COURS PCSI R. FERREOL 04/05 B) APPLICATIONS LINÉAIRES
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COURS PCSI 10. ALGÈBRE LINÉAIRE : APPLICATIONS LINÉAIRES R. FERREOL 04/05 B) APPLICATIONS LINÉAIRES REM : dans ce cours, , et désignent des -espaces vectoriels. I) GÉNÉRALITÉS. 1) Dé…nition. DEF : Soit une application de dans ; on dit que est -linéaire (ou que c’est un morphisme de -espaces vectoriels) si est un morphisme pour les deux lois dé…nies sur et c’est-à-dire si ! ! ! ! ! ! 1. 8¡ ¡ 2 (¡ +¡ ) = (¡ ) + (¡ ) ! ¡ ! ¡ ! ¡ 2. 8 2 8 2 ( ) = ( ) REM 1: on peut regrouper 1. et 2. en un seul énoncé : ! ! ! ! ! ! 3 8¡ ¡ 2 8 2 (¡ + ¡ ) = (¡ ) + (¡ ) D1 REM 2 : 1. signi…e que est un morphisme du groupe ( +) vers le groupe ( +) : mais ceci ne su¢t pas pour que soit linéaire ; par exemple, 7! est un morphisme additif de C dans C, mais elle n’est pas C-linéaire (par contre, elle est R-linéaire). Premières propriétés : si est linéaire : ³¡ ! ´ ¡ ! 0 = 0 à ! X ¡ X ! ! ! ! = (¡ ) (donc ( (¡ )) = ( (¡ ))) =1 =1 D2 2) Exemples. ) Homothéties vectorielles. ¡ ! ¡ DEF : pour tout scalaire et tout ! de on pose (¡ ) = ! ; l’application 2 est appelée l’homothétie (vectorielle) de rapport PROP : les homothéties sont linéaires. D3 Propriétés immédiates : 1 = = ± = = ± ¡1 est bijective ssi 6= 0 et ( ) = 1 L’ensemble () des homothéties vectorielles de de rapport non nul ¡ ! est un sous-groupe de ( () ±) isomorphe à ( ¤ £) si n’est ps réduit à f 0 g D4 PROP : si est une droite (donc par exemple si = ) les homothéties sont les seules applications linéaires de dans D5 ) Projections vectorielles. Elles ont été dé…nies au moment des sommes directes. PROP : les projections sont linéaires. D6 1 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com 10. ALGÈBRE LINÉAIRE : APPLICATIONS LINÉAIRES COURS PCSI R. FERREOL 04/05 Propriétés immédiates : si = © , soient (resp ) la projection de base (resp ) et de direction (resp ) : ½ ! ¡ 0 2 ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ 0 0 8 2 = ( ) , ¡ ! ! 0 ¡¡ 2 ± = ± = 0 + = 1 = si = = 1 = si = = 0 D7 ) Exemples de 2 dans 2 E1 ) Exemples en analyse. E2 : limite, dérivée, intégrale. 3) Vocabulaire. Une application linéaire de dans lui-même est appelée un endomorphisme de Une application linéaire bijective est appelée un isomorphisme d’espaces vectoriels. Un endomorphisme de bijectif est appelé un automorphisme de E3 II) ESPACE VECTORIEL DES APPLICATIONS LINÉAIRES ( ) Notation : ( ) est l’ensemble des applications linéaires de dans : ( ) = f 2 est linéaire} Quand = on abrège la notation en () (ou ()) PROP : ( ) est un sous-espace vectoriel de D8 Par exemple, si comme ci-dessus et sont les deux projections associées à la décomposition = © alors pour tous scalaires + est linéaire. Ceci donne de nouveaux exemples d’endomorphismes de ; en particulier : DEF : l’application = ¡ est appelée la symétrie (vectorielle) de base et de direction (ou symétrie par rapport à et parallèlement à ) Propriétés immédiates : ½ ! ¡ ! +¡ 0 2 ! ¡ ! 0 ¡¡ 2 = 2 ¡ ± = 1 = (on dit que est involutive) si = = 1 = si = = ¡1 = ¡ ! ! ¡ ! 8¡ ¡ 0 2 ! 0 = (¡ ) , D9 Et plus généralement : DEF : l’application = + est appelée la dilatation (ou a¢nité) (vectorielle) de base , de direction et de rapport REM : quand = 0 on retrouve les ................, quand = ¡1 on retrouve les ............, et pour = 1 l’............ III) COMPOSITION DES APPLICATIONS LINÉAIRES 2 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com COURS PCSI 10. ALGÈBRE LINÉAIRE : APPLICATIONS LINÉAIRES R. FERREOL 04/05 PROP : la composée de deux applications linéaires est linéaire ; plus précisément : si 2 ( ) et 2 ( ) alors ± 2 ( ) D10 La composition des application dé…nit donc une loi de composition interne dans () ; on a alors la structure remarquable : PROP : ( () + ±) est un anneau, qui est non commutatif et non intègre dès que dim > 2 D11 Exemple d’application : avec la notation des a¢nités ci-dessus : ± = IV) NOYAU ET IMAGE D’UNE APPLICATION LINÉAIRE. 1) Noyau. a) Dé…nition et premières propriétés. DEF : le noyau d’une application linéaire est l’ensemble des vecteurs de l’ensemble de départ qui ont pour image le vecteur nul de l’espace d’arrivée ; si 2 ( ) ³¡ ! ¡ ! ´ ! ! ker = f¡ 2 (¡ ) = 0 g = ¡1 0 REM : ker vient de l’allemand ”Kern” : noyau (introduit par Hilbert en 1904), qui a donné l’anglais ”kernel” : amande. PROP : le noyau d’une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l’espace de départ. D12 REM: cette proposition est souvent utilisée pour démontrer qu’une partie d’un ev est en fait un sev. b) Exemples. E4 c) Noyau et injectivité. ¡ ¡ LEMME : si 2 ( ) et ! 2 alors la di¤érence de deux solutions de l’équation d’inconnue ! 2 : ! ! () : (¡ )=¡ est un élément du noyau de ! REM : une autre façon de dire la même chose est de dire que si ¡ 0 est une solution particulière de () alors les autres ¡ ! solutions sont obtenues en ajoutant à 0 un élément de ker ; sous forme symbolique : ! ! ¡1 (¡ )=¡ 0 + ker ¡ ! CORO : si 2 ( ) et ! 2 alors ¡1 (¡ ) est soit vide soit un sous-espace a¢ne de de direction le noyau de PROP : une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit à zéro : ! ¡ est injective , ker = f 0 g D13 E5 2) Image. 3 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com COURS PCSI 10. ALGÈBRE LINÉAIRE : APPLICATIONS LINÉAIRES R. FERREOL 04/05 DEF : l’image d’une application linéaire est l’ensemble des images des vecteurs de l’espace de départ : ! ! ! ! Im ( ) = f¡ 2 9¡ 2 (¡ ) = ¡ g = () PROP : l’image d’une application linéaire est un sous-espace vectoriel de l’espace d’arrivée. D14 REM : par dé…nition de la surjectivité, une application linéaire est surjective si et seulement si son image est égale à son espace d’arrivée : est surjective , Im = PROP : si B est une base de E, Im ( ) = Vect( (B)) E6 Bien retenir que le noyau d’une projection est sa direction et que son image est sa base. V) ISOMORPHISMES. a) Isomorphismes et espaces isomorphes. Rappelons qu’un isomorphisme (d’espaces vectoriels) est une application linéaire bijective. Nous noterons ( ) l’ensemble des isomorphismes de sur PROP : la composée de deux isomorphismes est un isomorphisme, et la réciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme : D15 2 ( ) 2 ( ) ) ± 2 ( ) 2 ( ) ) ¡1 2 ( ) DEF : deux espaces vectoriels et sont dits isomorphes (notation ¼ ) s’il existe un isomorphisme de vers autrement dit : ¼ , ( ) 6= ; PROP : (corollaire de la prop. précédente) : la relation d’isomorphie ¼ est une relation d’équivalence entre espaces vectoriels. D16 Exemple important : si = © alors ¼ £ D17 b) Isomorphismes et dimension. ! LEMME : soit 2 ( ) B = (¡ 1 ¡ ! ) base de , alors ! est injective (1) , l’image ( (¡ 1 ) (¡ ! )) de B par est une famille libre de (2) ! est surjective (3) , l’image ( (¡ 1 ) (¡ ! )) de B par est une famille génératrice de (4) D18 est bijective (donc est un isomorphisme) , TH de caractérisation des espaces isomorphes en dimension …nie : Deux espaces vectoriels de dimension …nie sont isomorphes si et seulement s’ils ont la même dimension. D19 VI) THÉORÈMES DE LA RESTRICTION, THÉORÈME DU RANG. 4 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com COURS PCSI 10. ALGÈBRE LINÉAIRE : APPLICATIONS LINÉAIRES R. FERREOL 04/05 1) Théorème de la restriction. TH (de la restriction) : la restriction d’une application linéaire à un supplémentaire de son noyau dé…nit un isomorphisme de ce supplémentaire sur son image, autrement dit si (H) : 2 ( ), = ker © et 1 : ½ ! Im ( ) 7! () alors (C) : 1 est bijective, donc est un isomorphisme. D20 REM : on peut aussi dire de façon équivalente que la restriction 0 : ½ ! est injective et que Im 0 = Im 7! () COROLLAIRE 1 : un supplémentaire du noyau d’une application linéaire est toujours isomorphe à l’image de cette application linéaire. D21 COROLLAIRE 2 : deux supplémentaires d’un même sous-espace vectoriel sont toujours isomorphes. D22 2) Codimension, hyperplans. TH : d’après le corollaire 2 ci-dessus, si un sous-espace vectoriel de possède un supplémentaire de dimension …nie, tous les autres supplémentaires ont la même dimension ; cette dimension est par dé…nition la codimension de REM : si est de dimension …nie, codim = dim ¡ dim DEF : un hyperplan de est un sous-espace de codimension 1 (autrement dit, un sous-espace dont un supplémentaire est une droite). Ex : en dimension 3, les hyperplans sont les plans, mais en dimension 2, les hyperplans sont les droites... 3) Théorème du rang. THÉORÈME DU RANG : (application directe du corollaire 1 ci-dessus) : la somme des dimension du noyau et de l’image d’une application linéaire (dont l’espace de départ est de dimension …nie) est égale à la dimension de l’espace de départ : dim ker + dim Im = dim si dim +1 D23 COROLLAIRE 1 : la dimension de l’image d’une application linéaire est inférieure ou égale à la dimension de l’espace de départ. D24 COROLLAIRE 2 : une application linéaire diminue les dimensions au sens large, plus précisément : si 2 ( ) sev DE DIMENSION FINIE de , alors dim ( ()) 6 dim D25 COROLLAIRE 3 pour qu’une application linéaire entre deux espaces DE MÊME DIMENSION il su¢t qu’elle soit injective (ou qu’elle soit surjective). D26 E7 5 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com FINIE soit bijective, COURS PCSI 10. ALGÈBRE LINÉAIRE : APPLICATIONS LINÉAIRES R. FERREOL 04/05 MISE EN GARDE : une croyance très répandue au sujet des endomorphismes (que j’appelle ”le faux théorème du rang”) est que = ker © Im (au lieu de dim = dim ker + dim Im ) : elle est fausse, comme le montre l’exemple de l’endomorphisme de K2 dé…ni par ( ) = ( 0) dont l’image et le noyau sont égaux à = ((1 0)) 4) Rang d’une application linéaire. DEF : le rang d’une application linéaire est la dimension de son image : si 2 ( ) rg()=dim (Im ) REM : le théorème du rang s’appelle ainsi car il peut s’énoncer sous la forme : rg( ) =codim (ker ) Propriétés du rang : si 2 ( ) dim = dim = alors 1. 2. 3. 4. D27 rg( ) 6 min ( ) rg() = , est injective rg() = , est surjective rg() = = , est bijective VII) AUTOMORPHISMES. GROUPE LINÉAIRE. Rappelons qu’un automorphisme (d’espace vectoriel) est un endomorphisme bijectif. L’ensemble des automorphismes de l’espace vectoriel est noté () ou parfois () PROP (diverses caractérisation des automorphismes parmi les endomorphismes) : Soit 2 () ; alors les 10 conditions suivantes sont des CNS pour que 2 () : ! ! ! ! 1. est bijective (8¡ 2 9!¡ 2¡ = (¡ )) 2. 9 2 () ± = ± = 3. est un élément inversible de l’anneau ( () + ±) Les 7 conditions suivantes ne sont valables que si est de dimension FINIE 4. l’image de toute base de est une base de 5. l ’image d’une base donnée de est une famille libre 6. est injective ! ¡ 7. ker = f 0 g 8. est surjective. 9. (voir cours sur les matrices) : une matrice de est inversible 10. (voir cours sur les déterminants) : det 6= 0 D28 ATTENTION : 6., 7 et 8. sont faux en dimension in…nie. Par exemple, - la multiplication par de [] dans lui-même est injective, mais elle n’est pas surjective. - la dérivation de [] dans lui-même est surjective, mais elle n’est pas injective. D28 On a vu que l’ensemble des éléments inversibles d’un anneau est toujours un groupe ; donc : PROP : l’ensemble des automorphismes d’un espace vectoriel est un groupe pour la loi ± REM : c’est donc un sous-groupe de ( () ±) VOCABULAIRE : ce groupe est appelé le groupe linéaire de (d’où la notation ()). 6 PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
