Cours et exercices

M. Molin - Lycée Marcelin Berthelot
BCPST 1A
Cours de Mathématiques
Année 2016-2017
L OGIQUE ET ENSEMBLES
“Les mathématiques sont un jeu qu’on exerce selon des règles simples en manipulant des symboles et des concepts qui
n’ont en soi, aucune importance particulière.”
D. Hilbert (1862-1943)
L’exercice des mathématiques nécessite l’usage d’une langue claire et non ambigüe. Cette langue sera d’abord le
français à laquelle nous ajouterons des termes et définitions strictement mathématiques.
Le premier prérequis pour faire des mathématiques est donc de savoir s’exprimer convenablement en français. Il vous
est demandé de manier votre langue avec aisance et sans fautes1 .
Traditionnellement les mathématiques prennent un “s” à la fin. C’est un nom que l’on utilise au pluriel pour désigner
l’ensemble des sciences mathématiques.
L’abréviation “maths” couramment admise prend aussi un “s”.
Certains auteurs, en particulier Bourbaki, utilisent le terme singulier la mathématique pour souligner l’unité de cette
science et la différencier des autres disciplines qui lui étaient autrefois apparentées (astronomie. . . ).
Bien que les deux usages soient acceptables, je vous conseille de préférer le pluriel dont vous êtes sûr qu’il sera
accepté par votre lecteur. Laissez le privilège du singulier à ceux qui ont suffisamment étudié la matière pour en
percevoir l’unité. Dans tous les cas, ne mélangez pas les deux usages.
En revanche, l’adjectif “mathématique” s’accorde en nombre avec le nom qu’il qualifie.
Ce chapitre est sans doute un des plus importants de toute l’année, et celui sur lequel vous ferez le plus de fautes tout
au long de votre prépa. Il constitue la base de tous vos raisonnements futurs.
Si tout n’est pas parfaitement clair tout de suite, ne vous inquiétez pas car nous retravaillerons ce chapitre toute l’année.
Tous les autres chapitres ne seront qu’une mise en application de ces principes sur des notions mathématiques particulières.
1
L OGIQUE MATHÉMATIQUE
Préambule historique
On situe l’origine de la logique à Aristote (IVème av. J.C.) et à son ouvrage l’Organon2 . Il y énonce le procédé de la
démonstration rigoureuse, basée sur le syllogisme.
La philosophie d’Aristote a une place prédominante pendant tout le Moyen-Âge. La scolastique vise ensuite à rapprocher la théologie chrétienne de la philosophie traditionnelle en s’appuyant sur les concepts et le langage formel introduits par Aristote. Ce rapprochement trouve son point d’orgue avec Saint Thomas d’Aquin (XIIIème ) dans la Somme
Théologique.
À partir de la Renaissance, la logique est utilisée pour construire un fondement rigoureux à la connaissance en s’appuyant
davantage sur l’expérience. On peut évoquer Descartes (1556-1650); Spinoza3 (1632-1677).
Au XIXème siècle, Boole invente l’algèbre de Boole qui permet le “calcul de vérité” et que nous utilisons dans les tables
de vérité.
En 1900, lors d’un congrès international de mathématiques, David Hilbert énonce 23 problèmes qui marqueront la
suite des mathématiques. Le deuxième concerne la cohérence de l’arithmétique. Ce problème ouvrit un vaste travail
dans la formalisation des mathématiques (Whitehead, Russel. . . ) et la définition d’un fondement axiomatique clair
(Peano, Zermelo. . . ).
A Fondements de la logique
Dans ce cours, une assertion désignera une phrase non paradoxale4 .
Le principe du tiers-exclu affirme qu’une assertion est soit vraie, soit fausse. Ainsi lorsque l’on montre qu’une assertion
ne peut pas être fausse, c’est qu’elle est vraie : c’est le raisonnement par l’absurde.
1 Fautes dont ces documents seront malheureusement loin d’être exempts, mais je compte sur vous pour me les signaler.
2 Le titre est donné postérieurement par Diogène Laërce. Il veut dire “outil” ou “instrument”.
3 Spinoza s’appuie sur le mode de connaissance déductif de Descartes et écrit son œuvre avec une logique très formelle, faite de définitions,
axiomes, propositions. . . comme un cours de mathématiques.
4 Pour ne pas mettre en défaut le principe du tiers-exclu qui est donné juste après, on évitera les énoncés du type “cette phrase est fausse”.
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« Il est absolument ou il n’est pas du tout. »
Parménide
Le principe de non contradiction affirme qu’une assertion ne peut être à la fois vraie et fausse.
« Être en repos et en mouvement, simultanément, sous le même rapport, est-ce que c’est possible
pour la même chose ? Nullement. »
Platon
Ces deux principes de bases fondent la logique mathématique telle que nous l’utilisons habituellement, cependant, ils
ne sont pas universellement acceptés :
Les intuitionnistes, refusent le principe du tiers-exclu. Rien ne permet d’affirmer selon eux qu’une assertion possède
nécessairement une valeur de vérité. Ainsi, ils nient l’idée selon laquelle une assertion pourrait être déclarée vraie parce
que ne pouvant pas être fausse. Partisans d’une approche constructiviste, ils refusent d’affirmer qu’une propriété est
vraie tant que l’on n’a pas construit une solution. Cette logique est importante en informatique, science dans laquelle,
la construction de l’objet est nécessaire. Ce problème de la constructibilité des objets pour affirmer leur existence
est une question récurrente en mathématiques. Aujourd’hui, certains résultats mathématiques sont donnés comme
vrais sans que nous sachions comment les obtenir concrètement : nous avons juste montré qu’il était impossible qu’ils
soient faux.
Les critiques contre le principe de non contradiction sont anciennes, mais ont été ravivés avec la physique contemporaine. Le philosophe Lupasco a travaillé sur la question et introduit la notion de “potentialisation”.
« Dieu est jour nuit, hiver été, guerre paix, satiété faim. »
Héraclite
Méthode :
Pour démontrer qu’une assertion est juste, il faut montrer qu’elle est juste dans tous les cas. En général cela
représente une infinité de cas possibles.
Par contre, pour montrer qu’une assertion est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple, c’est-à-dire une
situation pour laquelle elle est fausse.
Exemple
Pour démontrer que la somme des angles d’un triangle fait 180 degrés, il ne suffit pas de le vérifier sur certains
triangles, mais il faut le vérifier pour tous les triangles qui peuvent exister. Cela demande donc un raisonnement
qualitatif qui soit valable pour tous les triangles à la fois. (Au fait, comment démontre-t-on ce résultat5 ?)
En revanche, pour démontrer qu’un résultat est faux, il suffit de trouver une situation où il n’est pas vérifié. Par
exemple, l’assertion : “Tous les nombres impairs supérieurs ou égaux à trois sont premiers” est fausse.
Pour le montrer, il suffit de dire que 9 = 3 × 3 est impair mais pas premier.
Si on s’était contenté de certains exemples, 3, 5, 7 · · · alors on aurait très bien pu croire que la propriété était vraie.
C’est une erreur malheureusement courante.
Nous voyons ici qu’il est souvent plus facile de montrer qu’un énoncé est faux, que le contraire.
Une conjecture, est un énoncé mathématique non prouvé mais que l’on pense être vrai.
Il existe de nombreuses conjectures en mathématiques dont on est presque sûr de la véracité mais que l’on n’a toujours
pas réussi à démontrer.
Exemple
La conjecture de Goldbach dit que tout nombre entier pair supérieur à 3 peut s’écrire comme somme de deux
nombres premiers.
Les mathématiciens s’accordent pour penser que cet énoncé est vrai, mais n’ont toujours par réussi à le démontrer.
Au lycée, vous aviez l’habitude d’établir des conjectures d’après les figures obtenues à la calculatrice.
Lorsqu’une conjecture importante est démontrée, on parle de théorème.
5 On trace une droite parallèle à un côté et passant par le sommet opposé et on utilise les propriétés des angles alternes internes. . . à condition
de savoir démontrer cette propriété.
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Exemple
Le grand théorème de Fermat, énoncé par Fermat vers le milieu du XVIIème siècle est resté à l’état de conjecture
pendant 3 siècles. Il a été démontré par A. Wiles en 1995 devenant dès lors un théorème.
Ce théorème stipule que pour tout entier n ≥ 3, il n’existe pas d’entiers x, y, z tous non nuls tels que
xn + y n = zn
À noter que dans le cas n = 2, il existe une infinité de solutions qui correspondent aux triangles rectangles (dont
les côtés ont des longueurs entières). On trouve des traces de solutions de ce problème dès l’époque babylonienne
et la résolution complète de ce cas n = 2 est un exercice accessible en classes préparatoires.
B Quantificateurs et opérateurs logiques élémentaires
Les quantificateurs sont des symboles mathématiques qui permettent d’écrire des assertions mathématiques de façon
très ramassée et compréhensibles en un coup d’œil.
N’utilisez jamais les quantificateurs au sein d’une phrase en français, on ne mélange pas le français avec les symboles
mathématiques.
Voici une liste des quantificateurs et opérateurs logiques que nous utiliserons cette année.
Dans la suite, p et q désignent deux assertions logiques.
Conjonction “et” : l’assertion p ∧ q se lit “p et q”.
Elle est vraie lorsque p et q sont simultanément vraies.
Par exemple, 5 ≤ x < 2 peut se décomposer en “5 ≤ x et x < 2” : il faut que x vérifie les deux inégalités en même temps.
Disjonction “ou” : l’assertion p ∨ q se lit :“p ou q”.
Elle est vraie lorsque l’une au moins des assertions p ou q est vraie. Il n’est pas nécessaire qu’elles soient toutes les deux
vraies. On voit que la disjonction est moins exigeante que la conjonction.
En mathématiques ou en informatique, le “ou” logique n’est pas exclusif. Cela veut dire qu’au moins une des propriétés est vraie. En particulier, les deux propriétés peuvent être vraies en même temps.
En revanche, en français, le “ou” est habituellement exclusif : une seule des propriété est supposée vraie, pas les
deux. Cette différence entre le “ou” mathématique et le “ou” français s’illustre à travers la petite histoire suivante :
“Un mathématicien vient d’avoir un enfant et un de ses amis arrive pour le féliciter : ‘Alors, c’est un garçon ou une fille ?’
Et le mathématicien de répondre ‘oui !’ ”
Contraire : l’assertion contraire de p se note ¬p ou non(p). On parle aussi de négation.
Appartenance : pour indiquer qu’un élément x appartient à un ensemble E , on note x ∈ E .
La négation est x 6∈ E : “x n’appartient pas à E ”.
Quantificateur universel : si p est une assertion et E un ensemble, la notation
∀x ∈ E , p
signifie que tous les éléments de E vérifient l’assertion p.
∀x ∈ E se lit “pour tout x dans E ” ou “quelque soit x dans E ”.
Quantificateur existentiel : si p est une assertion et E un ensemble, la notation
∃x ∈ E , p
signifie qu’il existe au moins un élément de E qui vérifie l’assertion p.
∃x ∈ E se lit “il existe x dans E ”.
Remarque : Pour dire que le x est unique, on écrit “∃!x ∈ E ” qui se lit : “il existe un unique x dans E ”
Exemple
Comprenez bien la différence entre le quantificateur universel et le quantificateur existentiel.
Il n’est pas du tout pareil de dire que “il existe une voiture jaune” ou “toutes les voitures sont jaunes”.
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Formellement, pour E un ensemble non vide, et p une assertion logique,
Si ∀x ∈ E , p alors en particulier ∃x ∈ E , p,
Par contre, la réciproque est fausse en général, ce n’est pas parce que ∃x ∈ E , p que l’on a ∀x ∈ E , p.
Équivalence : deux propositions sont équivalentes lorsqu’elles ont même valeur de vérité : soit elles sont vraies en
même temps, soit elles sont fausses en même temps. Si l’équivalence est vérifiée, on ne peut pas avoir une des assertions vraie tandis que l’autre serait fausse.
En français pour dire que p ⇐⇒ q, on dit “p est vraie si et seulement si q est vraie”.
Exemple
“Le triangle ABC est rectangle en A si et seulement si AB 2 + AC 2 = BC 2 .” est une équivalence qui est vraie. C’est
le théorème de Pythagore et sa réciproque mis ensemble.
Par contre, l’assertion “Le triangle ABC est rectangle si et seulement si AB 2 + AC 2 = BC 2 ” est fausse. Pourquoi ?
Attention : Lorsque p ⇐⇒ q est vraie, cela ne veut pas dire que p et q soient vraies. Cela peut vouloir dire au contraire
que p et q sont toutes les deux fausses. On sait simplement qu’elles ont la même valeur de vérité.
Méthode (Utilisation des équivalences dans les raisonnements)
Pour montrer que q est vraie, on peut lui chercher une proposition équivalente plus simple qui soit également
vraie.
Exemple
Résoudre 5x − 7 ≥ −1.
Cela revient à chercher les x pour lesquels cette proposition est vraie.
On va se ramener à une condition plus simple en raisonnant par équivalence. Il faut faire attention à ce que les
expressions soient bien équivalentes entre elles (c’est sur ce point que vous ferez souvent des erreurs).
5x − 7 ≥ −1 ⇐⇒ 5x ≥ 6
6
⇐⇒ x ≥
5
Exemple
Montrer que l’assertion x 2 = y 2 ⇐⇒ x = y est fausse sur R ?
Sur quel sous-ensemble (le plus grand possible) de R est-elle vraie ?
Solution :
Il suffit de trouver un contre-exemple pour montrer que la proposition est fausse. Par exemple pour x = 1 et
y = −1, on a bien x 2 = y 2 et pourtant x 6= y.
L’assertion est vraie pour tous les nombres positifs : R+ (ou pour tous les nombres négatifs) car on n’a plus de
problème de signe.
½
p et q simultanément sont vraies,
Implication p ⇒ q est vraie si et seulement si
ou p est fausse.
L’implication p ⇒ q traduit le lien logique “Si p, alors q”.
Si p est vraie, alors q est aussi vraie, par contre, si p est fausse, on n’a aucune information sur q qui peut être soit vraie,
soit fausse. En effet, à partir d’un postulat faux, on peut démontrer rigoureusement des énoncés faux, comme des
énoncés vrais. En d’autres termes, ce n’est pas parce que votre résultat est vrai que votre hypothèse ou le raisonnement
est lui-même vrai6 .
Attention, l’implication ne traduit pas forcément un lien de cause à conséquence comme l’indique l’exemple météorologique
qui suit.
La réciproque de p ⇒ q est q ⇒ p. Une implication peut être vraie sans que sa réciproque le soit.
Exemple
S’il pleut, alors il y a des nuages.
Cette assertion est vraie (sauf si votre frère joue avec le tuyau d’arrosage à côté), et pourtant elle n’exprime pas un
6 Contrairement à la croyance commune, un résultat juste sur une copie de maths n’a aucune valeur en lui-même. Pour acquérir de la valeur, il
faut expliciter les hypothèses émises et détailler un raisonnement sans faute qui nous conduise à ce résultat.
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lien de cause à conséquence mais tout le contraire : elle exprime un lien de conséquence à cause nécessaire. La
cause, n’est pas la pluie, mais ce sont les nuages.
L’implication réciproque est fausse : ce n’est pas parce qu’il y a des nuages qu’il pleut nécessairement.
Exemple
Méfiez vous des liens logiques erronés que l’on trouve très souvent dans la presse ou les médias.
Ces raisonnements erronés sont souvent dus à quelques raccourcis bien identifiés :
• on prend la réciproque d’une implication,
• on considère deux conséquences d’une cause commune et on dit que l’une est cause de l’autre.
• on interprète une succession temporelle comme une conséquence.
Par exemple :
“Statistiquement, il est prouvé que la majorité des personnes malades se trouvent à l’hôpital, donc l’hôpital favorise la maladie”.
“Depuis 50 ans, le nombre de cigognes a fortement baissé en Alsace. On observe que le nombre de naissances
a également baissé de manière significative dans cette région sur la même période. C’est bien la preuve que les
cigognes apportent les bébés.”
Exemple
Donnez la valeur de vérité des assertions
p ¢
¡
a) “1 + 1 = 2 ⇒ ∀x ∈ R, |x| = x 2 ”
b) “x 7→ cos x est croissante sur R ⇐⇒ Z est un sous-ensemble de N”
c) “(u n ) n’est pas croissante ⇒ (u n ) est décroissante.”
¡
¢
d) “ ∀x ∈ R, ∃λ ∈ R, tel que f (x) = λx ⇐⇒ f est une fonction linéaire.”
Solution :
a) Cette implication est vraie.
Elle s’écrit p ⇒ q ; or l’assertion q est toujours vraie, donc l’implication est vraie (on n’a même pas besoin de
s’occuper de la valeur de vérité de p : voir la table de vérité de l’implication).
b) L’équivalence est vraie.
Les deux assertions mises en équivalence sont toujours fausses : elles ont la même table de vérité.
Attention : une équivalence peut être vraie sans qu’aucune des assertions qui la compose ne le soit. Ainsi le
théorème de Pythagore vu comme une équivalence (implication et réciproque) est vrai même si le triangle n’est
pas rectangle ! Prouver l’équivalence, ne prouve pas que les assertions sont vraies, mais simplement que p et q
ont même valeur de vérité.
c) Cette assertion est fausse, (u n ) peut ne pas être croissante sans pour autant être décroissante. Pour démontrer
que cette assertion est fausse il suffit d’exhiber un contre-exemple (on utilise le principe de non-contradiction).
Par exemple si pour tout n ∈ N, u n = (−1)n alors la suite (u n ) n’est ni croissante, ni décroissante. Attention, cette
fausse implication est une erreur très fréquente dans vos copies.
d) Cette équivalence p ⇐⇒ q est fausse. En effet, si q est vraie, on a bien p qui est vraie, mais la réciproque n’est pas
vérifiée.
Cela est dû à l’ordre des quantificateurs. Ici, le λ dépend de x alors que pour une fonction linéaire, le λ ne dépend
que de la fonction f et est le même pour tous les x.
Par exemple pour f : x 7→ x 2 qui n’est pas linéaire, la proposition p est vraie en prenant λ = x ∈ R.
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C Propriétés élémentaires du “et” et du “ou”
Propriété 1.1 (Propriétés du et et du ou)
a) Associativité
(p ∧ q) ∧ r
⇐⇒
p ∧ (q ∧ r )
et
(p ∨ q) ∨ r
⇐⇒
p ∨ (q ∨ r )
Il n’est donc pas utile de mettre des parenthèses si on n’a que des conjonctions, ou que des disjonctions
(par contre on en a besoin si mélange des deux).
b) Commutativité
p ∧ q ⇐⇒ q ∧ p
et
p ∨ q ⇐⇒ q ∨ p
L’ordre des termes d’une conjonction ou d’une disjonction n’a pas d’importance.
c) Distributivité du et par rapport au ou
p ∧ (q ∨ r )
⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r )
d) Distributivité du ou par rapport au et
p ∨ (q ∧ r )
⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r )
Rappelez-vous que le “et” et le “ou” se comportent l’un par rapport à l’autre comme la multiplication par rapport à
l’addition. Vous pouvez donc utiliser des formules de double distributivité.
D Lois de De Morgan pour la négation
Propriété 1.2 (Loi de De Morgan pour “et” et “ou”)
a) la négation de “p ∧ q” est “(¬p) ∨ (¬q)”
b) la négation de “p ∨ q” est “(¬p) ∧ (¬q)”
Explications :
Si les deux assertions ne sont pas vraies en même temps, c’est que l’une ou l’autre n’est pas vraie.
Rappelez-vous : La négation échange le “et” et le “ou”.
Propriété 1.3 (Loi de De Morgan des quantificateurs)
a) la négation de “∀x ∈ E , p” est “∃x ∈ E , ¬p”
b) la négation de “∃x ∈ E , p” est “∀x ∈ E , ¬p”
Rappelez-vous : lorsque l’on passe à l’assertion contraire, on échange les quantificateurs ∀ et ∃.
Explications :
La première négation se traduit de la façon suivante en français : le contraire de “tous les éléments de E vérifient
l’assertion p” est “qu’il existe au moins un élément de E qui ne vérifie pas l’assertion p”.
Exemple
Le contraire de l’assertion “toutes les billes du sac sont rouges” est : “Il existe une bille du sac qui n’est pas rouge”.
Le contraire de l’assertion “il y a au moins une bille du sac qui est rouge” est : “Aucune des billes du sac n’est
rouge”.
Remarque : en français, la phrase “Toutes les billes du sac ne sont pas rouges” est ambigüe. On ne sait pas si elle
signifie qu’aucune n’est rouge, ou qu’il en existe au moins une qui n’est pas rouge.
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Exemple
Soit E , un ensemble de nombres. Quelle est la différence entre le fait de dire
• les éléments de E sont tous non nuls,
• les éléments de E sont non tous nuls.
Solution :
La première phrase se traduit
∀x ∈ E , x 6= 0
la deuxième assertion se traduit : ¬ (∀x ∈ E , x = 0) ce qui est équivalent à
∃x ∈ E , x 6= 0
Dans le premier cas, on demande à tous les éléments de ne pas être égaux à 0 : aucun ne doit être égal à 0. Dans le
deuxième cas, on exige simplement qu’ils ne soient pas tous égaux à 0 en même temps : au moins un est non nul.
Exemple
a) Écrire avec les quantificateurs qu’une application f définie sur R est majorée.
Avec les lois de De Morgan, donner l’assertion contraire.
b) Que signifie l’assertion q :
∀x ∈ R, ∃M ∈ R, f (x) ≤ M
Écrire avec les quantificateurs l’assertion ¬q
Solution :
a)
∃M ∈ R, ∀x ∈ R, f (x) ≤ M
M désigne un des majorants que f ne dépasse jamais (pour tous les x ∈ R, f (x) reste plus petit que M ).
L’assertion contraire est que la fonction n’est pas majorée :
∀M ∈ R, ∃x ∈ R, f (x) > M
Cela veut dire que la fonction dépasse n’importe quel réel M . En français, quelque soit le réel M ∈ R que je choisis
(aussi grand que je veux), je trouverais toujours une valeur x ∈ R pour laquelle f (x) sera plus grand que M .
Le passage à l’assertion contraire échange les quantificateurs ∀ et ∃.
Attention : le “inférieur ou égal” est remplacé par un “supérieur strict”.
b) L’assertion se traduit en français par “Pour tout réel x, il existe un réel M qui est plus grand que f (x)”.
Cette assertion est toujours vraie, c’est une trivialité. En effet, pour tout x ∈ R, je peux toujours trouver un M ∈ R
qui convient, par exemple M = f (x) + 1.
Cette assertion ressemble beaucoup à la précédente, mais on a échangé l’ordre des deux quantificateurs et elle ne
veut plus du tout dire la même chose :
Dans le premier cas, on commence par fixer un M ∈ R qui doit être valable pour tous les x ∈ R.
Dans le second cas, on peut choisir un M différent pour chaque x : le M est choisi après le x et peut donc dépendre
de lui.
On préférera souvent la notation M x pour se rappeler que M dépend de x et éviter de grossières erreurs.
Il faut donc être très rigoureux sur l’ordre avec lequel on écrit les quantificateurs sous peine de raconter n’importe
quoi.
Le contraire de l’assertion q est
¬q : ∃x ∈ R, ∀M ∈ R, f (x) > M
Comme q est toujours vraie, ¬q est toujours fausse.
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Attention : Un quantificateur ∃ dépend des ∀ et ∃ qui le précèdent. On ne peut donc pas les échanger sans vérification
supplémentaire.
Par contre deux ∀ peuvent être être intervertis sans problème (car le ∀ ne dépend pas des autres quantificateurs).
Dans l’exemple précédent, le ∃M ∈ R placé en deuxième position dépend du x défini précédemment. Si on le place en
première position, l’assertion n’a plus la même signification.
E Propriétés de l’implication et de l’équivalence
Propriété 1.4 (Transitivité de l’implication)
³
´ ³
´
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r ) ⇒ p ⇒ r
Propriété 1.5 (Double implication)
³
´
³
´
p ⇐⇒ q ⇐⇒ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
Explications :
Si deux assertions sont équivalentes, c’est que si l’une est vraie, alors l’autre aussi.
Une double flèche, c’est simplement une flèche dans chaque sens.
Méthode (Prouver une équivalence)
Pour prouver que deux propositions p et q sont équivalentes, on peut
a) raisonner par équivalences successives,
b) raisonner par double implication p ⇒ q puis q ⇒ p.
Exemple
Montrez que (∀n ∈ N, a2n + b3n = 0) ⇐⇒ a = b = 0
Solution :
sens direct (⇒), si a, b vérifient la relation de gauche, alors pour n = 0, on trouve a = −b.
Donc ∀n ∈ N, a(2n − 3n ) = 0. Pour n = 1, on trouve a = 0.
On a montré le sens direct.
sens réciproque (⇐) c’est trivial, si a = b = 0, alors pour tout n ∈ N, on a bien a2n + b3n = 0.
Donc par double implication on a montré l’équivalence.
Propriété 1.6 (Implication)
³
´
³
´
p ⇒ q ⇐⇒ (¬p) ∨ q
³
´
³
´
¬(p ⇒ q) ⇐⇒ p ∧ ¬q
Explications :
La première ligne est simplement une relecture de la table de vérité de l’implication. On voit que l’implication est
vraie dans les seuls deux cas suivants : soit p est fausse, soit q est vraie.
Pour montrer qu’une implication p ⇒ q est fausse, on peut montrer que p est vraie alors que que q est fausse en
même temps. Cela veut bien dire que p n’implique pas q (sinon q serait vraie).
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Exemple
Une fonction f est dite croissante sur R si
∀x, y ∈ R, x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y)
Une fonction qui n’est pas croissante vérifie donc :
∃x, y ∈ R, x ≤ y et f (x) > f (y)
Ce n’est pas la même chose qu’une fonction décroissante. En effet, il suffit de trouver un seul couple de nombre
qui ne vérifie pas l’inégalité pour que la fonction ne soit pas croissante.
Propriété 1.7 (Contraposée)
³
´
³
´
p ⇒ q ⇐⇒ ¬q ⇒ ¬p
Exemple
La contraposée est un raisonnement subtil. On le comprend mieux sur des exemples.
La contraposée de “S’il pleut, alors il y a des nuages” est “s’il n’y a pas de nuages, alors il ne pleut pas”.
Il est parfois plus simple de démontrer la contraposée que l’énoncé directement.
F Conditions nécessaires et suffisantes
En mathématiques, on utilise souvent le vocabulaire de condition nécessaire et de condition suffisante.
Ce vocabulaire traduit des implications.
Si p implique q, alors on dit que p est une condition suffisante pour que q soit vraie. En effet, il suffit que p soit vraie
pour être sûr que q l’est aussi.
Par exemple, “pluie ⇒ nuages” : il suffit qu’il pleuve pour que l’on sache qu’il y a des nuages.
Par contre, cela ne veut pas dire que p (la pluie) soit nécessaire pour avoir q (les nuages) : il peut y avoir des nuages
sans qu’il pleuve.
p est une condition nécessaire à la réalisation de q si : q ne peut pas être vraie si p ne l’est pas.
Cela veut dire p ⇐ q : si q est vérifiée, c’est que p l’est nécessairement. C’est la réciproque de la condition suffisante.
Avec l’exemple précédent : pluie ⇒ nuages, il faut qu’il y ait des nuages pour qu’il puisse pleuvoir (ce qui ne veut pas
dire qu’il pleuvra).
Si p est une condition nécessaire et suffisante à la réalisation de q, cela veut dire que l’on a à la fois l’implication et sa
réciproque : p et q sont équivalentes.
Exemple
Écrivez avec une implication le proverbe “Il n’y a pas de fumée sans feu”.
La fumée est-elle une condition nécessaire ou suffisante au feu ? La réciproque est-elle vraie ?
Solution :
"fumée" ⇒ "feu"
La présence de fumée est une condition suffisante pour savoir qu’il y a du feu. Par contre, elle n’est pas nécessaire.
Ce n’est pas parce qu’il y a du feu, que nous aurons nécessairement de la fumée : une gazinière produit une
flamme, mais pas de fumée visible. La réciproque est fausse.
2
V OCABULAIRE ENSEMBLISTE
Dans cette section, nous allons traduire la logique que nous venons de voir avec un langage ensembliste.
Avant de rentrer dans le vif du sujet, rappelons les notation associées aux ensembles de nombres les plus usuels.
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A Rappel : Les ensembles de nombres
• N : les entier naturels 0, 1, 2, 3, 4, . . .
C
• Z : les entier relatifs . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .
R
1 2
5
• Q : les rationnels (quotients de deux entiers) : ,
, − , 3, 5 =
4 825
3
35
, ...
10
Q
π
Z
N
0, 1, 2, 3, . . .
• R : les réels 0, 5, −4, 23 , − 37 , π, . . .
− 27
-1
-2
p
π
• C : les complexes 3 + 2i , 5i , −2 3(1 + i ), 2 ei 6 , · · ·
ei
p
2 − 5i
p
− 2
1
3
• On note avec une étoile en exposant, l’ensemble privé de l’élément 0 : N∗ = {n ≥ 1}
• On note avec un plus7 , l’ensemble des nombres positifs (n’a aucun sens sur C) : Z+ = N,
R∗+ = {x > 0}
• On note avec un moins, l’ensemble des nombres négatifs8 : Z−
B Appartenance et inclusion
Définition 2.1 :
Un ensemble E est une collection d’objets distincts appelés éléments de E .
Un singleton est un ensemble à un seul élément : {a}.
L’ensemble qui ne contient aucun élément est appelé l’ensemble vide. Il est noté ; ou {}.
On peut définir un ensemble de deux manières : en extension et en compréhension.
• Définir un ensemble en extension, c’est donner la liste complète des éléments qui le composent.
• Définir un ensemble en compréhension, c’est le considérer comme l’ensemble des éléments qui vérifient une
certaine propriété.
Remarque : La définition par compréhension suppose de savoir où nous piochons nos éléments auxquels s’applique
la propriété.
Exemple
L’ensemble {1, 2, π} composé de ces seuls éléments : il est défini en extension.
{x ∈ R | ∃n ∈ N, x = 2n } est l’ensemble qui contient 1, 2, 22 , 23 · · · , il est défini en compréhension.
On peut aussi le noter {2n }n∈N
Méthode (Montrer qu’un ensemble est vide)
Pour montrer qu’un ensemble A est vide, on raisonne souvent par l’absurde (on suppose qu’il existe un élément
x ∈ A et on montre que c’est absurde) :
Soit x ∈ A
..
.
absurde
Donc A = ;
7 Le plus est mis indifféremment en exposant ou en indice : R = R+
+
8 0 est un nombre à la fois positif et négatif.
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Définition 2.2 :
Soient E et F deux ensembles. On dit que E et F sont égaux s’ils ont
exactement les mêmes éléments.
E =F
⇐⇒
∀x
¡
x ∈ E ⇐⇒ x ∈ F
¢
F
E
On dit que E est inclus dans F , ou que F contient E , ou que E est une
partie de F si les éléments de E appartiennent tous à F .
E ⊂F
⇐⇒
∀x
¡
x ∈E ⇒x ∈F
¢
E ⊂F
Explications :
L’égalité entre deux ensembles correspond à une équivalence, l’inclusion traduit une implication.
Propriété 2.3 (Double inclusion)
E =F
⇐⇒
¡
¢
E ⊂ F et F ⊂ E
Explications :
C’est simplement la propriété de double implication vue en logique. On utilise très souvent cette propriété pour
montrer l’égalité de deux ensembles.
Méthode (Montrer une inclusion)
Pour montrer l’inclusion A ⊂ B , en général, on montre que tous les éléments de A sont aussi dans B .
Concrètement, on prend x quelconque dans A et on montre que x ∈ B .
Comme c’est vrai pour n’importe quel x ∈ A, on a bien A ⊂ B .
Soit x ∈ A
..
.
x ∈B
Donc A ⊂ B
Exemple (Difficile)
Donner l’écriture en extension de l’ensemble
½
¾
1
A = x ∈ R tel que ∀n ∈ N∗ , 0 ≤ x ≤
n
Solution :
On peut déjà chercher intuitivement à quoi va ressembler cet ensemble. Cela revient à chercher des conditions
nécessaires sur les éléments de cet ensemble.
D’abord, on sait que x ∈ A ⇒ x¡ ≥¢0 ou en vocabulaire ensembliste, A ⊂ R+ .
Ensuite, on voit que la suite n1 n∈N∗ tend vers 0 et que les éléments de A doivent être plus petits que tous les
termes de cette suite.
Donc la seule possibilité est 0.
On cherche donc à montrer que A = {0}.
L’inclusion {0} ⊂ A est évidente.
En effet si x = 0, alors ∀n ∈ N∗ , n1 > 0, donc n1 ≥ x ≥ 0.
Montrons l’inclusion réciproque, c’est-à-dire ∀x ∈ R, x ∈ A ⇒ x = 0.
Ici, la prémisse de l’implication est compliquée alors que le résultat de l’implication “x = 0” est très simple à
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exprimer. On est donc tenté de raisonner par contraposée.
On cherche donc à montrer que si x 6= 0, alors x 6∈ A, c’est-à-dire que ∃n ∈ N∗ tel que x >
x ≥ 0 est vraie).
Posons donc x > 0 quelconque.
alors pour n ∈ N∗ , x ≤ n1 ⇐⇒ n ≤ x1 (car n > 0 et x > 0).
Donc si on pose n 0 le plus petit entier strictement supérieur à x1 (il existe), alors x > n10 .
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1
n
(puisque la condition
On a donc bien montré que ∃n ∈ N∗ , tel que x > n1 .
Donc x 6∈ A.
Ainsi par contraposée, A ⊂ {0}.
Donc par double inclusion
A = {0}
Attention : Ne pas confondre le signe ∈ et le signe ⊂. Le signe ∈ indique que l’on pioche un élément dans un ensemble,
alors que le signe ⊂ désigne une partie de l’ensemble : un sous-ensemble qui est inclus, une collection d’éléments.
Dans le premier cas, on “compare” un élément à un ensemble, dans le second, on compare deux ensembles entre
eux.
Exemple
Q ⊂ R, 5 ∈ R, {5} ⊂ R
Définition 2.4 :
Soit E un ensemble, l’ensemble des parties de E est noté P (E ).
Pour tout ensemble A,
A ∈ P (E ) ⇐⇒ A ⊂ E
Exemple
Soit E = {1, π, 5}, alors
n
o
P (E ) = ;, {1}, {π}, {5}, {1, π}, {1, 5}, {π, 5}, E
Remarques :
• P (E ) est un ensemble d’ensembles.
• Pour tout ensemble E , l’ensemble vide ; et l’ensemble complet E appartiennent à P (E )
• Si E est vide, alors P (E ) est non vide. En effet P (E ) = {;} 6= ; (P (E ) contient l’ensemble vide qui est un de ses
éléments. Il n’est donc pas vide lui-même).
Attention : Si a ∈ E , a 6∈ P (E ) (en général), par contre {a} ∈ P (E )
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C Opérations sur les ensembles
Définition 2.5 :
F
E
On appelle réunion de E et F , l’ensemble formé des éléments de E
et des éléments de F
E ∪ F = {x tel que x ∈ E ou x ∈ F }
E ∪ F correspond à la totalité de
l’aire colorée
Définition 2.6 :
F
E
On appelle intersection de E et F , l’ensemble formé des éléments
appartenant à la fois à E et à F
E ∩ F = {x tel que x ∈ E et x ∈ F }
E ∩F
Exemple
Soient A et B deux ensembles, voici quelques relations triviales :
A ⊂ A ∪B
A ∩B ⊂ A
A ∩B ⊂ A ∪B
E ∈ P (A) et E ⊂ B ⇒ E ⊂ A ∩ B
Exemple
Soient deux parties A et B de E telles que A ∪ B = A ∩ B . Montrez que A = B .
Solution :
Ici on raisonne par double inclusion. On commence par montrer que A ⊂ B .
Pour cela on choisit x ∈ A et on montre que x ∈ B .
Soit x ∈ A, par définition de l’union x ∈ A ∪ B .
Donc par hypothèse, x ∈ A ∩ B , donc x ∈ B par définition de l’intersection.
Ceci est vrai pour tous les x ∈ A, donc A ⊂ B .
Or A et B jouent des rôles symétriques dans l’énoncé, on peut donc échanger A et B dans le raisonnement précédent.
Donc B ⊂ A.
Donc par double inclusion : A = B
Définition 2.7 :
Deux ensembles E et F sont dits disjoints si E ∩ F = ;, c’est-à-dire s’ils n’ont aucun élément commun.
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Définition 2.8 :
E
F
On appelle complémentaire de F dans E et on note {E F ou E \ F ou
F c ou F (s’il n’y a pas d’ambigüité pour l’ensemble E ) les éléments de
E qui n’appartiennent pas à F . C’est-à-dire
F
{E F = {x ∈ E tel que x 6∈ F }
Exemple
ª
Z = N ∪ {−n n∈N
R \ Q désigne les irrationnels (nombres réels qui ne peuvent pas s’écrire comme quotient de deux entiers).
N∗ = N \ {0}
R \ R+ = R∗−
Propriété 2.9 (Involutivité du complémentaire)
Soit A une partie d’un ensemble E . Alors
A=A
On dit que le passage au complémentaire est involutif.
Cela correspond à une double négation.
Théorème 2.10 (Formules de De Morgan)
Soit A et B des sous-ensembles de E , Alors
A ∪B = A ∩B
A ∩B = A ∪B
Preuve :
x ∈ A ∪ B ⇐⇒ ¬ (x ∈ A ∨ x ∈ B )
⇐⇒ ¬ (x ∈ A) ∧ ¬ (x ∈ B )
⇐⇒ (x 6∈ A) ∧ (x 6∈ B )
⇐⇒ x ∈ A ∩ B
Donc
A ∪B = A ∩B
Pour le complémentaire de l’intersection, il suffit de remarque que si on remplace A et B par leur complémentaires, on
retrouve la relation avec l’union écrite dans l’autre sens.
Les notation de complémentaires A et A c sont volontairement mélangées pour essayer de faciliter la lecture de la preuve.
A ∩ B = Ac ∩ B c
³
´
= Ac ∩ B c
³
´
= Ac ∪ B c
(involutivité de la négation)
(involutivité de la négation)
(relation précédente)
= Ac ∪ B c
= A ∪B
On peut aussi démontrer la négation de l’intersection en repassant aux x comme pour l’union.
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Explications :
Rappelez-vous que le complémentaire échange l’union et l’intersection.
Remarque : Les propriétés vues pour le “ou” et pour le “et” logiques, sont valables pour l’union et l’intersection (qui en
sont la traduction ensembliste).
Ainsi en est-il de l’associativité, de la commutativité et de la distributivité de l’une par rapport à l’autre.
Définition 2.11 :
Soit I = [[1, n]] un ensemblea ,
Pour tout i ∈ I , on définit un ensemble A i : chaque i ∈ I sert à désigner le A i correspondant.
• On appelle réunionb des A i pour i décrivant I , l’ensemble des x qui appartiennent à au moins un A i .
[
n
[
Ai =
i ∈I
i =1
n ¯
o
¯
A i = x ¯∃i ∈ I , x ∈ A i
• On appelle intersection des A i pour i décrivant I , l’ensemble des x qui appartiennent à la fois à tous les
Ai .
n ¯
o
n
\
\
¯
Ai =
A i = x ¯∀i ∈ I , x ∈ A i
i ∈I
i =1
a En fait, la notation est valable pour un ensemble I quelconque, mais c’est hors programme.
b ou simplement union
Explications :
Rappelez-vous que l’union correspond à ∃ et que l’intersection correspond à ∀
Exemple (Approfondissement)
(Ne fait pas partie des exemples que j’exige que vous sachiez refaire)
Trouvez à quoi sont égaux chacun de ces deux ensembles (l’écrire sous une forme très simple), et démontrez-le.
[
[−n; n]
n∈N
\
n∈N∗
·
1 1
− ;
n n
¸
Solution pour l’union :
Pour pouvoir trouver intuitivement à quoi sont égaux ces ensembles, il est nécessaire de faire un schéma (mais est-ce
suffisant ?)
[
On conjecture que
[−n; n] = R.
n∈N
On le montre par double inclusion.
S
D’abord, ∀n ∈ N, [−n, n] ⊂ R, donc
[−n; n] ⊂ R.
n∈N
L’inclusion réciproque est plus dure :
Soit x ∈ R,
Supposons x ≥ 0, si on pose n 0 = bxc + 1, où bxc désigne la partie entière de x, alors on a x ∈ [−n 0 , n 0 ].
donc il existe n 0 ∈ N tel que x ∈ [−n 0 , n 0 ],
S
donc x est dans l’union
[−n; n].
n∈N
De même si x < 0, (on prend alors n 0 = bxc) et le raisonnement est similaire,
Ainsi,
[
∀x ∈ R, x ∈
[−n; n]
n∈N
Donc R ⊂
S
[−n; n]
n∈N
Donc par double inclusion,
[
[−n; n] = R
n∈N
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Solution pour l’intersection
:¸
·
\
1 1
= {0}
On conjecture que
− ;
n n
n∈N
£
¤
La première inclusion est triviale : ∀n ∈ N∗ , 0 ∈ − n1 , n1
·
¸
\
1 1
− ;
Donc {0} ⊂
n n
n∈N
·
¸
\
1 1
Réciproquement, on cherche à montrer que
− ;
⊂ {0}
n n
n∈N
En d’autres termes, que si x est dans l’intersection, alors x = 0 :
On veut montrer que
1
1
Si ∀n ∈ N∗ , − ≤ x ≤
alors x = 0
n
n
Cela se montre par contraposée.
h
i
On suppose donc x 6= 0 et on cherche à trouver n 0 ∈ N∗ tel que x 6∈ − n10 , n10
¥ ¦
Si par exemple x > 0, alors on pose n 0 = x1 + 1. Ainsi n 0 > x1 , et x > n10 . Donc x 6∈ [− n10 , n10 ].
On fait de même si x < 0.
D’où le résultat voulu par contraposée.
Ainsi par double inclusion on obtient :
¸
·
\
1 1
= {0}
− ;
n n
n∈N
Propriété 2.12 (Distributivité)
Si {A i }i ∈I , et B sont des ensembles, alors
³[
´
[
A i ∩ B = (A i ∩ B )
i ∈I
³\
i ∈I
´
Ai ∪ B =
i ∈I
\
(A i ∪ B )
i ∈I
Preuve :
Écrire de façon formelle les ensembles à partir des x en utilisant la définition 2.11.
Propriété 2.13 (Formules de De Morgan)
Si {A i }i ∈I sont des sous-ensembles de E , alors
[
Ai =
i ∈I
\
\
Ai
i ∈I
Ai =
i ∈I
[
Ai
i ∈I
Preuve :
Écrire de façon formelle les ensembles à partir des x.
En vocabulaire logique, ¬(p ∨ q) ⇐⇒ (¬p) ∧ (¬q)
D Produit cartésien
Définition 2.14 (Couples)
Soient E et F deux ensembles,
On appelle produit cartésien de E et F et on note E × F l’ensemble des couples :
©
ª
E × F = (x, y) tel que x ∈ E , y ∈ F
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Exemple
Lorsque l’on choisit un entier p et un réel x on peut noter p ∈ N, x ∈ R ou noter (p, x) ∈ N × R.
Dans la deuxième formulation avec le produit cartésien, on lit en prenant p dans le premier ensemble : N et x
dans le deuxième : R.
Notation :
Lorsque les ensembles E et F sont les mêmes, au lieu de noter E × E , on note E 2 par analogie avec un produit
numérique.
Exemple
Pour désigner un couple d’entiers p et q on note (p, q) ∈ N2 .
Exemple
Tout point du plan peut être désigné de manière unique par deux coordonnées : l’abscisse x et l’ordonnée y.
Ainsi les points du plans sont parfaitement décrits par des couples (x, y) ∈ R2 .
C’est la raison pour laquelle on note le plan R2
Exemple
Représentez graphiquement le produit cartésien [[1, 3]] × [[2, 3]].
Solution :
Ce sont l’ensemble des couples
{(1, 2); (1, 3); (2, 2); (2, 3); (3, 2); (3, 3)}
La première coordonnée est prise dans [[1, 3]] et la seconde dans [[2, 3]].
Géométriquement, si on place ces points dans le plan, avec la première coordonnée en abscisse et la seconde en
ordonnée, on obtient la figure 1. Cette figure amène deux remarques :
4
3
b
b
b
2
b
b
b
1
2
3
1
4
Figure 1: Représentation géométrique d’un produit cartésien
• Dans un ensemble, l’ordre n’a pas d’importance : {1, 2} = {2, 1}, car ce n’est qu’une collection d’éléments distincts9 .
En revanche, l’ordre est primordial dans un couple (ou dans toute famille comme nous le verrons plus loin).
Chaque indice désigne un élément spécifique et changer l’ordre revient à changer l’élément associé à un indice
particulier. Dans le plan, c’est réaliser une symétrie par rapport à la droite y = x : on change les points. D’ailleurs,
(1, 2) ∈ [[1, 3] × [[2, 3]], mais (2, 1) 6∈ [[1, 3]] × [[2, 3]].
• Lorsque les ensembles sont finis, on observe que le nombre d’éléments du produit cartésien correspond au produit du nombre d’éléments de chaque ensemble. Ici, il y a 3 éléments dans le premier, et 2 dans le second : il y en
a 2 × 3 au total. On peut comprendre ainsi la notation × dans [[1, 3]] × [[2, 3]].
9 Cela veut dire au passage que cela n’a aucun sens d’écrire deux fois le même élément dans un ensemble, car rien ne pourrait les différencier.
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On peut donner la même définition pour les triplets à 3 éléments :
Définition 2.15 (Triplets)
Soient E , F et G trois ensembles,
On appelle produit cartésien de E , F et G et on note E × F ×G l’ensemble des triplets :
©
ª
E × F ×G = (x, y, z) tel que x ∈ E , y ∈ F, z ∈ G
Exemple
L’espace à trois dimensions correspond à l’ensemble des triplets (x, y, z) ∈ R3 .
L’espace est noté R3
Définition 2.16 (Généralisation aux n-uplets)
Soit n ∈ N∗ , et E 1 , E 2 , · · · E n des ensembles.
On appelle produit cartésien de E 1 , E 2 , · · · E n l’ensemble des n-uplets
E1 × E2 × · · · × En =
n
Y
©
ª
E i = (x 1 , x 2 , · · · , x n ) tel que ∀i ∈ [[1, n]], x i ∈ E i
i =1
Les p-listes sont simplement des cas particuliers de produits cartésiens lorsque tous les ensembles sont identiques.
Définition 2.17 (p-listes)
Soit p ∈ N∗ et E un ensemble.
On note E p = |E × E × E
{z× · · · × E}, et on appelle p-liste de E ses éléments.
p fois
Exemple
(x, y, z, t ) ∈ R4 est une p−liste de R (avec p = 4).
Définition 2.18 (Famille d’éléments)
Soit I un ensemble appelé ensemble des indices, et E un ensemble.
Une famille (x i )i ∈I désigne une suite d’éléments de E indexés par I .
En particulier si I = [[1; p]], on retrouve les p-listes
On note E I l’ensemble des familles de E indexées par I .
Explications :
C’est simplement une façon de désigner les x i par leur indice i .
On peut faire des familles indexées par
• [[1; p]] ce sont les p-uplets
• N ce sont les suites : RN désigne les suites réelles (à chaque indice dans N, correspond un réel que l’on peut
noter u n par exemple).
• ...
©
ª
Attention : Il ne faut pas confondre l’ensemble x 1 , x 2 , · · · , x p et la famille (x 1 , x 2 , · · · , x p ).
Dans le premier cas, ce sont simplement des objets que l’on rassemble sans s’occuper de leur ordre. Dans le
deuxième cas, l’ordre donné par I est important a priori.
Dans le premier cas, on décrit des éléments deux à deux distincts (x i 6= x j ) alors que dans le second, il n’y a aucun
problème à ce que pour deux indice i 6= j , on ait x i = x j .
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E Transcription logique/langage ensembliste
3
Logique
Ensembles
Négation : ¬p
Complémentaire : Ā
Conjonction et : p ∧ q
Intersection : A ∩ B
Disjonction ou : p ∨ q
Réunion : A ∪ B
Implication : p ⇒ q
Inclusion : A ⊂ B
Équivalence : p ⇐⇒ q
Égalité : A = B
R ÉCURRENCE
C’est au XIXème siècle que l’ensemble des entiers naturels N est enfin construit rigoureusement par Péano. N est ainsi
construit avec 5 axiomes (règles de bases) :
a) N contient un élément noté 0,
b) Tout entier naturel n à un unique successeur,
c) Aucun élément de N, n’a 0 pour successeur,
d) Deux entiers naturels ayant le même successeur sont égaux,
e) Si un sous ensemble de N contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors il est égal à N.
Le principe de récurrence vu en terminale découle simplement du cinquième axiome.
De façon plus imagée : on peut représenter N par une échelle infinie.
a) L’échelle contient un barreau noté 0.
b) Chaque barreau à une unique successeur : l’échelle est infinie (existence du successeur) et ne se sépare jamais
en deux ou davantage (unicité du successeur).
c) Aucun barreau de l’échelle n’a 0 pour successeur : 0 est le barreau le plus bas de l’échelle, il n’y en a pas avant lui.
d) Deux barreaux qui ont le même successeur sont égaux : ce n’est pas un escabeau.
e) Si je prends une partie de l’échelle qui contient le barreau 0, et pour chaque barreau de cette partie, elle contient
le barreau qui suit, alors j’ai toute l’échelle.
En d’autre termes, si je pars du barreau 0 et qu’à chaque barreau, je sais aller au barreau suivant, alors je peux
monter toute l’échelle.
C’est cette dernière “opération” qui constitue la récurrence : pour monter une échelle, il suffit de trouver le barreau du
bas, et de savoir passer d’un barreau à son successeur.
Si on se base sur l’axiomatique de Péano, le principe de récurrence n’est pas un théorème que l’on peut prouver, mais
il fait partie de la définition même de N.
Principe 3.1 (Récurrence simple)
Soit P (n) une assertion logique qui dépend de l’entier n.
Si a) P (0) est vraie,
b) Si pour n ∈ N quelconque fixé,
P (n) vraie implique P (n + 1) vraie
Alors P (n) est vraie pour tout n
Ce principe est calqué sur le mode de construction de N, il marche donc bien pour tout ce qui est indexé par N. En
particulier les suites. Pour les suites, le raisonnement par récurrence apparait souvent lorsque le terme u n+1 dépend
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du terme précédent u n . Ce sont les suites définies par récurrence (il faut aussi définir à part le premier terme u 0 ).
Remarques :
On peut aussi réaliser des récurrences finies lorsque l’assertion n’est définie que jusqu’à un certain rang N .
De même, au lieu de faire commencer la récurrence à 0, on peut la faire commencer à 1, 2 ou tout autre entier. La
propriété sera alors vérifiée à partir de cet entier particulier.
Méthode (Rédaction de la récurrence)
On définit la propriété P (n).
Initialisation :
On vérifie que P (0) est vraie.
Hérédité :
Pour n ≥ 0 quelconque fixé, on suppose que P (n) est vraie et on montre alors que P (n + 1) est également
vraie.
Conclusion.
Attention : N’oubliez pas d’initialiser la récurrence, et de l’initialiser au bon indice : si la propriété doit être vraie pour
tout n ∈ N, initialisez la récurrence à n = 0 (et non pas n = 1).
Exemple
On définit la suite (u n ) par u 0 = 1 et pour tout n ∈ N, u n+1 = 2u n − 1.
Montrez que la suite est constante stationnaire à 1.
Solution :
On note pour tout n ∈ N, la propriété P (n) : "u n = 1".
(u n ) est constante stationnaire à 1 si et seulement si P (n) est vraie pour tout n ∈ N.
Initialisation : u 0 = 1, donc P (0) est vraie.
Hérédité : Soit n ∈ N, on suppose P (n) vraie, c’est-à-dire u n = 1.
Alors u n+1 = 2u n − 1 = 2 × 1 − 1 = 1.
Conclusion : Par principe de récurrence, P (n) est vraie pour tout n ∈ N, donc (u n ) est constante stationnaire à 1.
Exemple
Le paradoxe de la boîte de crayons de couleur (fait en classe).
La récurrence double est simplement un cas particulier de la récurrence dans le cas où l’assertion P (n) ne dépend pas
seulement du terme précédent, mais de deux termes précédents P (n − 1) et P (n − 2).
Cette fois-ci on s’appuie sur les deux barreaux précédents pour monter sur le suivant. Nous avons donc besoin des
deux premiers barreaux pour commencer.
Théorème 3.2 (Récurrence double)
Soit P (n) une assertion logique qui dépend de l’entier n.
Si a) P (0) et P (1) sont vraies,
b) Si pour n ∈ N quelconque fixé,
P (n) et P (n + 1) vraies implique P (n + 2) vraie
Alors P (n) est vraie pour tout n ∈ N
Remarque : Cette fois-ci, il s’agit bien d’un théorème que l’on démontre à partir du principe de récurrence simple.
Explications :
C’est simplement le principe de récurrence appliqué à (P (n) ET P (n + 1)).
Ceci est surtout utile pour les suites à récurrence double pour lesquelles on a besoin des deux dernières valeurs
pour calculer la nouvelle.
Il va sans dire que ce principe peut se généraliser sans problème, à 3, 4 ou plus d’indices successifs.
Exemple
Montrer que tous les termes de la suite de Fibonacci sont dans N.
Pour mémoire, la suite de Fibonacci est définie par u 0 = u 1 = 1 et u n+2 = u n+1 + u n pour tout n ∈ N
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Si pour prouver P (n) on a besoin de tous les termes qui précèdent, on utilise alors la récurrence forte :
Théorème 3.3 (Récurrence forte)
Soit P (n) une assertion logique qui dépend de l’entier n.
Si a) P (0) est vraie,
b) et si pour n ∈ N quelconque fixé,
le fait que les assertions P (k) soient vraies pour tous les k ≤ n implique que P (n + 1) est vraie
Alors P (n) est vraie pour tout n ∈ N
Preuve :
C’est simplement le principe de récurrence appliqué à (∀k ≤ n, P (k)).
4
S YNTHÈSE : DIFFÉRENTS TYPES DE RAISONNEMENT
Nous récapitulons les différents types de raisonnement que nous venons de voir. Lorsque vous aurez quelque chose à
démontrer, vous pourrez vous appuyer sur une des méthodes qui suit.
Méthode (La déduction)
À partir d’hypothèses, arriver à la conclusion par une suite d’implications.
La déduction correspond à l’implication logique. Elle s’appuie sur le raisonnement “Si. . . , alors. . . ”.
C’est ce que les anciens appelaient le syllogisme.
Exemple
Tout homme est mortel, or Socrate est un homme, donc Socrate est mortel.
Exemple
Le sophisme est un raisonnement absurde obtenu par une déformation du syllogisme :
Tout homme est mortel, or mon chat est mortel, donc mon chat est un homme.
Pour bien voir la différence entre le sophisme et le syllogisme on peut décomposer les énoncés. Le syllogisme qui est
correct peut s’écrire ainsi :
(homme ⇒ mortel) ⇒ (Socrate est un homme ⇒ Socrate est mortel)
On est parti de l’hypothèse que tout homme soit mortel. C’est-à-dire que le fait d’être un homme implique que l’on
soit mortel.
Cette hypothèse implique que si Socrate vérifie la prémisse “être homme” alors il vérifie aussi la conséquence : être
mortel.
Le sophiste utilise mal l’hypothèse car au lieu d’utiliser l’implication
homme ⇒ mortel
Il lui substitue la réciproque (qui est manifestement fausse) : mortel ⇒ homme
Méthode (la contraposée)
Si la conséquence est fausse, c’est que sa cause n’est pas vérifiée.
C’est la traduction de la contraposée logique :
¡
¢
¡
¢
p ⇒ q ⇐⇒ ¬q ⇒ ¬p
Exemple
Par exemple, si on me demande de montrer qu’une pierre n’est pas un homme, il suffit de montrer qu’elle n’est
pas mortelle.
On voit bien alors qu’elle ne peut être humaine car “être humaine ⇒ être mortelle”.
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Exemple
Montrez que, si a + b est irrationnel alors ou a ou b est irrationnel.
Solution :
Par contraposée, cela revient à montrer que “si a et b sont tous les deux rationnels, alors a + b est rationnel.”
On suppose donc a et b rationnels, il existe donc (p, q, p 0 , q 0 ) ∈ Z4 avec q q 0 6= 0 tels que a =
p
p0
p
q
et b =
p0
.
q0
pq 0 +p 0 q
Alors a + b = q + q 0 = q q 0 est un nombre rationnel.
On conclut donc par contraposée.
Méthode (le raisonnement par l’absurde)
Pour démontrer qu’une proposition est vraie, on montre qu’il est absurde de la supposer fausse.
Pour rédiger un raisonnement par l’absurde, prenez toujours l’habitude de spécifier que vous faites un tel type de
raisonnement et quelle est l’hypothèse qui est absurde.
Exemple
p
Montrez que 2 est un nombre irrationnel.
Solution :
p
On suppose
l’absurde que 2 est un nombre rationnel, il existe donc (p, q) ∈ Z2 premiers entre eux avec q 6= 0
p par
p
tels que 2 = q .
Lorsque l’on travaille avec des fractions en arithmétique, on suppose généralement que p et q sont premiers entre eux :
ils n’ont pas de diviseur commun (autre que 1 et −1).
Cette hypothèse supplémentaire n’est absolument pas restrictive car si n divise à la fois p et q, alors on pourrait simplifier par n la fraction.
p2
.
q2
2
On a donc 2 =
C’est-à-dire p = 2q 2 .
Donc p 2 est un nombre pair, ce qui implique que p l’est aussi (voir exercice de TD).
Donc p = 2p 0 et 2q 2 = (2p 0 )2 = 4p 02 .
q 2 = 2p 02 .
q 2 est donc également pair, donc q l’est aussi.
Ainsi 2 divise à la fois p et q, ce qui est absurde par hypothèse.
Le raisonnement par l’absurde sert souvent à démontrer qu’une conséquence ne peut être vérifiée. Dans ce cas, cela
devient une forme particulière du raisonnement par contraposée.
Exemple
Soient trois points du plan A, B,C tels que AB = 4 cm, AC = 5 cm et BC = 7 cm. Montrez que les droites (AB ) et
(AC ) ne sont pas perpendiculaires.
Solution :
On suppose par l’absurde que (AB ) ⊥ (AC ),
alors ABC est rectangle en A.
Donc d’après le théorème de Pythagore,
AB 2 + BC 2 = BC 2 .
Or AB 2 + BC 2 = 16 + 25 = 41 6= 72
C’est absurde, donc (AB ) et (AC ) ne sont pas perpendiculaires.
Méthode (Disjonction des cas)
Pour montrer qu’une propriété est vraie dans certains cas, on étudie chaque situation séparément.
Exemple
Pour n ∈ Z, donnez la parité de n(n + 1).
Solution :
Un entier est soit pair, soit impair. On va donc étudier chaque cas séparément.
1er cas : n est pair, donc n s’écrit sous la forme n = 2k avec k ∈ Z.
Donc n(n + 1) = 2k(2k + 1) est divisible par 2 (il s’écrit 2q avec q = k(2k + 1) ∈ Z).
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Donc n(n + 1) est pair.
2ème cas : n est impair, donc n s’écrit sous la forme n = 2k + 1 avec k ∈ Z.
Donc n(n + 1) = (2k + 1)(2k + 2) = 2 (k + 1)(2k + 1) est divisible par 2
Donc n(n + 1) est pair.
Ainsi,
∀n ∈ Z, n(n + 1) est pair
Méthode (Par analyse-synthèse)
Pour trouver des solutions :
• Analyse (condition nécessaire) : on commence par supposer que l’on connait ces solutions et on en déduit des conditions qu’elles doivent vérifier.
• Synthèse (condition suffisante) : on montre que si un objet vérifie ces conditions, alors il est bien solution
Ce type de raisonnement répond souvent à la question “montrez qu’il existe un unique . . . tel que . . . ”.
Analyse (unicité) : On suppose que le x existe et on en déduit des conditions nécessaires sur lui. Ces conditions vont
montrer qu’alors, ce x (s’il existe) est unique.
Synthèse (existence) : on va construire un objet qui vérifie les hypothèses trouvées dans l’analyse et on montera qu’il
est solution (condition suffisante). Ceci prouvera qu’un tel objet existe.
Dans ce genre de raisonnement, on voit bien que pendant l’analyse (pour montrer l’unicité), on suppose qu’un tel
objet existe, mais on n’en est pas sûr. La synthèse doit donc être rédigée pour montrer que cet objet existe bien. Si vous
oubliez la synthèse (qui tient souvent en un mot : trivial), votre raisonnement est incomplet.
Exemple
Prouvez que toute fonction f définie sur R s’écrit de manière unique comme somme d’une fonction paire et d’une
fonction impaire.
Solution :
Analyse : On suppose que f s’écrit comme somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire et on cherche
des conditions nécessaires sur ces deux fonctions.
On écrit donc f = g + h en supposant g paire et h impaire.
∀x ∈ R,
½
f (x) = g (x) + h(x)
f (−x) = g (−x) + h(−x) = g (x) − h(x)
Si on fait la demi-somme et la demi-différence on trouve donc
(
f (x)+ f (−x)
g (x) =
2
∀x ∈ R,
f (x)− f (−x)
h(x) =
2
Donc g et h sont nécessairement de la forme ci-dessus : si elles existent elles sont uniques.
Par contre, nous n’avons pas montré que la condition est suffisante : c’est l’objet de la synthèse.
Synthèse : On pose pour tout x ∈ R,
g (x) =
f (x) + f (−x)
2
et
h(x) =
f (x) − f (−x)
2
g et h sont bien définies et il est trivial que f = g + h.
Il reste à montrer que g est paire et que h est impaire (ce qui est aussi trivial).
Donc g et h ainsi définies conviennent.
Conclusion : Toute fonction f s’écrit de manière unique comme somme d’une fonction paire et d’une fonction
impaire.
f (x)+ f (−x)
f (x)− f (−x)
, la fonction impaire est x 7→
.
Et la fonction paire est x 7→
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Méthode (Récurrence)
Pour montrer qu’une propriété P (n) est vraie pour tout n ∈ N,
a) on montre que P (0) est vraie,
b) on suppose que pour un n ∈ N quelconque, P (n) est vraie et on montre qu’alors P (n + 1) est aussi vraie.
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