CORRECTION DM1

CORRECTION DM1
24 septembre 2013
Activité _Somme de cubes
1.
Problème ouvert à l’aide de l’ordinateur
Le but de ce problème est de comparer les deux sommes s n = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 et Sn = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 3 .
A. Conjecturer le lien entre les deux sommes à l’aide du logiciel adapté.
Vous pourrez calculer les premiers termes de chacune des deux suites pour 𝑛 = 1, puis pour 𝑛 = 2 etc…
Suite à la lecture des termes sur le tableur, nous pouvons émettre la
conjecture suivante : 𝑆𝑛 = 𝑠𝑛 ²
B.
Démontrer cette conjecture en utilisant le raisonnement
adapté.
On utilisera : sn = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 =
𝑛(𝑛+1)
2
.
Soit 𝑛 ∈ ℕ∗ . Posons 𝑃𝑛 la propriété « 𝑆𝑛 = 𝑠𝑛 ² »
Démontrons 𝑃𝑛 par récurrence :
Initialisation:
Vérifions que 𝑃1 est vraie, c’est-à-dire : « 𝑆1 = 𝑠1 ² »
Or 𝑆1 = 13 = 1 = 1² = 𝑠1 ².
𝑃1 est donc vraie.
Hérédité :
Soit 𝑘 ∈ ℕ∗ . Supposons que 𝑃𝑘 est vraie c’est-à-dire « 𝑆𝑘 = 𝑠𝑘 ² ».
Montrons que 𝑃𝑘+1 est vraie c’est-à-dire « 𝑆𝑘+1 = 𝑠𝑘+1 ² =
(𝑘+1)2 [𝑘+2]²
2²
».
𝑘
3
3
3
Or : 𝑆𝑘+1 = ∑𝑘+1
𝑖=1 𝑖 = ∑𝑖=1 𝑖 + (𝑘 + 1) par décomposition de la somme.
D’où : 𝑆𝑘+1 = 𝑆𝑘 + (𝑘 + 1)3 par définition de 𝑆𝑘
Ainsi : 𝑆𝑘+1 = 𝑠𝑘 ² + (𝑘 + 1)3 grâce à l’hypothèse de récurrence
Sachant que : sn = ∑𝑛𝑖=1 𝑖 =
𝑛(𝑛+1)
𝑘(𝑘+1)
2
2
, 𝑆𝑘+1 = (
En factorisant : 𝑆𝑘+1 = (𝑘 + 1)2 [
Finalement : 𝑆𝑘+1 =
Donc 𝑃𝑘+1 est vraie.
Conclusion :
𝑘2
4
(𝑘+1)2 [𝑘 2 +4𝑘+4]
4
)² + (𝑘 + 1)3
+ 𝑘 + 1]
=
(𝑘+1)2 [𝑘+2]²
2²
en reconnaissant une identité remarquable.
CORRECTION DM1
24 septembre 2013
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Nous avons vérifié que 𝑃1 est vraie.
Pour tout 𝑘 ∈ ℕ∗ , nous avons montré que si 𝑃𝑘 est vraie, alors 𝑃𝑘+1 est vraie.
Donc pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗ , 𝑃𝑛 est vraie.
2.
Algorithme de calcul sur calculatrice
On désire créer un algorithme permettant de donner les valeurs successives de la somme sn = ∑𝑛𝑘=1 𝑘 .
Faites tourner l’algorithme sous forme de boite et flêches ci-contre et déterminer s2 , s10, s20.
Voici les deux algorithmes dévoilés sur le logiciel PYTHON.