Entrainement épreuve pratique de mathématiques en seconde 2010
Des carrés
Les cinq carrés suivants ont pour longueurs de côtés cinq nombres entiers consécutifs.
Le but de l’activité est de déterminer les longueurs de ces côtés pour que la somme des aires des
trois premiers carrés soit égale à la somme des aires des deux plus grands.
1. Soit n la longueur du côté du troisième carré. À l’aide d’un tableur, afficher les aires des
carrés pour n allant de 3 à 20.
2. Pour chaque valeur de n calculer avec le tableur les deux aires que l’on veut rendre égales.
Émettre une conjecture sur la valeur de n qui réponde à la question.
3. (a)
(b)
soit
(c)
Exprimer en fonction de n les aires des cinq carrés.
En déduire l’équation que doit vérifier n pour que la condition d’égalité d’aire souhaitée
réalisée.
Résoudre cette équation et vérifier la conjecture émise au 2.
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Viser la cible
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O, I, J).
C est le carré de centre O et dont les côtés sont parallèles aux axes et mesurent 10 cm.
Γ est le cercle de centre O et de rayon 5.
On choisit un point M situé à l’intérieur du carré C.
1. Soit (x ; y) les coordonnées du point M. Exprimer OM2 en fonction de x et y.
2. Que représente le nombre f dans l’algorithme suivant ?
k, i, x, y et n sont des variables
Entrer une valeur entière pour n
Attribuer à k la valeur 0 et à i la valeur 0
Tant que k<n,
Attribuer à x une valeur aléatoire entière comprise entre – 5 et 5
Attribuer à y une valeur aléatoire entière comprise entre – 5 et 5
Calculer : c=x²+y²
Si c<25, ajouter 1 à i
Ajouter 1 à k
Calculer : f=i/n
Afficher f
3. Programmer cet algorithme dans le langage de votre choix et l’exécuter pour différentes
valeurs de n.
4. Utiliser votre programme pour estimer la probabilité p de l’événement suivant :
« le point M est situé à l’intérieur du cercle Γ ».
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Partage équitable
Le but de l’activité est de couper un carré en trois parties de même aire.
ABCD carré.
I appartient au segment [AB].
J appartient au segment [BC].
1. Avec un logiciel de géométrie dynamique, construire un carré OABC.
2. Comment placer le point I sur le segment [AB] et le point J sur le segment [BC] pour
que les trois zones aient la même aire ? Faire une conjecture.
3. Démontrer votre conjecture.
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Partage aléatoire d’un segment
On considère deux points A et B, placés au hasard sur un segment [OI] de longueur 1, et on cherche à
évaluer la probabilité de l’événement E :
« La distance AB est inférieure à la moitié de la longueur du segment [OI] ».
Les distances OA et OB sont donc des nombres pris au hasard dans l’intervalle [0 ;1].
1. Montrer que l’événement E est réalisé si et seulement si
.
2. Il s’agit à présent de simuler l’expérience consistant à choisir les distances OA et OB au
hasard, et de calculer la fréquence des cas où l’événement E est réalisé.
(a) En utilisant un logiciel approprié, effectuer l’expérience une première fois : on
attribue aux distances OA et OB des valeurs aléatoires entre 0 et 1, et on teste si
l’encadrement de la question 1. est vérifié.
(b) Répéter 100 fois l’expérience précédente et donner sur ces 100 fois la fréquence de
réalisation de l’événement E.
(c) Réfléchir à des arguments permettant de répondre à la question suivante :
« Les résultats obtenus permettent-ils d’évaluer la probabilité de E ? ».
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LE BON CADRE
On considère un rectangle dont les côtés mesurent 8 cm et 9 cm. On construit un second rectangle à
l’intérieur du premier selon les indications de la figure ci-dessous. O est le centre commun des deux
rectangles.
1°) Construire une figure dynamique (dans laquelle x peut varier) représentant la situation.
2°)
a) Un élève affirme qu’en prenant
, les points O, A et B sont alignés. Est-ce vrai ?
b) Les points O, A et B semblent-ils alignés pour une autre valeur de x ?
3°) Démontrer les conjectures faites à la question 2.
D’après le manuel de seconde Hyperbole 2009.
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Triplets pythagoriciens
On dit que trois nombres a, b, c entiers naturels non nuls forment un triplet pythagoricien s’ils
vérifient la relation :
a2 + b2 = c2.
Par exemple ( 3 , 4 , 5 ) est un triplet pythagoricien.
1. À l’aide d’un logiciel approprié, rechercher des valeurs de l’entier b telles que 2 5 + b 2 soit
un carré parfait.
En déduire un triplet pythagoricien autre que celui donné comme exemple.
2. On s’intéresse aux triplets pythagoriciens (a, b, c) d’entiers consécutifs. (a < b < c)
(a) À l’aide d’un logiciel, chercher tous les triplets pythagoriciens d’entiers compris
consécutifs compris entre 1 et 50. Qu’observe-t-on ?
(b) ( a , b , c ) est un triplet pythagoricien d’entiers consécutifs.
Écrire a et c en fonction de b.
Traduire le problème posé en terme d’équation.
Résoudre cette équation, puis conclure.
D’après une épreuve pratique de l’académie de Versailles.
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TP entrainement 2010 - Académie de Strasbourg