PCSI - colle de mathématiques n 13 Dimension finie. 1) Familles

PCSI - colle de mathématiques n◦ 13
Dimension finie.
1) Familles finies de vecteurs.
Familles libres, liées, génératrices, bases, coordonnées. Remarques sur ces notions relativement à un sous-espace. Base canonique
de Kn , de Kn [X], de M(n,p) (K). Base de E × F construite à partir d’une base de E et d’une base de F . La donnée d’une famille
S = (e1 , ..., ep ) de vecteurs de E détermine une application linéaire ϕS : (x1 , ..., xp ) 7→ (e1 , ..., ep ). ϕS est injective ssi S est libre,
surjective ssi S est génératrice, bijective ssi S est une base.
Effet sur une famille libre, liée, ou génératrice des opérations élémentaires. Surfamille d’une famille génératrice, d’une famille liée.
Sous-famille d’une famille libre.
Matrice d’un vecteur ou d’une famille de vecteurs relativement à une base.
Échelonnement : des degrés d’une famille de polynômes, d’une famille de Kn , de la matrice d’une famille de vecteurs. De telles
familles sont libres.
2) Dimension d’un espace vectoriel.
Lemme : si une famille de n vecteurs engendre une famille de n + 1 vecteurs, alors la seconde est liée. Théorème de la dimension :
s’il existe une base de n vecteurs, alors toutes les bases ont n vecteurs. On dit que E est de dimension (finie) n. Convention :
dim{0} = 0. Dimension des espaces usuels. Deux espaces de dimension finie sont isomorphes ssi ils ont même dimension. (En
particulier, dim E = n si et seulement si E ∼ Kn ). Formule de changement de base pour un vecteur, pour une famille de vecteur
(on remarque que la matrice de passage est carrée, son inverse est la matrice de passage décrivant le changement de base opposé).
Théorème : E est de dimension finie ssi il existe une famille finie de vecteurs, génératrice de E.
3) Dimension d’un sous-espace vectoriel.
Théorème de la base incomplète. Si F est un sev de E et dim E = n, alors F est de dim finie et dim F ≤ n, avec égalité ssi F = E.
Existence d’un supplémentaire en dimension finie. Dimension d’une somme directe. Dimension d’un supplémentaire. Si dim E = n,
F et F 0 sont supplémentaires ssi ils vérifient 2 des 3 propriétés : F ∩ F 0 = {0}, F + F 0 = E, dim E = dim F + dim F 0 . Formule de
Grassmann. Rang d’une famille de vecteurs. Les opérations élémentaires conservent le rang. Application à l’échelonnement d’une
famille et calcul de rangs.
Rang d’une matrice = rang des colonnes = rang des lignes : une matrice est de rang r si et seulement si elle s’écrit M = U Jr V
où U , V inversibles et Jr = [αi,j ] avec αi,i = 1 si i ≤ r et αi,j = 0 dans les autres cas.
4) Applications linéaires en dimension finie.
Si B = (ei ) base de E et S = (e0i ) famille de E 0 , il existe une unique AL f de E dans E 0 telle que f (ei ) = e0i pour tout i. f est
injective ssi S est libre, surjective ssi S est génératrice, bijective ssi S est une base.
Matrice MB,C (f ) associée à une AL de E (de base B) dans F (de base C). Isomorphisme f 7→ MB,C (f ), dimension de L(E, F ).
Isomorphisme (d’ev et d’anneaux) f 7→ MB (f ). Changement de base(s) pour la matrice d’une application linéaire. Matrice d’une
homothétie, d’une projection, d’une symétrie, d’une affinité.
Théorème du rang : si f est une AL de E dans E 0 , f définit un isomorphisme de tout supplémentaire de Ker f sur Im f . Si E est
de dimension finie, on a : dim Ker f + dim Im f = dim E. Rang d’une application linéaire. Invariance du rang par composition avec
une AL injective. Un endomorphisme f de E est inversible ssi rg f = dim E. Conséquence : si A et B carrées, AB = In ou BA = In
suffit pour montrer A inversible et B = A−1 .
NB : les notions de matrices équivalentes ou semblables sont hors programme. Les matrices de famille de formes linéaires feront
l’objet d’un autre chapitre (systèmes et déterminants).
Questions de cours.
1) On définit une unique application linéaire f par l’image d’une base B. Propriétés de f selon que f (B) est libre, génératrice,
ou une base.
2) Caractérisation des supplémentaires à l’aide de la dimension.
3) Théorème de la base incomplète.
4) Formule de Grassmann
5) Base d’un espace produit.
6) Théorème du rang
Prochains programmes : Géométrie différentielle, systèmes linéaires et déterminants, espaces euclidiens.