1 - IG2I

1ère année
IG2I Lens
DS d’algèbre. 05 mars 2008
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C. SUEUR.
Exercice 1
Soient E et F deux espaces vectoriels définis sur le corps commutatif R. On définit une application
linéaire h de E sur F. e1 e 2 e3  et  f 1 f 2 f 3  sont respectivement les bases de E et F. L’application linéaire
h est définie de la manière suivante :
h(e1 )  f 2  f 3 , h(e2 )  f1  f 2 , h(e3 )  f1  f 3
1)
2)
3)
4)
Donner la matrice A représentant l’application linéaire h
Caractériser le noyau et l’image de l’application h (base et dimension)
L’application linéaire est-elle injective ? L’application linéaire est-elle surjective ?
Les deux espaces vectoriels E et F sont-ils isomorphes (expliquer)
On définit un nouveau triplet de vecteurs
 f1
f 2 f 3 dans F, avec f 1  f 1 , f 2  f 2  f 3 et f 3  f 2  f 3 .
5) Montrer que  f 1 f 2 f 3 forme une base de F
6) Donner la matrice de passage P de la base  f 1 f 2 f 3  à la base  f 1 f 2 f 3
7) Calculer la nouvelle représentation matricielle A de l’application relativement aux bases
e1 e2 e3  et f1 f 2 f 3
On définit désormais une application linéaire f de F sur H.
linéaire f est définie de la manière suivante :
g1 g 2 
est une base de H. L’application
f ( f1)  g1  g 2 , f ( f 2 )  g 2 et f ( f 3 )  g1  g 2 .
8) Donner la matrice B représentant l’application linéaire f
9) Caractériser l’application linéaire notée g entre E et H (expression matricielle)
Exercice 2
Montrer que si deux espaces vectoriels de dimension finie E et F sont isomorphes, alors dimE  dimF
Exercice 3
Pour tout entier naturel m, E m désigne l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de
degré inférieur ou égal à m. On définit une suite de polynômes Pn (x) définis par
P0 ( x)  1 , P1 ( x)  x , …, Pn ( x) 
x( x  n) n 1
pour n  1
n!
1) Montrer que P0 , P1 ,..., Pm  forme une base de E m
2) Montrer que pour n  1 , Pn ( x)  Pn1 ( x  1) et en déduire que pour n  1 Pn (1)  0
3) Démontrer que pour tout entier naturel k  n , on a Pn( k ) (k )  0 ( Pn(k ) ( x) désigne la dérivée
d’ordre k de Pn (x) et par convention Pn(0) ( x)  Pn ( x)
4) En déduire que pour tout polynôme P de E m , les coordonnées de ce polynôme dans la base
P0 , P1 ,..., Pm  sont les nombres
P (k ) (k ) , k variant de 0 à m.