Correction du DM n°4 Partie A: 1. cosx = 0 ⇔ x = π 2 [2π] ou x = − π

Correction du DM n°4
Partie A:
π
π
1. cos x = 0 ⇔ x =
[2π] ou x = − [2π]
2
2
Le domaine de définition de la fonction tangente est donc
o
nπ
π
[2π] , − [2π]
E=R\
2
2
2. a )
tan (x + π) =
− sin x
sin x
sin (x + π)
=
=
= tan x
cos (x + π)
− cos x
cos x
On peut en déduire que la fonction tangente est périodique de période π.
b)
sin (−x)
− sin x
sin x
tan (−x) =
=
=−
= − tan x
cos (−x)
cos x
cos x
La fonction tangente est donc impaire et sa courbe représentative admet l’origine du repère
comme centre de symétrie.
c ) D’après la périodicité de la fonction tangente, on peut restreindre son étude à un
intervalle de longueur π.
i πh
De plus, comme elle est impaire, on peut l’étudier uniquement sur 0,
2
3. a )
√
π 2
sin
0
π
sin 0
4π = √2 = 1
= = 0 et tan
=
tan 0 =
cos 0
1
4
2
cos
4
2
b ) D’une part
lim sin x = 1 et
x→ π2 −
d’autre part
lim sin x = 1 et
x→ π2 +
D’où
lim cos x = 0+
x→ π2 −
lim cos x = 0−
x→ π2 +
lim tan x = +∞ et
x→ π2 −
lim tan x = −∞
x→ π2 +
π
π
et x = − sont deux asymptotes verticales à la courbe C
2
2
4. a ) Cette fonction est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables sur E, de plus
c ) Les droites d’équations x =
tan0 (x) =
cos2 x + sin2 x
1
cos x × cos x − sin x × (− sin x)
=
=
cos2 x
cos2 x
cos2 x
Ou encore
cos2 x + sin2 x
cos2 x sin2 x
tan (x) =
=
+
=1+
cos2 x
cos2 x cos2 x
0
sin x
cos x
2
= tan2 x
b ) Pour tout x ∈ I, tan0 (x) > 0, il s’ensuit que la fonction tangente est strictement
croissante sur l’intervalle I
Francis CORTADO, Collège Protestant Français Beyrouth
1
x
π
2
0
tan0 (x)
tan(x)
+
+∞
0
i π c )i La fonction tangente étant impaire, elle sera également croissante sur l’intervalle
− , 0 , d’où
2
x
− π2
π
2
tan0 (x)
+
+∞
tan(x) −∞
d ) tan 0 = 0 et tan 0(0) = 1 + tan2 0 = 1, la droite (T) a donc pour équation
y=x
5.
6.
a ) La commande « trigexpand »permet de développer une expression trigonométrique
comportant des sinus, cosinus ou tangentes.
sin a
sin a cos b + sin b cos a
sin b
b)
+
sin(a + b)
sin a cos b + sin b cos a
cos a cos b
tan(a + b) =
=
=
= cos a cos b
cos a cos b − sin a sin b
sin a
sin b
cos(a + b)
cos a cos b − sin a sin b
1−
×
cos a cos b
cos a cos b
tan(a + b) =
tan a + tan b
1 − tan a × tan b
Francis CORTADO, Collège Protestant Français Beyrouth
2
Partie B:
I- On constate que la valeur maximale de θ est d’environ 12,64°, ce qui correspond à une distance
ET d’environ 12,49 m
II- 1. a ) tan(α + θ) =
15.6
EP
10
EQ
=
et tan α =
=
ET
x
ET
x
tan α + tan θ
15.6
b ) tan(α + θ) =
, soit
=
1 − tan α × tan θ
x
10
+ tan θ
x
10
1−
× tan θ
x
On effectue un « produit en croix », et on obtient
156
15.6 −
tan θ = 10 + x tan θ
x
soit
5.6x
tan θ =
156 + x2
5.6x
, en utilisant Xcas nous obtenons :
2. On pose f (x) =
156 + x2
ainsi que la représentation graphique
Francis CORTADO, Collège Protestant Français Beyrouth
3
Ce qui donne une valeur maximale xm égale à environ 12, 5, or comme la tangente est une
fonction croissante, cela correspond aussi au maximum de θ.
L’utilisation de la fonction « atan »de Xcas (en mode degrés) permet d’obtenir θm w 12,6°.
Annexe :
Construction à l’aide de GeoGebra
Francis CORTADO, Collège Protestant Français Beyrouth
4