Olympiades académiques de mathématiques

Olympiades académiques
de mathématiques
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Académie de la Guyane
Zone AEFE Amérique du Sud
Zone AEFE Amérique du Sud Cône Andin
Zone AEFE Amérique Centrale et Caraïbes
Mercredi 18 mars 2015
Les objets calculatrices sont autorisés, à l’exclusion de tout autre appareil électronique.
Il est conseillé aux candidats qui ne pourraient formuler une réponse complète à une
question d’exposer le bilan des initiatives qu’ils ont pu prendre.
L’épreuve comporte quatre exercices, tous à traiter dans le temps imparti. Il est
conseillé de ne pas en privilégier trop fortement un sur les autres.
Durée de la composition : 4 heures
Sauf cas de force majeure, aucun candidat n’est autorisé à quitter définitivement la
salle de composition moins de 3 heures après le début. Un candidat qui quitterait la
salle au bout de trois heures doit rendre sa copie et son exemplaire du sujet.
Exercice numéro 1
(proposé par le jury national)
Délicieux mais … équilibré ?
PARTIE A
Ci-dessous est représenté dans un repère l’ensemble des points dont le couple (x, y) de coordonnées vérifie
la relation x2 – 2y2 = 1. On s’intéresse plus particulièrement aux points de cette courbe dont les coordonnées
sont des entiers comme par exemple le point A dont le couple de coordonnées est (1 , 0).
1. Donner cinq autres couples d’entiers (x, y) tels que x2 – 2y2 = 1.
2. Soit a et b des entiers naturels. On pose A = a + 2b et B = a + b.
Exprimer A2 – 2B2 en fonction de a2 – 2b2.
Donner un nouveau couple d’entiers (x, y) solution de l’équation x2 – 2y2 = 1 tel que x > 10.
3. Rédiger un algorithme affichant le premier couple d’entiers (x, y) solution de l’équation x2 – 2y2 = 1 et tel
que x > 2015. Quel est le couple obtenu ?
PARTIE B
On rappelle l’égalité valable pour tout entier naturel non nul 𝑛 : 1 + 2 + … + 𝑛 =
𝑛(𝑛+1)
.
2
1. On dit qu’un entier naturel 𝑛 strictement supérieur à 3 est délicieux s’il existe un entier k compris entre 1
et n tel que :
1 + 2 + … + (k – 1) = (k + 1) + (k + 2) + … + 𝑛.
a. Trouver le plus petit entier délicieux (on pourra remarquer que 𝑛2 + 𝑛 =
b. Trouver un entier délicieux supérieur à 1007.
(2𝑛+1)2 −1
4
).
2. On dit qu’un entier naturel 𝑛 est équilibré s’il existe un entier p compris entre 1 et 𝑛 tel que :
1
+ 2 + … + p = (p + 1) + (p + 2) + … + 𝑛.
a. Trouver le plus petit entier équilibré.
b. Trouver un entier équilibré supérieur à 1007.
3. Existe-t-il des entiers à la fois délicieux et équilibrés ?
Exercice numéro 2
(proposé par le jury national)
Découpage d’un échiquier
On dispose d'un échiquier standard 8 x 8 dont les cases (chacune représente une unité d'aire) sont, sur
chaque ligne et chaque colonne, alternativement noires et blanches.
On désire partager cet échiquier en rectangles, chacun composé d'un certain nombre de cases en
respectant de plus les deux contraintes suivantes : chaque rectangle doit comporter autant de cases
blanches que de cases noires et les aires de tous les rectangles doivent être différentes.
L’exemple ci-dessous montre un tel découpage avec quatre rectangles.
Le but est de déterminer la valeur maximale du nombre de rectangles que l'on peut ainsi construire et de
préciser dans chaque cas rencontré un partage possible.
1. Proposer un exemple de découpage avec 5 rectangles, respectant ces contraintes.
On note n le nombre de rectangles d'un découpage et a1, a2, …, an le nombre de cases blanches de ces
différents rectangles.
2. Prouver que l'aire de chaque rectangle est toujours paire.
3. Justifier que les ai sont tous différents et que a1 + a2 + … + an = 32.
On peut donc supposer que les ai sont classés, donc que l'on a : a1 < a2 < … < an
4. Prouver que 1 ≤ n ≤ 7.
On suppose désormais que n = 7.
5. Justifier que 7 ≤ a7 ≤ 10.
6. a. Prouver que a1 = 1, a2 = 2 et a3 = 3.
b. Prouver que le cas a7 = 7 est impossible.
7. Déterminer les valeurs de a4, a5, a6 et a7 qui sont envisageables et présenter les résultats dans un tableau.
8. Proposer pour tous les cas possibles un découpage et répondre au problème posé.
Exercice numéro 3
(proposé par le jury académique)
Potentiel carré
Dans tout le problème, on dira qu'un entier 𝑛 est un carré, lorsque c'est le carré d'un entier, autrement
dit, lorsqu'il existe un entier 𝑘 tel que 𝑘² = 𝑛. Par exemple 4 et 9 sont des carrés, mais pas 5 et 6.
On appelle potentiel carré d'un entier 𝒏 strictement supérieur à 1, et on note 𝐩𝐜(𝒏), le nombre de
décompositions de 𝒏 en somme de deux entiers non nuls dont le produit est un carré.
Par exemple :
- pc(3) = 0 car la seule décomposition de 3 en somme de deux entiers non nuls est 3 = 1 + 2 (on ne
considère pas que la décomposition 3 = 2 + 1 est différente), et 2 x 1 = 2 n'est pas un carré.
- pc(4) = 1 car pour la décomposition 4 = 2 + 2, le nombre 2 x 2 = 4 est un carré, tandis que pour la
décomposition 4 = 1 + 3, le nombre 1 x 3 = 3 n'est pas un carré.
- pc(10) = 3 car en listant les 5 décompositions possibles, exactement 3 donnent un produit qui est
un carré, à savoir 1 + 9, 2 + 8 et 5 + 5.
Pour traiter la question 7., on aura besoin des deux définitions suivantes :
 Pour deux entier 𝑛 et 𝑑 non nuls, on dira que 𝑑 est un diviseur de 𝑛 lorsque 𝑛 est un multiple de 𝑑,
autrement dit, s'il existe un entier 𝑘 tel que 𝑛 = 𝑘 x 𝑑. Par exemple, 3 est un diviseur de 15.
 On dit qu'un nombre entier 𝑝 est premier si 𝑝  2 et si 𝑝 n'admet aucun diviseur autre que 1 et 𝑝. Par
exemple 15 n'est pas premier, mais 13 est premier.
On aura également besoin du résultat suivant :
Tout nombre entier 𝒏  2 se décompose de façon unique (à l'ordre des facteurs près) comme produit
de nombres premiers (exemple : 12 = 2 x 2 x 3).
1. Calculer le potentiel carré de tous les entiers de 2 à 10.
2. Exprimer, en fonction de 𝑛, le nombre de décompositions à tester pour un entier 𝑛 donné. On
distinguera les cas 𝑛 pair et 𝑛 impair.
3. Montrer que pour tout entier non nul 𝑛 pair, on a pc(𝑛)  1.
4. Montrer que si 𝑛 peut s'écrire comme la somme de deux entiers carrés non nuls (par exemple, 13 = 4 +
9 = 2² + 3²), alors pc(𝑛)  1.
5. Montrer que si 𝑛 et 𝑘 sont deux entiers non nuls, alors pc(𝑘𝑛)  pc(𝑛).
6. En utilisant les propriétés des questions 4. et 5., démontrer que si 𝑛 admet un diviseur pouvant s'écrire
comme la somme de deux entiers carrés non nuls (par exemple 15 = 3 x 5 avec 5 = 4 + 1), alors pc(𝑛)  1.
7. Dans cette question, on va démontrer la réciproque de la propriété précédente. On considère un entier
non nul 𝑛 tel que pc(𝑛)  1. Il existe donc 𝑎, 𝑏 non nuls tels que 𝑎 + 𝑏 = 𝑛 et tels que 𝑎 x 𝑏 soit un carré,
qu'on notera 𝑟². Si 𝑎 et 𝑏 sont eux-mêmes des carrés, la démonstration est terminée. Dans la suite, on
suppose que 𝒂 et 𝒃 ne sont pas tous les deux des carrés.
a) On écrit 𝑟 = 𝑝1 x 𝑝2 x … x 𝑝s, avec s  1, où 𝑝1, 𝑝2, …, 𝑝s sont des nombres premiers. Montrer que l'un
de ces diviseurs premiers de 𝑟, qu'on notera simplement 𝑝, est un diviseur à la fois de 𝑎 et de 𝑏.
𝑎
𝑝
𝑏
𝑝
b) On note 𝑎’ = et 𝑏’ = , et 𝑛’ = 𝑎’ + 𝑏’. Montrer que pc(𝑛’)  1.
c) En envisageant le fait de recommencer avec 𝑛′ = 𝑎′ + 𝑏′ ce qui a été fait précédemment avec 𝑛 = 𝑎 + 𝑏,
établir un raisonnement prouvant que 𝑛 admet forcément un diviseur somme de deux carrés.
Exercice numéro 4
(proposé par le jury académique)
Une suite de carrés, de demi-cercles
Dans tout l'exercice, on pourra utiliser sans le justifier les résultats suivants :
 (𝑢𝑛 ) est une suite géométrique de raison 𝑞 si pour tout entier 𝑛  1, on a

𝑢𝑛+1
𝑢𝑛
= 𝑞.
Si (𝑢𝑛 ) est une suite géométrique de raison 𝑞, alors pour tout entier 𝑛  1, 𝑢𝑛 = 𝑢1 x 𝑞 𝑛−1.
On n'hésitera pas à illustrer les réponses aux questions par des dessins. Le triangle POR est rectangle en P.
1. On souhaite construire une suite de carrés à l’intérieur du triangle POR comme représentée par la
figure ci-dessous :
𝑎𝑛 désigne la longueur du côté du nième carré.
̂.
 désigne la mesure de l'angle 𝑃𝑂𝑅
a) Si 𝑛 est un entier supérieur ou égal à 1, exprimer 𝑎𝑛+1 en fonction de 𝑎𝑛 et de . On pourra
̂ dans le triangle ABC.
considérer la tangente de l'angle 𝐶𝐴𝐵
b) En déduire que (𝑎𝑛 ) est une suite géométrique dont on précisera la raison en fonction de .
c) Montrer également que la suite (𝑂𝑃n) est géométrique et exprimer 𝑂𝑃n en fonction de 𝑎1 ,  et 𝑛.
d) En sachant que PR = 2 m et  = 30°, et que l’on souhaite utiliser exactement huit carrés tel que P9 et
P soient confondus, quelle sera la longueur a1 du côté du plus petit carré ?
2. On souhaite effectuer la même construction en remplaçant les carrés par des demi-cercles.
𝑟𝑛 désigne le rayon du nième demi-cercle.
̂.
 désigne la mesure de l'angle 𝑃𝑂𝑅
a) Exprimer 𝑟1 en fonction de OQ1 et , puis 𝑟2 en fonction de OQ2 et .
b) Exprimer Q1Q2 en fonction de 𝑟1 et 𝑟2 .
c) En déduire la valeur de
𝑟2
𝑟1
uniquement en fonction de .
d) En déduire que la suite (𝑟𝑛 ) est une suite géométrique dont on précisera la raison en fonction de .
e) En sachant que PR = 2 m et  = 30°, et que l’on souhaite utiliser exactement quatre demi-cercles tel
que P5 et P soient confondus, quel sera le rayon r1 du plus petit demi-cercle ?