par :
Z
E(x) =
xf (x) dx
I
Exercice 4
1. Soit F la fonction dénie sur R+ par F (x) = 1 − (1 + x) e−x .
Calculer la dérivée f de F .
2. a. Démontrer que f est une densité de probabilité.
b. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans R+ , de densité f .
Calculer P (1 ≤ X < 2).
3. a. Déterminer les réels, α, β et γ tels que la fonction G dénie par G(x) = αx2 + βx + γ e−x
soit une primitive de la fonction x 7→ xf (x).
b. En déduire l'espérance de X .
1
2
P REMIER EXEMPLE : LA LOI UNIFORME
Dénition 4.
Soient a et b deux réels tels que a < b.
On dit que la variable aléatoire
X suit la
loi uniforme sur l'intervalle
a ; b si elle
admet pour densité de probabilité la fonction f dénie par :
f (x) =
Notation
X∼U
a; b
y
1
b−a
1
b−a
a
b
x
Exercice 5
Vérier que la fonction f ainsi dénie est bien une densité de probabilité.
Exemple 1
Le temps d'attente à une station de métro suit une loi uniforme sur 0 ; 3 si un métro passe
toutes les trois minutes.
1. On aura besoin d'utiliser le résultat suivant, que l'on admet :
lim
M2
M →+∞ eM
= 0.
4
Chapitre 14. Lois de probabilité à densité
Il existe une innité de lois uniformes, la seule connaissance de l'intervalle permet de déterminer la densité associée à la loi uniforme.
Exercice 6
1. Déterminer les fonctions densités associées aux lois uniformes suivantes :
a.
b.
X∼U
1; 3
X∼U
−2 ; 5
c.
d.
X∼U
0; 2
X∼U
−2 ; 2
2. Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse.
Justier.
Questions
Réponses
V
F
V
F
1. Deux lois uniformes peuvent avoir des densités qui ont les mêmes
expressions.
2. On peut dénir une loi uniforme sur l'intervalle
0 ; +∞ .
Proposition 5.
Soient α et β deux réels de a ; b avec α < β.
longueur de α ; β
β−α
.
=
Alors P (α 6 X 6 β) =
b−a
longueur de a ; b
Preuve
À faire.
Exercice 7
Soit X une variable aléatoire de densité f , suivant la loi uniforme sur 2 ; 22 . Pour chacune des
armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse.
Justier.
Questions
1. Pour tout intervalle
Réponses
α ; β inclus dans 2 ; 22 , on a
α−β
P (α 6 X 6 β) =
.
20
V
F
2. P (X > 12) = P (X < 12)
3. La probabilité que l'événement 10 6 X 6 12 se réalise
sachant que l'événement 10 6 X 6 18 est réalisé est égale à 0,25.
V
F
V
F
5
Cours de Terminale S
Proposition 6.
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur a ; b avec a < b.
Alors l'espérance
mathématique
de X est E(X) =
a+b
.
2
Preuve
À faire.
Exercice 8
La durée de communication téléphonique entre Ophélie et Julien ne dépasse jamais 2 heures et
on suppose que sa
durée
exacte, en heures, est une variable aléatoire de densité f qui suit une
loi uniforme sur 0 ; 2 .
1. Ophélie appelle Julien au téléphone.
Déterminer la probabilité que la durée de communication soit :
a. au plus égale à 1 h 15 min.
b. au moins égale à 20 min.
c. comprise entre 45 min et 1 h 20 min.
2. Déterminer la durée moyenne d'une communication téléphonique entre Ophélie et Julien.
Exercice 9
Le temps d'attente à un guichet de gare,
en minutes, est une variable aléatoire X qui
exprimé
suit une loi uniforme sur un intervalle a ; b .
Déterminer a et b sachant que :
Le temps moyen d'attente est de 6 minutes.
60% des voyageurs ont un temps d'attente supérieur à 5 minutes.
3
D EUXIÈME EXEMPLE : LA LOI EXPONENTIELLE
Dénition 7.
On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi λ
exponentielle de paramètre λ > 0 si elle admet pour densité la fonction f dénie par :
y
f (x) = λe−λx
Notation
X ∼ E (λ)
Exercice 10
Vérier que la fonction f ainsi dénie est bien une densité de probabilité.
Exemple 2
La durée de vie d'un composant électronique est modélisée par une loi exponentielle.
x
6
Chapitre 14. Lois de probabilité à densité
Proposition 8.
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ > 0.
Alors, pour tous t et h positif, on a :
PX>t (X > t + h) = P (X > h)
On dit alors qu'une loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement.
Preuve
À faire.
Exercice 11
Les questions suivantes sont indépendantes.
1. La durée X (en heures) d'un match de tennis suit la loi exponentielle de paramètre 0,34.
Quelle est la probabilité que le match dure plus de 5 heures ?
2. Déterminer la valeur du paramètre
probabilité dénie par f vérie P
λ de la densité f : t 7→ λe−λt sachant que la loi de
e2 − 1
.
0; 4 =
2
e
Exercice 12
Soit X une variable aléatoire de densité f , suivant la loi exponentielle de paramètre λ.
Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse.
Justier.
Questions
1. Il existe un unique réel a tel que P (X > a) = P (X 6 a) et ce réel
est égal à
ln 2
.
ln λ
2. Si X vérie P (X > 5) =
1
1
alors PX>2 (X > 7) = .
4
4
Proposition 9.
X ∼ E (λ) où λ est un réel strictement positif.
Soient α et β deux réels positifs tels que α 6 β .
P (X 6 α) = 1 − e−λα
P (X > α) = e−λα
P (α 6 X 6 β) = e−λα − e−λβ
Preuve
À faire
Réponses
V
F
V
F
7
Cours de Terminale S
Exercice 13
D'après une étude statistique sur la durée d'attente, en minute, aux vingt caisses d'un hypermarché :
six caisses ont une durée d'attente qui suit une loi exponentielle de paramètre λ = 0, 05 ;
les autres caisses ont une durée d'attente qui suit la loi exponentielle de paramètre µ = 0, 1.
Un client choisit une caisse au hasard. On note T sa durée d'attente exprimée en minute.
1. On désigne par t un nombre positif. On se propose de déterminer P (T 6 t).
a. Représenter la situation par un arbre pondéré.
b. En déduire P (T 6 t).
2. Calculer à 10−3 près la probabilité que le client attende :
a. moins d'un quart d'heure ;
b. plus de 10 minutes ;
c. entre 5 et 20 minutes.
Proposition 10.
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ > 0.
1
Alors l'espérance mathématique de X est E(X) = .
λ
Preuve
Indication :
h
h
1. Soit M ∈ 0 ; +∞ .
Calculer, en fonction de M , l'intégrale
M
Z
λxe−λx dx en cherchant une primitive de g : x 7→ λxe−λx
0
2.
sous la forme d'une fonction polynôme-exponentielle G : x 7→ (ax + b)e−λx .
En déduire E(X).
La variance d'une variable aléatoire X est V (X) = E (X − E(X))2 .
Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ > 0 alors V (X) =
Exercice 14
1
(hors-programme).
λ2
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle d'espérance 1000.
Déterminer la densité de probabilité de X puis calculer P (X 6 5).