Exercice 04 Sn est la somme des nombres entiers de 1 à n : Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n Cn est la somme des cubes des nombres entiers de 1 à n : 1°) Par définition S1 = 1 S2 = 1 + 2 donc S2 = 3 S3 = 1 + 2 + 3 donc S3 = 6 S4 = 1 + 2 + 3 + 4 donc S4 = 10 S5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 donc S5 = 15 d'autre part C1 = 13 Cn = 13 + 23 + 33 + ... + n3 C2 = 13 C3 = 13 + 23 =1+8 + 23 33 C1 = 1 donc C2 = 9 donc C3 = 36 C4 = 13 + 23 + 33 + 43 = 1 + 8 + 27 + 64 donc C4 = 100 C5 = donc C5 = 225 13 + 23 + + 33 = 1 + 8 + 27 donc + 43 + 53 = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 On peut conjecturer que Cn = (Sn) 2 2°) En utilisant l'algorithme ci-contre réalisé avec AlgoBox, on obtient par exemple : ou NB : Avec Algobox, pour n ³ 1413, le logiciel est obligé d'arrondir la valeur de C (car elle dépasse 1012) et par conséquent il n'affiche plus que la propriété est vraie. http://xmaths.free.fr TS − Récurrence − Corrections 2 2 3°) Considérons, pour n ³ 1, la proposition P(n) : Cn = n (n + 1) 4 Initialisation : n2(n + 1)2 = 12 x 22 = 4 = 1 Pour n = 1, C1 = 1 et 4 4 4 La proposition P(1) est donc vraie. (On pourrait vérifier la proposition P(n) pour n = 1 , 2 , 3 ... cela peut faciliter la compréhension, mais c'est sans utilité pour le raisonnement) Hérédité : Supposons que la proposition P(n) est vraie pour un entier donné n ³ 1 . 2 2 2 2 On a donc Cn = n (n + 1) c'est-à-dire 13 + 23 + 33 + ... + n3 = n (n + 1) 4 4 2 2 On veut alors démontrer que P(n+1) est vraie, c'est-à-dire que Cn+1 = (n + 1) (n + 2) 4 En rajoutant (n + 1)3 à chacun des deux membres on obtient 2 2 13 + 23 + 33 + ... + n3 + (n + 1)3 = n (n + 1) + (n + 1)3 4 2 n donc Cn+1 = (n + 1)2 + (n + 1) 4 2 donc Cn+1 = (n + 1)2 n + 4n + 4 4 2 (n + 2) 2 donc Cn+1 = (n + 1) x 4 2(n + 2)2 (n + 1) donc Cn+1 = 4 P(n + 1) est alors vraie. On a donc justifié que P(1) est vraie (initialisation) et que pour tout entier n ³ 1 P(n) ⇒ P(n+1) (hérédité) On a donc démontré par récurrence que la proposition P(n) est vraie pour tout entier n ³ 1. On a donc démontré que pour tout entier n ³ 1 , 2 2 Cn = n (n + 1) 4 On sait déjà (ou voir exercice 1) que Sn = n(n + 1) 2 On justifie donc le résultat conjecturé à la première question : Cn = (Sn)2 Cn = 13 + 23 + 33 + ... + n3 peut aussi s'écrire Cn = k=n ∑ k3 k=1 On peut obtenir une expression de cette somme avec un logiciel de calcul formel (ou avec une calculatrice pouvant effectuer du calcul formel). http://xmaths.free.fr TS − Récurrence − Corrections pour tout entier n ³ 1