Correction du DM n°4 Partie A: π π 1. cos x = 0 ⇔ x = [2π] ou x = − [2π] 2 2 Le domaine de définition de la fonction tangente est donc o nπ π [2π] , − [2π] E=R\ 2 2 2. a ) tan (x + π) = − sin x sin x sin (x + π) = = = tan x cos (x + π) − cos x cos x On peut en déduire que la fonction tangente est périodique de période π. b) sin (−x) − sin x sin x tan (−x) = = =− = − tan x cos (−x) cos x cos x La fonction tangente est donc impaire et sa courbe représentative admet l’origine du repère comme centre de symétrie. c ) D’après la périodicité de la fonction tangente, on peut restreindre son étude à un intervalle de longueur π. i πh De plus, comme elle est impaire, on peut l’étudier uniquement sur 0, 2 3. a ) √ π 2 sin 0 π sin 0 4π = √2 = 1 = = 0 et tan = tan 0 = cos 0 1 4 2 cos 4 2 b ) D’une part lim sin x = 1 et x→ π2 − d’autre part lim sin x = 1 et x→ π2 + D’où lim cos x = 0+ x→ π2 − lim cos x = 0− x→ π2 + lim tan x = +∞ et x→ π2 − lim tan x = −∞ x→ π2 + π π et x = − sont deux asymptotes verticales à la courbe C 2 2 4. a ) Cette fonction est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables sur E, de plus c ) Les droites d’équations x = tan0 (x) = cos2 x + sin2 x 1 cos x × cos x − sin x × (− sin x) = = cos2 x cos2 x cos2 x Ou encore cos2 x + sin2 x cos2 x sin2 x tan (x) = = + =1+ cos2 x cos2 x cos2 x 0 sin x cos x 2 = tan2 x b ) Pour tout x ∈ I, tan0 (x) > 0, il s’ensuit que la fonction tangente est strictement croissante sur l’intervalle I Francis CORTADO, Collège Protestant Français Beyrouth 1 x π 2 0 tan0 (x) tan(x) + +∞ 0 i π c )i La fonction tangente étant impaire, elle sera également croissante sur l’intervalle − , 0 , d’où 2 x − π2 π 2 tan0 (x) + +∞ tan(x) −∞ d ) tan 0 = 0 et tan 0(0) = 1 + tan2 0 = 1, la droite (T) a donc pour équation y=x 5. 6. a ) La commande « trigexpand »permet de développer une expression trigonométrique comportant des sinus, cosinus ou tangentes. sin a sin a cos b + sin b cos a sin b b) + sin(a + b) sin a cos b + sin b cos a cos a cos b tan(a + b) = = = = cos a cos b cos a cos b − sin a sin b sin a sin b cos(a + b) cos a cos b − sin a sin b 1− × cos a cos b cos a cos b tan(a + b) = tan a + tan b 1 − tan a × tan b Francis CORTADO, Collège Protestant Français Beyrouth 2 Partie B: I- On constate que la valeur maximale de θ est d’environ 12,64°, ce qui correspond à une distance ET d’environ 12,49 m II- 1. a ) tan(α + θ) = 15.6 EP 10 EQ = et tan α = = ET x ET x tan α + tan θ 15.6 b ) tan(α + θ) = , soit = 1 − tan α × tan θ x 10 + tan θ x 10 1− × tan θ x On effectue un « produit en croix », et on obtient 156 15.6 − tan θ = 10 + x tan θ x soit 5.6x tan θ = 156 + x2 5.6x , en utilisant Xcas nous obtenons : 2. On pose f (x) = 156 + x2 ainsi que la représentation graphique Francis CORTADO, Collège Protestant Français Beyrouth 3 Ce qui donne une valeur maximale xm égale à environ 12, 5, or comme la tangente est une fonction croissante, cela correspond aussi au maximum de θ. L’utilisation de la fonction « atan »de Xcas (en mode degrés) permet d’obtenir θm w 12,6°. Annexe : Construction à l’aide de GeoGebra Francis CORTADO, Collège Protestant Français Beyrouth 4