Logique et ensembles - Cahier de texte en ligne

Logique et ensembles
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Logique
1.1 Assertion
Une assertion est un énoncé pouvant être vrai ou faux suivant le contexte. Les propositions,
propriétés, lemmes, théorèmes sont des assertions vraies. Pour écrire qu'une assertion P est
vraie, on peut écrire P est vraie ou encore on a P voire lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté
simplement P .
1.2 Connecteurs logiques
Ils permettent de construire de nouvelles assertions. Les diérents connecteurs sont :
¬
∧
∨
⇒
⇔
négation
conjonction
disjonction
implication
équivalence
Soient P et Q deux assertions :
l'assertion ¬P (se lit non P ) est vraie ssi P est fausse ;
l'assertion P ∧ Q (s'écrit aussi et se lit P et Q ) est vraie ssi P est vraie et Q est vraie ;
l'assertion P ∨ Q (s'écrit aussi et se lit P ou Q ) est vraie ssi P est vraie ou Q est vraie ;
l'assertion P ⇒ Q (se lit P implique Q et peut s'écrire en français : Si on a P alors
on a Q ) est vraie ssi P est fausse, ou bien P est vraie et Q est vraie ;
l'assertion P ⇔ Q ( se lit P équivaut à Q et peut s'écrire en français : On a P si et
seulement si on a Q ) est vraie ssi P est vraie et Q est vraie, ou bien P est fausse et Q
est fausse.
Exemple
Remarque Attention à ne pas confondre le ou mathématique (l'un ou l'autre ou les deux)
avec le ou exclusif (l'un ou l'autre, mais pas les deux). Pour utiliser le ou exclusif dans un
discours mathématique, écrivez Ou bien . . . ou bien . . . .
Condition nécessaire, susante
Avoir P ⇒ Q signie qu'une condition susante pour que Q soit vraie est que P soit vraie
(il sut que que P soit vraie pour que Q le soit) ; cela signie aussi qu'une condition nécessaire
pour que P soit vraie est que Q soit vraie (il faut que Q soit vraie pour que P le soit).
Avoir P ⇔ Q signie qu'une condition nécessaire et susante en abrégé CNS pour que
P soit vraie est que Q soit vraie (il faut et il sut que Q soit vraie pour que P le soit).
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Exemple
1.3 Tables de vérité
Bâtir la table de vérité d'une assertion construite à l'aide de connecteurs logiques, c'est
récapituler dans un tableau les valeurs de vérité (Vrai ou Faux ) prises par cette assertion en
fonction des valeurs des assertions qui la composent.
Voici quelques exemples issus des dénitions :
P
V
F
¬P
F
V
P
V
V
F
F
Q P ∧Q P ∨Q P ⇒Q P ⇔Q
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
V
Remarque En construisant la table de vérité de ¬P ∨ Q, que constate-t-on ?
Exercice Montrer à l'aide d'un table de vérité que les assertions suivantes sont vraies :
1. [(P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)] ⇒ (P ⇒ R)
2. [P ∧ (P ⇒ Q)] ⇒ Q
3. [(¬Q ⇒ P ) ∧ (¬Q ⇒ ¬P )] ⇒ Q
1.4 Propriétés des connecteurs à connaître
¬(¬P ) équivaut à P
P ⇒Q
”
¬P ∨ Q
P ⇒Q
”
¬Q ⇒ ¬P
P ⇔Q
”
(P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P )
¬(P ∧ Q)
”
¬P ∨ ¬Q
¬(P ∨ Q)
”
¬P ∧ ¬Q
¬(P ⇒ Q)
”
P ∧ ¬Q
1.5 Quanticateurs
Ils permettent de construire de nouvelles assertions à partir d'assertions dépendant de variables (x, y, n, . . .).
∀ quanticateur universel
quel que soit , pour tout ∃ quanticateur existentiel
il existe ∃! quanticateur d'existence et d'unicité il existe un unique 2
Remarque Attention a NE PAS utiliser les symboles de connecteurs ou de quanticateurs
dans des phrases par exemple en tant qu'abréviation mais uniquement dans des assertions
composées de symboles mathématiques (équations, etc.) : préférez-leur la version "en français".
Cela évitera par exemple l'erreur de logique classique qui consiste à confondre On a P . Or on
a P ⇒ Q, donc on a Q ("modus ponens" qui démontre l'assertion Q) avec P ⇒ Q (ce qui
ne démontre PAS Q).
1.6 Propriétés des quanticateurs à connaître
1.6.1 Permutation des quanticateurs
∀x ∀y P (x, y) équivaut à ∀y ∀x P (x, y) ;
∃x ∃y P (x, y) équivaut à ∃y ∃x P (x, y) ;
Attention ! ∀x ∃y P (x, y) n'est PAS équivalent à ∃y ∀x P (x, y).
1.6.2 Négation des quanticateurs
¬(∀x P (x)) équivaut à ∃x ¬P (x) ;
¬(∃x P (x)) équivaut à ∀x ¬P (x).
Exemple
1.7 Schémas de raisonnement
Pour démontrer un théorème, une proposition, on utilise souvent l'un des schémas de raisonnement suivants.
1.7.1 Raisonnement direct
On veut montrer H ⇒ C . On suppose que les hypothèses H sont vraies et on prouve la
conclusion C .
1.7.2 Raisonnement par l'absurde
On veut montrer une assertion C . On suppose que C est fausse et on en déduit une contradiction, une impossibilité. On dit qu'on a ainsi démontré par l'absurde l'assertion C .
Cela provient du fait que l'assertion [(¬C ⇒ A) ∧ (¬C ⇒ ¬A)] ⇒ C est vraie.
1.7.3 Raisonnement par contraposition
On veut montrer H ⇒ C , qui est équivalente à ¬C ⇒ ¬H . On suppose que la conclusion C
est fausse, et on prouve que les hypothèses H sont fausses.
Remarque Lorsque la conclusion est du type
A ∨ B , ce qui équivaut à ¬A ⇒ B , on peut
supposer que A est fausse et prouver B .
Lorsque la conclusion est du type A∧B , on prouve A et B séparément. Cela peut se produire
par exemple lorsqu'on veut montrer une équivalence (= 2 implications), une existence+unicité,
une égalité d'ensembles (= 2 inclusions), etc.
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